【文档说明】第14讲 圆（易错点梳理+微练习）（解析版）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）.docx，共(34)页，1.552 MB，由管理员店铺上传

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第14讲圆易错点梳理易错点01在弧、弦、圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立。易错点02忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周

角互补。易错点03忽视弦的位置的不同情况而漏解在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类讨论。易错点04混淆三角形的外心和内心三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形3条角平分线的交

点；三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.。考向01与圆有关的性质例题1：（2021·山东临清·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（）A．8

0°B．75°C．70°D．65°【答案】C【思路分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得结论．【解析】解：连接BC．例题分析易错点梳理∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCB＝∠DE

B＝20°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，故选：C．【点拨】本题主要考查圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．例题2：（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OF

C的面积是（）A．40cm2B．20cm2C．10cm2D．5cm2【答案】D【思路分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出△BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF，则21=5cm2OFCOBFBOCS

SS==△△△，由此求解即可．【解析】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．∴14cm2BEBD==，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+

2）2解得：OE=3cm，∴5cmOCOAOEAE==+=，∴21=10cm2BOCSOCBE=△，∵OB=OC，OF⊥BC，∴BF=CF，∴21=5cm2OFCOBFBOCSSS==△△△∴21==5cm2OFCSOFFC△，故选D．

【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．考向02与圆有关的位置关系例题3：下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤

圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【思路分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性

质可判断⑥，从而可得答案.【解析】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意；在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意；等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意；过不在同一直线上的三点可以画一个圆

；故④不符合题意；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故⑥不符合题意；故选A【点拨】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三

角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键.例题4：（2021·山东·德州市第九中学九年级期中）如图，在Rt△AOB中，OB＝43，∠A＝30°，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则

线段PQ长度的最小值为（）A．22B．23C．33D．42【答案】C【思路分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝29OP−，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据30度角直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【解析】连接OP、

OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ＝22OPOQ−＝29OP−，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，43OB=，∴283ABOB==，由勾股定理得：2222(83)(43)12OAABO

B=−=−=在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OA=2OP′＝12，∴OP′＝6，∴线段PQ长度的最小值＝269−＝33，故选：C．【点拨】本题考查的是切线的性质、勾股定理、含30度角直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．考向03正多边形与圆例题5：（202

1·江苏宿迁·九年级期中）如图，在正六边形ABCDEF中，则ACF的度数为（）A．30°B．35C．20D．25【答案】A【思路分析】由正六边形的性质得出∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC=∠BC

A=30°，∠FAE=∠FEA=30°，求出∠CAE=30°．【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，∴∠BAC=∠BCA=30°，∵AB∥CF，∴∠CAB=∠ACF=30°．故选

：A．【点拨】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，求出∠B、∠BAF和∠F的度数是解题的关键．例题6：（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）下列关于正多边形的叙述，正

确的是（）A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720°C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【思路分析】根据正多边形、轴对称、中心对称的性质分析，即可判断选项A；根据多边形外角和的性质，即可判断选项B

；根据正多边形与圆的性质分析，即可判断选项C；根据正多边形和外角的性质分析，即可判断选项D，从而得到答案．【解析】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；任何正多边形都有一个外接圆

，故选项C正确；等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确；故选：C．【点拨】本题考查了正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与

圆、外角的性质，从而完成求解．考向04弧长与扇形面积的计算例题7：（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为

（）A．10πB．9πC．8πD．6π【答案】A【思路分析】连接OC交DE于F，证得四边形ODCE是矩形，得到△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，推出ODEOCESS=，∠COE=∠CDE=36°，再利用扇形面积公式计算．【解析】解：如图，连接OC

交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∴△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，∴ODEOCESS=，∠COE=∠CDE=36°，∴阴影部分的面积=23610=1036

0，故选：A．【点拨】此题考查了矩形的判定及性质，扇形面积的计算公式，熟记矩形的判定及性质定理是解题的关键．例题8：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动．若⊙O的面积为6，1MN=，则△AMN周长

的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【思路分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．【解析】解：连接

AC，⊙O的面积为6π，则圆的半径为6，则BD＝26＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，∴CA′⊥AC，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为

所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，则A′A＝22(26)1+＝5，则△AMN的周长的最小值为5+1＝

6，故选：C．【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．一、单选题1．（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若75ADC=，则BAC的度数是（）A．15°B．

