【文档说明】江西省上饶市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，2.299 MB，由小赞的店铺上传

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上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I卷（选择题）一､单选题：本题共8

小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()1i1iz−=+，其中i为虚数单位，则z=（）A.iB.i−C.1i+D.1i−2.ABC是边长为1的正三角形，那么ABC的

斜二测平面直观图'''ABC的面积（）A.616B.68C.38D.343.已知向量()()1,cos,2,sinab==，若ab，则tan=（）A.2B.-2C.12D.12−4.已知,mn是空间中两条不同的直线，,为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m

，则m⊥B.若,mn，则mn⊥C.若,mm⊥，则//mD.若,mnm=⊥，则n⊥5.向量()1,0,aa=与非零向量b的夹角为60，则a在b上的投影数量为（）A.12B.32C.1D.3−6.已知G为ABC的重心，则（）A.

2133BGABAC=−uuuruuuruuurB.2133BGABAC=−+uuuuruuruuurC.1233BGABAC=−+uuuruuuruuurD.1233BGABAC=−7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（

）A8a=，16b=，30A=，有两解B.18b=，20c=，60B=，有一解C.30a=，25b=，150A=，有一解D5a=，2c=，90A=，无解8.若函数()sincosfxaxx=+对称轴方程为ππ4xk=+，kZ，则π4f=（）A.22B.22−C.2

−D.2二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,zz是方程2250xx−+=的两根，则（）A.12,zz虚部不同B.12,zz在复平面内所对应的点关于实轴对称C.

15z=D.122izz+−在复平面内所对应的点位于第三象限10.关于函数()π2sin213fxx=−+，下列结论正确的是（）A.π,06是()fx的一个对称中心B.函数()fx在π0,6上单调递增C.函数()fx图像可由函数()2cos21gxx=+

的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20fxm−=在区间π12π,2上有两个不相等的实根，则232,6m+11.如图，若正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，线段11BD上有两个动点,,2EFEF=.则下列结论正..的确的是（）A.直线1AC与

平面ABCD的夹角的余弦值为63B.当E与1D重合时，异面直线AE与BF所成角为π3C.平面1CBD平面AEFD.1AC⊥平面AEF第II卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan2=，则()sincossin−=__________.13.设1e与2e

是两个不共线向量，1232ABee=+，12CBkee=+，1232CDeke=−.若A，B，D三点共线，则k的值为________．14.ABC中，8ABAC==，延长线段AB至D，使得2AD=，则BDBC+的最大值为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应

写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,ambmm==−−R（1）若abab+=−，求实数m的值.（2）已知向量,ab夹角为钝角，求实数m的范围.16.已知函数()()sin(0,0,π)fxAxA=+的部分图像如图所示.的（1）求函数()f

x的解析式及对称中心；（2）求函数()fx在ππ,122上的值域.（3）先将()fx的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()gx的图像，求函数()ygx=在π,π2x−上的单调减区间.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，且满足2cos2bCca+=．（1）求角B；（2）若D为AC的中点，且52BD=，b＝3，求ABC的面积．18.如图1，四边形ABCD为菱形，60,ABCPAB=△是边长为2的等边三角形，点M为AB的中

点，将PAB沿AB边折起，使3PC=，连接PD，如图2，（1）证明：ABPC⊥；（2）求异面直线BD与PC所成角余弦值；（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MCN﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.19.我

们把由平面内夹角成60的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e，2e分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量12OPxeye=+，则称有序实数对,xy为向量OP的“创新坐标”，可记作,OPxy=.的（1）已知

1,1a=，2,3b=，1,2c=−，设cxayb=+，求xy+的值.（2）已知11,axy=，22,bxy=，求证：//ab的充要条件是12210xyxy−=.（3）若向量a，b的“创新坐标”分别为sin,1x

，cos,1x，已知()fxab=，xR求函数()fx的最小值.上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己

的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本

试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()1i1iz−=+，其中i为虚数单位，则z=（）A.iB.i−C.1i+D.1i−【答案】A【解析】【分析

】利用复数的除法直接求出z.【详解】因为()1i1iz−=+，所以()()()()1i1ii1i1iz++==−+.故选：A2.ABC是边长为1的正三角形，那么ABC的斜二测平面直观图'''ABC的面积（）A.616B.68C.38D.34【答案】A

