【文档说明】2021学年人教A版高中数学必修4章末测评：第1章 三角函数.docx，共(12)页，170.330 KB，由小赞的店铺上传

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章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是()A．330°B．210°C．150°D．30°B[因为－510°＝－36

0°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.]2．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sinα的值是()A.22B．－22C．1D.22或－22D[由已知得sinα＝aa2＋a2＝a2|a|＝±22.]

3．函数y＝sinx2是()A．周期为4π的奇函数B．周期为π2的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数A[y＝sinx2为奇函数，T＝2π12＝4π，故选A.]4．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值是

()A.25B．－25C．－2D．2A[由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得12cosα＝6sinα，即tanα＝2，所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.]5．设

α是第二象限角，则sinαcosα·1sin2α－1＝()A．1B．tan2αC．－tan2αD．－1D[∵α是第二象限角，∴原式＝sinαcosα1－sin2αsin2α＝sinαcosα·|cosα||si

nα|＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.]6．函数y＝2sin2x＋π3的图象()A．关于原点对称B．关于点－π6，0对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝π6对称B[因为当x＝0时，y＝2sinπ3＝3，当x＝

π6时，y＝2sin2π3＝3，当x＝－π6时，y＝2sin0＝0.所以A、C、D错误，B正确．]7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是()A．ω＝1，φ＝π3B．ω＝1，φ＝－π3C．ω＝12，φ＝π6D．ω＝12，φ＝－π6C[由图象知，T＝4

2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x＝2π3时，y＝1，∴sin12×2π3＋φ＝1，π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，当k＝0时，φ＝π6.]8．设ω＞0，函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位

后与原图象重合，则ω的最小值是()A.23B.43C.32D．3C[y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位得y＝sinωx－4π3＋π3＋2＝sinωx＋π3－4ωπ3＋2.由已知得4ωπ3＝2

kπ，k∈Z，即ω＝3k2，k∈Z，又因为ω＞0，所以k＝1时，ω取最小值32.]9．函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3A[因为0≤x≤9，所以0≤π6x≤9×π6，－π3≤π

6x－π3≤7π6，－32≤sinπ6x－π3≤1，所以－3≤2sinπ6x－π3≤2.所以函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－3.]10．若f(x)＝tanx＋π4，则()A．f(1)＞

f(0)＞f(－1)B．f(0)＞f(1)＞f(－1)C．f(0)＞f(－1)＞f(1)D．f(－1)＞f(0)＞f(1)C[f(0)＝tanπ4，f(－1)＝tanπ4－1，f(1)＝tanπ4＋1

＝tanπ4＋1－π＝tan1－34π.∵－π2＜1－34π＜π4－1＜π4＜π2，又∵y＝tant在t∈－π2，π2上是增函数，∴tanπ4＞tanπ4－1＞tan1－34π.∴f(0)＞f(－1)＞f(1)．]11．已知函数f(x)＝

Acos(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0,0＜ω＜π)的最大值为3，y＝f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与y轴的交点的纵坐标为1，则f13＝()A．1B．－1C.32D．0D[由题设条件可得A＝2，T2＝2⇒T＝4，则ω＝2π4＝π2，所以f(x

)＝2cosπ2x＋φ＋1，将点P(0,1)代入可得f(0)＝2cos(0＋φ)＋1＝1⇒cosφ＝0，即φ＝kπ＋π2，k∈Z，又0＜φ＜π⇒φ＝π2，所以f(x)＝2cosπ2x＋π2＋1，所以f13＝2cos2π3＋1＝0，故选D

.]12．设函数f(x)＝sin2x＋π3，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝π3对称B．f(x)的图象关于点π4，0对称C．把f(x)的图象向左平移π12个单位，

得到一个偶函数的图象D．f(x)的最小正周期为π，且在0，π6上为增函数C[当x＝π3时，2x＋π3＝π，f(x)＝sinπ＝0，不合题意，A不正确；当x＝π4时，2x＋π3＝5π6，f(x)＝sin5π6＝12，B不正确；把f(x)的图象向左平移π12个单位，得到

函数y＝sin2x＋π12＋π3＝sin2x＋π2＝cos2x，是偶函数，C正确；当x＝π12时，fπ12＝sinπ2＝1，当x＝π6时，fπ6

＝sin2π3＝32＜1，在0，π6上f(x)不是增函数，D不正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知tanα＝－3，π2＜α＜π，那么cosα－sinα的值是________．－1＋32[因为tanα＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2

π3，所以cosα＝－12，sinα＝32，cosα－sinα＝－1＋32.]14．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为________cm.6π＋40[∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l＝

|α|·r＝6π，∴周长为(6π＋40)cm.]15．设f(θ)＝2cos2θ＋sin2(2π－θ)＋sinπ2＋θ－32＋2cos2(π＋θ)＋cos(－θ)，则f17π3＝________.－512[原式f(θ)＝2cos2θ＋(－sinθ)2＋cos