25°C．30°D．75°【答案】A【解析】解：连结BC，微练习∵AB是⊙O的直径，90ACB=，∵∠ABC=∠ADC=75°，909075BACABC=−=−=15，故选A．2．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）如图，C是以

AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是

（）A．变大B．变小C．先变大再变小D．保持不变【答案】D【解析】解：如图，连接OD，OE，OC．∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°，DA＝DC，∵OA＝OC，∴OD垂直平分线段AC，∴点M在线段OD上，∴∠ODC＝45°，同法点N在OE上，∠OED＝45°，∴∠D

OE＝90°，∵∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE，∵OM＝ON，∴DM＝EN，∴DM：EN的值不变．故选：D．3．（2021·广东·广州市第七中学九年级期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．2B．2

22−C．22−D．22−【答案】B【解析】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，⊙D是它的外接圆，⊙E是它的内切圆，连接AE、BE，∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，∴AB=4，∴在Rt△ABC中，22ACBC==，∵⊙E是内切圆，∴EF=EG=E

D，∴ABCACEBCEABESSSS=++△△△△111222ACEFBCEGABED=++()12EFACBCAB=++，∵12ABCSACBC=△，∴()1122ACBCEFACBCAB=++

，即()1122222222422EF=++，∴222EF=−．故选：B．4．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D

，连接BD，则∠D的度数为（）A．58°B．59°C．60°D．61°【答案】B【解析】解：连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥

BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝59°，故选：B．5．（2021·江西兴国·九年级期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每

次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（）A．（﹣2，23）B．（﹣2，﹣23）C．（2，﹣23）D．（2，23）【答案】B【解析】解：连接OA，∠AOH=30°，AH=2，∴OH=2223OAAH−=，∵六边形AB

CDEF是正六边形，∴点A的坐标为（-2，23），点F的坐标为（2，23），点E的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，-23），点C的坐标为（-2，-23），点B的坐标为（-4，0），∵六边形ABCDEF是正六边形，∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，2020

÷6=336…4，∴当n=2020时，顶点A与顶点C重合，∴此时顶点A的坐标为（-2，-23），故选：B．6．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连

接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是．A．△AOE的内心与外心都是点GB．∠FGA＝∠FOAC．点G是线段EF的三等分点D．EF＝2AF【答案】D【解析】解

：如图，在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，∵OF=OA=OE=OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥

OA，∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，∴∠FAD=90°，∵∠AFE=30°，∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，∵∠GAE=∠GEA=30°，∴GA=GE，∵FG=2AG，∴FG=2GE，∴点G是线段

EF的三等分点，故C正确，∵AF=AE，∠FAE=120°，∴EF=3AF，故D错误，故答案为：D．7．（2021·山东巨野·九年级期中）如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．6

【答案】B【解析】∵△ABC是等边三角形，大⊙O是△ABC的外切圆，∴AO=OB=OC，∵小⊙O是△ABC的内切圆，∴OM=ON=OP，∴∠AOC=120°，∠AON=∠BON=∠AOP=∠CON=60°，BN=CM=AP=CP，∴S阴影=

S扇形AOC=21203360=3π，故选：B．8．（2021·河北古冶·九年级期中）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；

③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不

对【答案】D【解析】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和AP都是O的直径，OMON=，OEOF=，四边形MENF是平行四边形，EFMN=，四

边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图形可知当MOFAOB=，FOMAOBSS=扇形扇形，观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，故选：D．二、填空题9．（2021·福建福清·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在

半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，下列四个结论正确的有_____．（填序号）①点B与点C的距离是3；②CE＝BE；③CE长的最大值2.4；④BE的长的最小值是23﹣2．【答案】①③【解析】解：

连接BC，取AC的中点T，连接ET，BT．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝22ABAC−＝2254−＝3，故①正确，当点D与C重合时，BE＞CE，故②错误，当点D与B重合时，CE的值最大，最大值＝BCACAB＝125＝2.4，故③正确，∵EC⊥AD，∴∠AEC＝90°

，∵CT＝AT，∴ET＝12AC＝2，∵BT＝22BCCT+＝2232+＝13，∴BE≥BT﹣ET＝13﹣2，∴BE的最小值为13﹣2．故④错误，故答案为：①③．10．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，90ABC=，34A=