【解析】【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.【详解】以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，画对应的'x轴，'y轴，使'''45xOy=，如下图所示，结合图形，ABC的面积

为113312224ABCSABOC===，作CDAB⊥'''，垂足为D，则22122224CDOCOCOC==='''，''ABAB=，所以'''ABC的面积11222244ABCABCSABCDOCABS=

==''''''，即原图和直观图面积之间的关系为2=4SS直观图原图，所以，'''ABC的面积为2364416ABCS=='''.故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.3.已知向量()()1,cos,2,sinab==，

若ab，则tan=（）A.2B.-2C.12D.12−【答案】A【解析】【分析】利用坐标法来判断两向量共线即可得到结果.【详解】由ab得，()()1,cos//2,sin2cossintan2==，故选：A.4.已知,mn是空间中两条不同的直线，,为空间中两个

互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m，则m⊥B.若,mn，则mn⊥C.若,mm⊥，则//mD.若,mnm=⊥，则n⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由直线,mn

是空间中两条不同的直线，,为空间中两个互相垂直的平面，对于A中，若m，可能//m，所以A不正确；对于B中，若,mn，则//mn或相交或异面，所以B不正确；对于C中，由m⊥，可得m或//m，又由m，所以//

m，所以C正确；对于D中，由面面垂直的性质，可知只有n时，才有n⊥，所以D不正确.故选：C.5.向量()1,0,aa=与非零向量b的夹角为60，则a在b上的投影数量为（）A.12B.32C.1D

.3−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.【详解】依题意，a在b上的投影数量为1||cos,1cos602aab==.故选：A6.已知G为ABC的重心，则（）A.2133BGABAC=−uuuruuuruuurB.2133BGABAC=−+uuu

uruuruuurC.1233BGABAC=−+uuuruuuruuurD.1233BGABAC=−【答案】B【解析】【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，设D为AC中点，又G为ABC的重心，则23BBGD=()13BABC=+1133BABC=+uuruuur11133

3BABAAC=++uuruuruuur2133BAAC=+uuruuur2133ABAC=−+uuuruuur，故选：B.7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.8a=，16b=，3

0A=，有两解B.18b=，20c=，60B=，有一解C.30a=，25b=，150A=，有一解D.5a=，2c=，90A=，无解【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可.【详解】A中，因为sinsinabAB=，所以16sin30sin18B==，又

0150B，所以90B=，即只有一解，故A错误；B中，因为sinsinbcBC=，所以20sin6053sinsin189CB==，且cb，所以CB，故有两解，故B错误；C中，因sinsinabAB=，所以125

52sinsin3012BA==，又ba，所以角B只有一解，故C正确；D中，因为90A=,5a=,2c=，所以2225421bac=−=−=，有解，故D正确.故选：C.8.若函数()sincosfxaxx=+的对称轴方程为ππ4xk=+，kZ，则π4

f=（）A.22B.22−C.2−D.2【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得1π4==，代入即可得解.【详解】由已知()()2sincos1sin

fxaxxax=+=++，且1tana=，21sin01a=+，由对称轴为ππ4xk=+，则相邻两条对称轴间距离为π，即函数的最小正周期为2πT=，令2π12π==，()()21sinfxax=++，令1ππ2

xk+=+，1kZ，则1ππ2xk=−+，即1ππππ24kk−+=+，kZ，1kZ，则()1ππ4kk=+−，kZ，1kZ，又21sin01a=+，所以2ππ4k=+，2k为偶数，则()2ππ2sinπ2sin44fxxkx=++=+，则ππ

ππ2sin24444ff==+=，故选：D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,zz是方程2250xx−+=的两根，则（）A.12,

zz虚部不同B.12,zz在复平面内所对应的点关于实轴对称C.15z=D.122izz+−在复平面内所对应的点位于第三象限【答案】ABC【解析】【分析】利用一元二次方程的虚根是共轭，并加以计算，就可以判断各选项.【详解】由方程22

50xx−+=的求根公式可得：1224i12i12i,2zz+==+=−，故A正确；由12,zz在复平面内所对应的点分别为()()1,2,1,2−，显然关于实轴对称，故B正确；由112i=5z=+，故C正确；由()()()1222i242

i42=i2i2i2i2i555zz+++===+−−−+，它对应的点位于第一象限，故D错误；故选：ABC．10.关于函数()π2sin213fxx=−+，下列结论正确的是（）A.π,06是()fx的一个对称中心B.函数()fx在π0,6上单调递增C.函数()f

x图像可由函数()2cos21gxx=+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20fxm−=在区间π12π,2上有两个不相等的实根，则232,6m+【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项