θ－32＋2cos2θ＋cosθ＝cos2θ＋cosθ－22cos2θ＋cosθ＋2，∵cos17π3＝cos6π－π3＝cosπ3＝12，∴原式＝14＋12－22×14＋12＋2＝－512.]16

．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f(1)＝f(3)＝f(9)＝m，且f(x)在(3,9)上无最小值，则ω＝________，函数f(x)的单调减区间为________．π4[8k－2,8k＋2]，k∈Z[∵函数f(x)＝sin(

ωx＋φ)(ω＞0)满足f(1)＝f(3)＝f(9)＝m，且f(x)在(3,9)上无最小值，∴x＝2，x＝6为函数f(x)的图象上2条相邻的对称轴，f(2)为最小值，f(6)为最大值．故函数的最小正周期为2×(6－2)

＝8＝2πω，∴ω＝π4.∴2×π4＋φ＝－π2，6×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π，f(x)＝sinπ4x－π＝－sinπ4x.令2kπ－π2≤π4x≤2kπ＋π2，求得8k－2≤x≤8k＋2，可得函

数f(x)的单调减区间为[8k－2,8k＋2]，k∈Z.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(

2π－α)；(2)sin[α＋(2n＋1)π]＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋2nπ)(n∈Z)．[解]因为cos(π＋α)＝－12，所以－cosα＝－12，cos＝12.又角α在第四象限，所以sinα＝－1－cos2α＝－32.(1)sin(2π－α

)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝32.(2)sin[α＋(2n＋1)π]＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋2nπ)＝sin(α＋2nπ＋π)－sinαsinαcosα＝sin(

π＋α)－sinαsinαcosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.18．(本小题满分12分)已知角α的终边上一点(x,3)，且tanα＝－2，(1)求x的值；(2)若tanθ＝2，求

sinαcosα1＋cos2α＋sinθ－cosθsinθ＋cosθ的值．[解](1)由任意角三角函数的定义知tanα＝3x＝－2，解得x＝－32.(2)sinαcosα1＋cos2α＋sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝sinαcosαsin2α＋2cos2α＋si

nθ－cosθsinθ＋cosθ＝tanαtan2α＋2＋tanθ－1tanθ＋1＝－24＋2＋2－12＋1＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cosπ3－2x.(1)若f(x)＝1，x∈－π6

，π4，求x的值；(2)求f(x)的单调递增区间．[解](1)由f(x)＝1得cosπ3－2x＝12，即cos2x－π3＝12，∴2x－π3＝2kπ±π3(k∈Z)，即x＝kπ或x＝kπ＋π3(k∈Z)．∵x∈－π6，π4.∴x＝0.(2)f(

x)＝2cosπ3－2x＝2cos2x－π3，令2kπ－π≤2x－π3≤2kπ(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．20．(本小题

满分12分)已知函数f(x)＝2cos2x－π4，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．[解](1)因为f(x)＝2co

s2x－π4，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.由－π＋2kπ≤2x－π4≤2kπ(k∈Z)，得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．(2

)因为f(x)＝2cos2x－π4在区间－π8，π8上为增函数，在区间π8，π2上为减函数，又f－π8＝0，fπ8＝2，fπ2＝2cosπ－π4＝－2cosπ

4＝－1，所以函数f(x)在区间－π8，π2上的最大值为2，此时x＝π8；最小值为－1，此时x＝π2.21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x

)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．[解](1)∵x＝π8是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin2×π8＋φ

＝±1.∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y＝sin2x－3π4.由题意得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2，k∈Z.∴函数y＝sin2x－3

π4的单调增区间为kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z.(3)由y＝sin2x－3π4，知x0π83π85π87π8πy－22－1010－22故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是22．(本小题满分12分)图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，

距地面高为32m(即OM＝32m)．巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m(即PM＝2m)，巨轮转动一周需15min.某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M′.(1)试建立点M′距地面的高度h(m)关于转动时

间t(min)的函数关系，并写出定义域；(2)求转动过程中点M′超过地面45m的总时长．[解](1)如图所示，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy,设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边OP′所形成的角为2π15t－π2，则点P′的纵坐标为30sin2

π15t－π2，所以M′点距地面的高度为h＝30sin2π15t－π2＋32－2＝301－cos2π15t，t∈[0,45]；(2)当点M′超过地面45m时，h＝301－cos2π15t＞45，即cos2π15t＜－12，所以2π3＋2kπ＜2π15

t＜4π3＋2kπ，k∈Z，即5＋15k＜t＜10＋15k，k∈Z；因为t∈[0,45]，所以t∈(5,10)∪(20,25)∪(35,40)，所以总时长为15分钟，即点M′超过地面45m的总时长为15分钟.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www

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