【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练54 椭圆的定义及标准方程.docx，共(9)页，91.654 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十四椭圆的定义及标准方程(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·许昌模拟)已知F1,F2为椭圆𝑥29+𝑦216=

1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=()A.8B.6C.4D.2【解析】选B.由𝑥29+𝑦216=1,即𝑦216+𝑥29=1,可得a=4,根据椭圆的定义|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,所以|AB|=|

F1A|+|F1B|=6.2.(5分)与椭圆𝑥225+𝑦29=1有相同焦点,且过点(3,√15)的椭圆方程为()A.𝑦236+𝑥220=1B.𝑥236+𝑦220=1C.𝑦220+𝑥218=1D.𝑥220+𝑦218=1【解析】选B.由题意可设椭圆的方程为𝑥225+𝜆+

𝑦29+𝜆=1(λ>-9).又所求椭圆过点(3,√15),所以将(3,√15)代入椭圆方程,得925+𝜆+159+𝜆=1,解得λ=11(λ=-21舍去).故所求的椭圆方程为𝑥236+𝑦220=1.3.(5分)已知(0,-4)是椭圆3kx2+ky2=1的一个焦点,则

实数k=()A.6B.16C.24D.124【解析】选D.椭圆3kx2+ky2=1化为:𝑥213𝑘+𝑦21𝑘=1,显然k>0,有1𝑘>13𝑘,而椭圆的一个焦点为(0,-4),因此1𝑘-13𝑘=42,所以k=124.【加练备选】已知曲

线C:𝑥2𝑘-5+𝑦23-𝑘=-1,则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.将曲线C的方程化为𝑥25-𝑘+𝑦2𝑘-3=1,若曲线C表示焦

点在y轴上的椭圆,则k-3>5-k>0,即4<k<5,而“4≤k<5”不能推出“4<k<5”;“4<k<5”可以推出“4≤k<5”,故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.4.(5分)(2024·南通模拟)已知圆C的

方程为x2+y2=16,直线l为圆C的切线,记A(-2,0),B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1,d2,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=4B.𝑥216+𝑦212=1C.𝑥216-𝑦212=1D.y2=4x【解析】选B.如图,分别过点A

,O,B作直线l的垂线,垂足分别为A1,O1,B1,则AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切点为O1,因为A(-2,0),B(2,0),所以O是AB的中点,所以OO1是梯形ABB1A1的中位线,所以|OO1|=|𝐴𝐴1|+|𝐵𝐵1|2=𝑑1

+𝑑22,又因为圆C的方程为x2+y2=16,r=4,所以|OO1|=r=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|=4,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),则2a=8,c=2,所以a

=4,a2=16,b2=a2-c2=12,所以动点P的轨迹方程为𝑥216+𝑦212=1.5.(5分)(多选题)(2024·天水模拟)设椭圆C:𝑥225+𝑦29=1的左右焦点为F1,F2,P是C上的动

点,则下列结论正确的是()A.|PF1|+|PF2|=10B.P到F1最小的距离是2C.△PF1F2面积的最大值为6D.P到F1最大的距离是9【解析】选AD.由椭圆方程可得:a=5,b=3,则c=√𝑎2-𝑏2=4,对A:根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,A正确;对B:

根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时,P到F1的距离最小,最小值为a-c=1,B错误;对C:根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2的面积最大,最大值为12×2c×b=12,C错误;对D:根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点

时,P到F1的距离最大,最大值为a+c=9,D正确.6.(5分)(多选题)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为8,离心率为34,则满足条件的椭圆的标准方程有()A.𝑥216+𝑦27=1B.𝑥27+𝑦216=1C.𝑥216+𝑦225=1D.𝑥225+𝑦216=1【解析】选AB.因为

2a=8,e=𝑐𝑎=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是𝑥216+𝑦27=1或𝑥27+𝑦216=1.7.(5分)(2024·济南模拟)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为10,焦距为6,则此椭圆的标准方程

为𝑦225+𝑥216=1.【解析】依题意,设椭圆方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0),则{2𝑎=102𝑐=6𝑐2=𝑎2-𝑏2,解得{𝑎=5𝑐=3𝑏=4,所以椭圆方程为𝑦225+𝑥216=1.8.(5分)△ABC的两个顶点坐标分别是

B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-23,则顶点A的轨迹方程是𝑥254+𝑦236=1(y≠±6).【解析】设顶点A的坐标为(x,y),由题意得𝑦-6𝑥·𝑦+6�

�=-23,化简整理,得𝑥254+𝑦236=1,又A,B,C是△ABC的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,因此y≠±6,所以顶点A的轨迹方程为𝑥254+𝑦236=1(y≠±6).9.(10分)动点M与定点F1(3,0)的距离和M到定直线l:

x=253的距离的比是常数35.(1)求动点M的轨迹方程;(2)设F2(-3,0),点P为M轨迹上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.【解析】(1)设M(x,y),d是点M到直线l的距离,则|𝑀𝐹1|𝑑=35,即√(𝑥-3)2+𝑦2|𝑥-253|=3

5,化简得16x2+25y2=400,所以动点M的轨迹方程为𝑥225+𝑦216=1.(2)由(1)知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|𝑃𝐹2|