，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是弧CD的中点，求ABE的度数．【答案】11【解析】解：连结CD.∵90ABC=，34A=∴90903456ACBA=−=−=∵点B是弧CD的中点∴弧BC=弧BD∴BCDBDC=∵90B

CDBDC+=∴45BCDBDC==∴564511ACDACBBCD=−=−=又∵ABEACD=(同弧所对的圆周角相等）∴11ABE=11．（2021·江苏灌南·九年级期中）在RtABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为____

_．【答案】1【解析】解：设切点分别为D、F、E，连结OD，OF，OE在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AB+BC+AC=12，∴BC+AC=12-AB=12-5=7，∵AC,BCAB为圆的切线，∴AF=AE，BD=BE，CD=CF，O

D⊥BC，OF⊥AC，∴CD+CF=BC+AC-AB=7-5=2，∴CD=1，∵∠C=90°，∠ODC=∠OFC=90°，∴四边形CDOF为矩形，∵CD=CF，∴四边形CDOF为正方形，∴△ABC内切圆半径r=CD

=1．故答案为1．12．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值为________．【答案】4【解析】解：⊙O的面积为2π，

则圆的半径为222BD=，则＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，

故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，则A′A22(22)1=+=3，则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，故答案为：4．13．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D

，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知2AB=，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】5−【解析】解：连接AC，OD，∵四边形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO=∠PDO=

90°，∴四边形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=22，DE=2CD=22，∴AP=PD=AO=2，∴PE=32，∴图中阴影部分的面积221111()(

2232)2(2)52222ACPEAPAO=+−=+−=−故答案为：5-π．14．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中

阴影部分的面积为________．【答案】23132+−【解析】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴A

B＝AC，在△APB和△APC中，ABACAPAPPBPC===，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴112PEBC==，在Rt△ABE中，AE＝32AB＝3，∴AP＝

3﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝260211231(31)1213602232+−−−=−，故答案为：23132+−．三、解答题15．如图，AB是O的直径，点C

在⊙O上，D为⊙O外一点，且90ADC=，2180BDAB+=．（1）求证：直线CD为⊙O的切线．（2）若DC=23，AD=2，求⊙P的半径．（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明过程见解析；（2）4；（3）8633−【解析】（1）

证明：如图1，连接PC，则∠APC=2∠B，∵2∠B+∠DAB=180°，∴∠APC+∠DAB=180°，∴AD∥PC，∵∠ADC=90°，∴∠DCP=90°，∴PC⊥DC，故直线CD为⊙P的切线；（2）如图2，连接AC、PC，∵DC=23，AD=2，∠ADC=90°，∴AC=22221

244DCAD+=+=∴∠CAD=60°，由（1）得AD∥PC，∴∠CAD=∠ACP=60°，又PA=PC，∴△APC是等边三角形，∴PC=PA=AC=4，故⊙P的半径是4；（3）∵S梯形ADCP=12（AD+PC）×CD=12（2+4）×23=63，S扇形APC=2604

360=83，∴S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC=8633−，故阴影部分的面积为8633−．16．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．（1）求∠BAC的度数；（2）若AB＝8，且∠DCA＝

27°，求DC的长度；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）∠BAC的度数为18°；（2）DC的长度为42；（3）48−．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，∴∠B=180°－∠ADC=

180°－108°=72°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°－72°=18°；（2）如图，连接OC，OD，∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，∴∠DOC=2∠DAC=90°，∵AB=8

，∴OD=OC=OA=4，∴在RtOCD△中，22224442DCODOC=+=+=；（3）∵∠DOC=90°，OD=4，∴S扇形OCD29044360==，又∵1144822OCDSOCOD===△，∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=48−．17．（

2021·湖北新洲·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．（1）求证：OC//AD；（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．【答案】（1）见解析；（2）5．【解

析】（1）连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，∵点C为的中点，∴，∴OC⊥EB，∴OC//AD；（2）设BE交OC于点T．∵CD⊥AD，∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，∴四边形DETC是矩形，∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，∵OC

⊥EB，∴BT＝TE＝2，设OB＝OC＝r，∴OT=OC-CT=r-1在Rt△BOT中，由勾股定理得：r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝52，∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．18．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜

0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求a的值．②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、

N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．【答案】（1）(1,4)a−；（2）①1−；②5(2M，7)4、3(2N，15