.【详解】A选项：由()π2sin213fxx=−+，令π2π3xk−=，Zk，解得ππ62kx=+，Zk，所以其对称中心为ππ,162k+，所以π,06不是其对称中心，A选项错误；B选项

：令πππ2π22π232kxk−−+，Zk，解得π5πππ1212kxk−+，Zk，即函数的单调递增区间为π5ππ,π1212kk−+，Zk，又ππ5π0,π,π61212kk−+

，Zk，B选项正确；C选项：由()π2cos212sin212gxxx=+=++，向右平移5π12可得()5πππ2sin212sin211223yxxfx=−++=−+=

，C选项正确；D选项：()π24sin2203fxmxm−=−+−=，即2sin243mx−=−，设π23tx=−，则π2π,63t−，即函数24my−=与函数sinyt=在π2π,63t−上有两个交点，做出函数图像，如图

所示，所以可得2π2sin134m−，解得2236m+，D选项错误；故选：BC.11.如图，若正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，线段11BD上有两个动点,,2EFEF=.则下列结论正确的是（）A.直线1AC与平面ABCD的夹角

的余弦值为63B.当E与1D重合时，异面直线AE与BF所成角为π3C.平面1CBD平面AEFD.1AC⊥平面AEF【答案】ACD【解析】【分析】利用正方体的性质，结合中位线，勾股定理，可计算和证明各选项，并加以判断.【详解】对于A，在正方体1111ABCDABCD−中，有1CC⊥平面ABCD，

所以直线1AC与平面ABCD所成的角就是1CAC，且1CCAC⊥，又由正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，所以122,23ACAC==，则11226cos323ACCACAC===，故A正确；对于B，当E与1D重合

时，由于11222EFBD==，，可知此时F为11BD的中点，如上图，连接11,BCCF，在正方体1111ABCDABCD−中，易由11//ABCD且11ABCD=可得：四边形11ABCD是平行四边形，所以11//ADBC，所以异面直线AE与BF所成角就是1CBF或其补角，由于1BB⊥平面

1111DCBA，1BF平面1111DCBA，所以11BBBF⊥，则2211426,BFBBFB=+=+=又因为11=22,2,BCCF=所以1862123cos2222683CBF+−===，因为()10πCBF，，所以1

π=6CBF，故B错误；对于C，在正方体1111ABCDABCD−中，易由11//ABCD且11ABCD=可得：四边形11ABCD是平行四边形，所以11//ADBC，又因为1AD平面1BDC，1BC平面1BDC，所以1//AD平面1BDC，同理可证明1AB//平面1BDC，又因为11ADAB

A=，11,ADAB平面11ABD，所以平面11//ABD平面1BDC，而平面AEF与平面11ABD共面，所以平面1CBD平面AEF，故C正确；对于D，由于11AB⊥平面11ADDA，1AD平面11ADDA，所以111ABAD⊥，又因为11ADDA⊥，1111DAABA=，1

11DAAB，平面11DABC，所以1AD⊥平面11DABC，又因为1AC平面11DABC，所以11ACAD⊥，同理可证明：11ACAB⊥，又因为11ABADA=，11ABAD，平面11ABD，所以1AC⊥平面11ABD，而平面AE

F与平面11ABD共面，则1AC⊥平面AEF，故D正确；故选：ACD.第II卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan2=，则()sincossin−=__________.【答案】25−##0.4−【解析】【分析】根据同角三角函数关系

式，结合齐次式可得解.【详解】由已知()sincossin−2sincossin=−222sincossinsincos−=+22tantantan1−=+22222215−==−+，故答案为：25−.13.设1e与2e是两个不共线向量，1232AB

ee=+，12CBkee=+，1232CDeke=−.若A，B，D三点共线，则k的值为________．【答案】94−【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量ABBD=，计算向量BD后，再转化为向量相等，即可求解k的值.【详解】因为A，B，D三点共线，所以必