2-2|PF1||PF2|cos60°=|𝐹1𝐹2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|𝐹1𝐹2|2,整理得|PF1||PF2|=643,所以𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|PF1||PF2|sin60°

=12×643×√32=16√33.【能力提升练】10.(5分)直线mx+y=0(m∈R)与椭圆𝑥216+𝑦225=1交于A,B两点,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为()A.10B.16C.20D.不能确定【解析】

选C.设椭圆两个焦点为F1,F2,由题可得a=5,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为|AF1|+|F1B|+|BF2|+|F2A|=4a=20.11.(5分)若点M(x,y)满足方程√𝑥2+(𝑦-2)2+√𝑥2+(𝑦+2)2=12,则动点M的轨迹方程为()A.𝑥

236+𝑦232=1B.𝑥236+𝑦220=1C.𝑦236+𝑥232=1D.𝑦2144+𝑥216=1【解析】选C.因为动点M(x,y)满足关系式√𝑥2+(𝑦-2)2+√𝑥2+(𝑦+2)2=12,所以该等式表示点M(x

,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离的和为12,而|F1F2|=4<12,即动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=12,即a=6,又c=2,b2=a2-c2=36-4=32,所以动点M的轨迹方程为𝑦236+𝑥232=1.12.(5分)(

多选题)已知F1,F2为椭圆𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是()A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.△

MF1F2的面积的最大值为3【解析】选BC.由椭圆的方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).对于A,|MF2|max=a+c=3,故A错误.对于B,由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=4,所以|MF1|·|MF2|≤(|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|2)2

=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故B正确.对于C,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,由M(0,√3)得tan∠𝐹1𝑀𝐹22=√33,所以∠𝐹1𝑀𝐹22=30°,∠F1MF2=60°,故C正确.对于D,当点M为椭圆与y轴的交点时,△MF1

F2的面积最大,最大值为bc=√3,故D错误.13.(5分)(2024·北京模拟)已知F1,F2分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2(O为坐标原点)是面积为√3的正三角形,则此椭圆的方程为𝑥24+2√3+𝑦22√3=1.

【解析】不妨设点P位于第一象限,且F2(c,0),因为△POF2是面积为√3的正三角形,可得√34c2=√3,解得c=2,所以P(1,√3),F1(-2,0),F2(2,0),由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=√(1+2)2+(√3

-0)2+√(1-2)2+(√3-0)2=2√3+2,所以a=1+√3,则b2=a2-c2=2√3,所以椭圆的标准方程为𝑥24+2√3+𝑦22√3=1.14.(10分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);(2)短轴

一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为√3;(3)经过点P(-2√3,1),Q(√3,-2)两点.【解析】(1)若焦点在x轴上,设方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),因为椭圆过点A(3,0),所以9𝑎2=1,解得a=3,因为2a=3×2b,所以b

=1,所以方程为𝑥29+y2=1,若焦点在y轴上,设方程为𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1(a>b>0),因为椭圆过点A(3,0),所以9𝑏2=1,解得b=3,又2a=3×2b,所以a=9,所以方程为𝑥29+𝑦281=1.综上所述,椭圆方程为𝑥29+y2=1

或𝑥29+𝑦281=1;(2)由已知,有{𝑎=2𝑐𝑎-𝑐=√3,解得{𝑎=2√3𝑐=√3,所以b2=a2-c2=9,若焦点在y轴上,则𝑥29+𝑦212=1,若焦点在x轴上,则𝑥212+𝑦29=1,所以

所求椭圆方程为𝑥212+𝑦29=1或𝑥29+𝑦212=1;(3)设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则{12𝑚+𝑛=13𝑚+4𝑛=1,解得{𝑚=115𝑛=15,则所求椭圆方程为𝑥215+𝑦25=1.15.(10分)(2

024·南充模拟)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)经过点(0,2),(√6,√2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=x-2交椭圆C于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB的面积S.【解析】(1)因为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏

2=1(a>b>0)经过点(0,2),所以b=2,把点(√6,√2)的坐标代入方程𝑥2𝑎2+𝑦24=1,得6𝑎2+24=1,解得a=2√3.所以椭圆C的方程为𝑥212+𝑦24=1.(2)联立{𝑦=𝑥-2,𝑥212+𝑦24=1

,消去y,得x2-3x=0.解得{𝑥=0,𝑦=-2或{𝑥=3,𝑦=1,不妨设A(0,-2),B(3,1),则S=12|OA|×3=12×2×3=3.【素养创新练】16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△HMN的周长是18,M,N是x轴上关于原

点对称的两点,若|MN|=6,动点G满足𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.则动点G的轨迹方程为𝑥24+𝑦23=1(x≠±2).【解析】由𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+�

�𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,知点G是△HMN的重心,取点F1(-1,0),F2(1,0),不妨设M(-3,0),N(3,0),则GF1∥HM,GF2∥HN,且|GF1|+|GF2|=13(|HM|+|HN|)=13(18-

6)=4>|F1F2|=2,所以点G是以F1,F2为焦点的椭圆(除去长轴端点),设椭圆C的方程是𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),则2a=4,2c=2,于是b2=a2-c2=3,即𝑥24+𝑦23=1,从而,点G的轨迹方程为:𝑥2

4+𝑦23=1(x≠±2).