)4；③(1,426)−+或(1,426)−−【解析】解：（1）2223(1)4yaxaxaaxa=−−=−−，(1,4)Da−．（2）①以AD为直径的圆经过点C，ACD为直角三角形，且90ACD=；由223(3)(1)yaxaxaaxx=−−=−+知，(3,0)A、(1,0)B−

、(0,3)Ca−，则：2299ACa=+、221CDa=+、22164ADa=+由勾股定理得：222ACCDAD+=，即：2229a9a116a4+++=+，化简，得：21a=，由0a，得：1a=−，②1a=−，抛物线的解析式：2yx2x3=−++，(1,4)D

．将OBE绕平面内某一点旋转180得到PMN，//PMx轴，且PMOB1==；设2(,23)Mxxx−++，则OFx=，223MFxx=−++，BFOFOBx1=+=+；2BFMF=，212(

23)xxx+=−++，化简，得：22350xx−−=，解得：11x=−（舍去）、252x=，5(2M\，7)4，1OA=，37(,)24P，点,NP的横坐标相同，3(,)2NNy，又NQ到抛物线上，2331523224Ny=

−++=，3(2N，15)4．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CHQD⊥于H，如下图：(0,3)C、(1,4)D，1CHDH==，即CHD是等腰直角三角形，QGD也是等腰直角三角形，即：222Q

DQG=；设(1,)Qb，则4QDb=−，2224QGQBb==+；得：22(4)2(4)bb−=+，化简，得：2880bb+−=，解得：426b=−；即点Q的坐标为(1,426)−+或(1,426)−−．19．（2021·江苏新

吴·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以

BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，

而在如图1所示的弓形内部，我们记为A，请你利用图1证明BAC＞30°；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长为AB＝23，BC＝4，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°．①线段PB长的最小值为

；②若PCDS＝32PADS△，则线段PD长为．【答案】（1）①4；②843+；（2）见解析；（3）①232−；②6+2【解析】（1）解：①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BCA＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC是等边

三角形，∴OB＝OC＝BC＝4，即半径为4，故答案为：4；②∵△ABC以BC为底边，BC＝4，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最

大，∴BE＝CE＝2，DO＝BO＝4，∴OE22BOBE=−=23，∴DE＝DO+OE＝4+23，∴△ABC的最大面积为124×（4+23843+）＝，故答案为：8+43；（2）证明：如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC＝30°，∵∠BA′C

＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）解：①如图，当点P在BC上，且PC＝2时，∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝23，AD＝BC＝4，∴PD22PCCD=+=4，∠DPC＝60°，为定值

，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，∴当点P在优弧CPD上时，∠DPC＝60°，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∴点E为PC中点，即QE12=

CD3=，PE＝CE12=PC＝1，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3，∴BQ22BEQE=+=23，∵PD＝4，∴圆Q的半径为2，∴BP′＝BQ﹣P′Q＝23−2，即BP的最小值为23−2，故答案为：23−2；②∵AD＝4，CD＝23，S△PCD32=S△PAD

，∴32CDAD=，∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，∴点P在∠ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠

CDP＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝23，∴CF＝DF6=，∵∠DPC＝60°，∴PF2=，∴PD＝DF+PF62=+．故答案为：62+．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）在⊙O中，CD为弦，OP为⊙O的半径，

OP交CD于点H，若弧PC＝弧PD．（1）如图1：求证：CD⊥OP；（2）如图2：直径AB∥CD，弦BE⊥OD于F．求证：BE＝2OH；（3）如图3：在（2）的条件下，连接EC，过C作CN⊥CE交⊙O于N，交AB于M，若PH＝A

M，OF＝4，求线段CN的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】解：（1）连接OA、OD»»PCPD=QCOPDOP=在△COH与DOH△中，COCOCOPDOPOHOH===()COH

DOHSASVV1180902CHODHO===CD⊥OP；（2）AB∥CD，BODODH=弦BE⊥OD于F,90BFOOHD==OBOD=tt()RBOFRODHAASVVBFOH=由垂径定理得，2BE

BF=BE＝2OH；（3）连接EN，CN⊥CEEN为直径，tt()RBOFRODHAASVV，==4OFDH，CD=8，PH＝AM，OH=OM=BFBE=2OH．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com