存在一个实数λ，使得ABBD=.又1232ABee=+，12CBkee=+，1232CDeke=−，所以()121232BDCDCBekekee=−=−−+，化简为()()12321BDkeke=−−+，所以()()121232321eekek

e+=−−+，又1e与2e不共线，所以()()33221kk=−=−+解得94k=−.故答案：94−14.ABC中，8ABAC==，延长线段AB至D，使得2AD=，则BDBC+的最大值为__________.【答案】18【解析】【分析】分别在ABC与ACD

中用正弦定理，可得BDBC+，再利用二倍角公式化简，结合二次函数性质可得最值.【详解】如图所示，为设22AD==，在ABC中，由8ABAC==，则ππ22AABCACB−===−，再由正弦定理得sinsinBCABAACB=，即8πsin2sin2BC

=−，则8sin216sincosBC==，又在ACD中，由正弦定理得sinsinADACACDD=，即()8sinπ2sinAD=−−，即()()2284sincossin8sincos2sin2cos8sin332cos8sinsinsinAD

−+====−，所以2232cos16sin1632sin16sin16BDBCADBCAB+=+−=+−=−++，又0π02π0π3π−，即π03，3sin0,2，设

3sin0,2t=，则22132161632184BDBCttt+=−++=−−+，所以当1sin4t==时，BDBC+取得最大值为18，故答案为：18.四､解答题（本题共5小题，共77分，

解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,ambmm==−−R（1）若abab+=−，求实数m的值.（2）已知向量,ab的夹角为钝角，求实数m的范围.【答案】（1）67m=（2）6{|7mm且5}m.【解析】【分析】（1）对abab+=−两

边平方化简可得0ab=，然后将坐标代入可求出实数m的值；（2）由题意可得0ab且,ab不共线，从而可求出实数m的范围.【小问1详解】因为abab+=−，所以22abab+=−，所以222222aaabbabb−=+++，所以0ab=

，因为()()2,,3,5ambm==−−，所以6250abmm=−−=，解得67m=；【小问2详解】根据题意，向量a与b的夹角为钝角，则有()6701030abmmm=−−−−.解得：67m且5m，即m的取值范围为6{|7mm且5}m.16.已知函数()()sin(0

,0,π)fxAxA=+的部分图像如图所示.（1）求函数()fx的解析式及对称中心；（2）求函数()fx在ππ,122上的值域.（3）先将()fx的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12

个单位后得到()gx的图像，求函数()ygx=在π,π2x−上的单调减区间.【答案】（1）()π2sin23fxx=−，ππ,0,Z62kk+（2）1,2−（

3）πππ5π,,,2636−−【解析】【分析】（1）根据题意，求得()π2sin23fxx=−，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由2ππ,12x，可得22[,]33ππ6π−−x，根据三角函数的性

质，求得函数()fx的最值，即可求解；（3）根据三角函数图象变换，求得()πsin26gxx=−，求得函数()fx的单调递减区间，结合π,π2x−，即可求解.【小问1详解】解：根据函数()()sin(0,0,π)

fxAxA=+的部分图像，可得32π5ππ2,4123A==+，所以2=，再根据五点法作图，可得5ππ22π,Z122kk+=+，又因为π，可得π3=−，所以()π2sin23fxx=−，令π2π,3xkk

Z−=，解得ππ,Z62kxk=+，故函数()fx对称中心为ππ,0,Z62kk+.的【小问2详解】解：因为2ππ,12x，可得22[,]33ππ6π−−x，当ππ236x−=−时，即π12

x=，minπ()112fxf==−；当ππ232x−=时，即5π12x=，max5π()212fxf==，所以函数()fx的值琙为1,2−.【小问3详解】解：先将()fx的图像纵坐标缩短到

原来的12，可得πsin23yx=−的图像，再向左平移π12个单位，得到πππsin2sin21236yxx=+−=−的图像，即()πsin26gxx=−.

令ππ3π2π22π,Z262kxkk+−+，解得π5πππ,Z36kxkk++，可得()gx的减区间为π5ππ,π,Z36kkk++，结合π,π2x−，可得()gx在π,π2−上的单调递减区间为πππ5π

,,,2636−−.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2bCca+=．（1）求角B；（2）若D为AC的中点，且52BD=，b＝3，求ABC的面积．【答案】（1）3（2）23【解析】【分析】（1）

由余弦定理得出角B；（2）由向量的运算得出2225acac++=，由余弦定理得出229acac+−=，进而得出8ac=，最后得出面积.【小问1详解】因为2cos2bCca+=，所以222222abcbacab+−=−.即222acbac+−=，即2221cos

22acbBac+−==又(0,)B，所以3B=.【小问2详解】由52BD=，得52BD=，则由平行四边形法则可得，5BABC+=则22225BABCBABC++=，即2225acac++=①又2222cosbacacB=+−，即229acac

+−=②由①②可得8ac=.则13sin42322ABCSacB===△18.如图1，四边形ABCD为菱形，60,ABCPAB=△是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将PAB沿AB边折起，使3PC=，连接PD，如图2，（1）证明：ABPC⊥；（2）求异面直线BD与PC所成角

余弦值；（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MCN﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）34.的（3）存在，PN13PD=【解析】【分析】（1）由

等边三角形的性质可得PMAB⊥，再由四边形ABCD，60ABC=可得CMAB⊥，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面PMC，则ABPC⊥；（2）在PM上取点Q，使得2PQQM=，设DBMCF=，连接NF，,BQQF，可证得BFQ或其补角为异面直线BD

与PC所成的角，然后在BFQ中利用余弦定理求解即可；（3）设DBMCF=，连接NF，则由线面平行的性质可得PB∥NF，从而可找出N点的位置.【小问1详解】连接PM，因为PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以PMAB⊥.因为四边

形ABCD为菱形，60ABC=，所以ABC为等边三角形，所以CMAB⊥，因为PMMCM=，,PMMC平面PMC，所以AB⊥平面PMC，因为PC平面PMC，所以ABPC⊥【小问2详解】在PM上取点Q，使得2PQQM=，设DB

MCF=，连接NF，,BQQF，因为BM∥CD，所以12BFMFBMDFCFCD===，在PMC△中，12MFQMCFPQ==，所以QF∥PC，所以BFQ或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为13

QFPC=，所以1313QF==，又2211122cos12044433333BFBDBCCDBCCD==+−=++=，2211213333BQBMPM=+=+=，在BFQ中，由余弦定理得22244

1333cos2423213BFQFBQBFQBFFQ+−+−===,所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为34.【小问3详解】假设线段PD上存在点N，使得PB∥平面MCN，因为PB∥平面MNC，PB平面PBD，平面PBD平面MNCNF

=，所以PB∥NF，又12BFBMDFCD==，所以12BFPNFDND==.所以线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN13PD=．19.我们把由平面内夹角成60的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e，2e分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量12O

Pxeye=+，则称有序实数对,xy为向量OP的“创新坐标”，可记作,OPxy=.（1）已知1,1a=，2,3b=，1,2c=−，设cxayb=+，求xy+的值.（2）已知11,axy=，22,bxy=，求证：//ab的充要条件是12210xyxy−=.（3）若

向量a，b的“创新坐标”分别为sin,1x，cos,1x，已知()fxab=，xR求函数()fx的最小值.【答案】（1）4−（2）证明见解析（3）()min38fx=【解析】【分析】（1）根据向量线性运算的运算律可得解

；（2）根据向量共线定理可得证；（3）根据向量数量积的运算律结合三角函数与二次函数性质可得最值.【小问1详解】由已知1,1a=，2,3b=，1,2c=−，即12aee=+，1223bee=+，122cee=−+，又cxayb=+，即2132xyxy+=−+=，解得73xy=−

=，所以4xy+=−；小问2详解】由11,axy=，22,bxy=，则1112axeye=+，2122bxeye=+，当0b=时，//ab的充要条件是12210xyxy−=；当0b时，若//ab时，ab=，即1212xxyy

==，则1221xyxy=，又不恒为0，所以1221xyxy=，即12210xyxy−=，所以12210xyxy−=是//ab的必要条件；若12210xyxy−=时，2211xyxy==，则()21221111

1112bxeyexeyexeyea=+=+=+=，即//ab，所以12210xyxy−=是//ab的充分条件；综上所述，//ab的充要条件是12210xyxy−=；【【小问3详解】1e，2e分别为

Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角成60，则12121cos602eeee==，所以2212112122112122abxxexyeexyeeyye=+++()1212211212xxxyxyyy=

+++，所以()()1sincossincos12fxabxxxx==+++设πsincos2sin4xxxt+=+=，则2,2t−，且21sincos2txx−=，所以当12t=−时，min38y=，即()min38fx=.