【文档说明】山东省青岛市2023届高三三模数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.878 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-32ac03e8e5f9dfcf031fcd2619902adb.html

以下为本文档部分文字说明：

2023年高三年级第三次适应性检测数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置

．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，集合A，B满足()AABI，则下列关系一定正确的是（）A.AB=B.BAC.()UAB=ðD.()UAB?

?ð【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，求得AB，再进行选择即可.【详解】因为集合A，B满足()AABI，故可得AB，对A：当A为B的真子集时，不成立；对B：当A为B的真子集时，也不成立；对C：()UAB=ð，恒成立

；对D：当A为B的真子集时，不成立；故选：C.2.若na为等比数列，则“135aaa”是“数列na是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等比数列na是递增

数列，得到135aaa一定成立，反之不成立，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】若等比数列na是递增数列，可得135aaa一定成立；反之：例如数列1(1)2nn+−，此时满足135aaa，但数列na不是递增数列，所以“135aaa”

是“数列na是递增数列”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性性，以及必要不充分条件的判定，着重考查推理与计算能力，属于基础题.3.将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（）A.59B.524C.1

4D.23【答案】A【解析】【分析】运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）

中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为59.故选：A.4.某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布

前，A，B，C三人对成绩作出如下预测：A说：乙肯定不是冠军；B说：冠军是丙或丁；C说：甲和丁不是冠军．成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】

【分析】由题意分类讨论一一排除即可.【详解】若A预测错误，则B、C预测正确，即乙是冠军，则B的预测冠军是丙或丁错误，矛盾；若B预测错误，则A、C预测正确，即甲乙丁不是冠军，丙是冠军，与B的预测矛盾；所以C预测错误，则A、B预测正确

，即甲和丁有一个是冠军，又B预测冠军是丙或丁正确，故冠军为丁.故选：D5.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶

点()30A−,，()3,0B，()3,3C，若直线l：()2390axay+−−=与ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（）A.－2B.－1C.－1或3D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外

心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.【详解】由ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C知，ABC重心为333003,33−++++，即()1,1，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点3303,22−++

，即30,2，所以可得ABC的欧拉线方程3112110yx−−=−−，即230xy+−=，因为()2390axay+−−=与230xy+−=平行，所以239123aa−−=−，解得1a=−，故选：B6.将函数π()sin(0)3fxx=+图象向左平移π2后

，得到()gx的图象，若函数()gx在π0,2上单调递减，则的取值范围为（）A.(0,3B.(0,2C.40,3D.20,3【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图像变换及单调性计算即可.【详解】

π()sin(0)3fxx=+向左平移π2，得()ππ5πsinsin236gxxx=++=+，π0,2x时，5π5ππ5π,6626x++

，()gx在π0,2上单调递减，即π5π3π42623+，故40,3.故选：C7.已知向量a，b，c满足：1ab==，()12aab−=，()()30bcbc−−=，则ac−的最小值为（）A.31−B.3C.2D.1【

答案】A【解析】【分析】建立平面坐标系，用坐标表示a，b，c，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】由题意不妨设()()()1,0,,,,bOBaOAmncOCxy======，则()()22113,1,224mnmnmn−=−+=，且221+=mn，解之得13,2

2mn==或32n=−，由()()()()()()2222301,3,21021bcbcxyxyxyxy−−==−−−−=−+−=−+=，即c的终点C在以()2,0D为圆心，1为半径的圆上，故acCA−=，由圆的对称性，不妨令32n=，即13,22a=，

连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系可知2213213122CAAEADDE=−=−+−=−.故选：A的8.已知O为坐标原点，双曲线C：()222210,0xyabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，过C的右焦点2F且倾斜角

为3的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，222FWab=+，△1FAB的周长等于12，则（）A.a＝3B.双曲线C的渐近线方程为2yx=C.9AB=D.6OW=【答案】D【解析】【分析】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得a、b的值，进

而代入计算判断各个选项即可.【详解】如图所示，由题意知，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，其中22cab=+，设直线AB方程为3()yxc=−，联立2222222222223()(3)6301yxcbaxacxacabxyab=−−+−−=−=，设11(,)Axy，22(,)B

xy，则2122263acxxab+=−，2222122233acabxxab+=−，则2222121230Δ0300baabxxxx−+所以2222222221212222222638||1()42()4333acacababABkx

xxxababab+=++−=−=−−−①，由双曲线定义知，1212||||||||2AFAFBFBFa−=−=，所以1FAB的周长为12122222||||||||2||22||22(||||)42||412AFAFBFBFAFaBFaAFBFaABa+++=+++=++=+=，所以||62

ABa=−②，由①②得：322230aaabb−++=③，又因为W为AB的中点，所以21222323Wxxacxab+==−，22233()3WWbcyxcab=−=−，所以22222233(,)33acbcWabab−−，所以22222222222222332||()()333acb

cbcFWcabababab=−+==+−−−，解得：ab=④，由③④可得：1ab==，所以双曲线方程为221xy−=.所以双曲线渐近线方程为yx=，故A项错误、B项错误；对于C项，||624ABa=−=，故C项错误；对于D

项，因为1ab==，所以2c=，所以326(,)22W，所以22326||()()622OW=+=，故D项正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于x的方程24x=−的复数解为1z，2z，则（）A.124zz=−B.1z与2z互为共轭复数C.若12iz=，则满足12izz=+的复数z在复平面内对应的点在第二象限D.若1z=，则12zzz−的最小值是3【答案】BD

【解析】【分析】根据给定条件，求出12,zz，再逐项计算、判断作答.【详解】因为2(2i)4=−，因此不妨令方程24x=−的复数解122i,2izz==−，对于A，122i(2i)4zz=−=，A错误；对于B，1z与2z互为共轭复数，B正确；对于C，12iz=，由12izz=+，得2i(

2i)(i)12i1i2i2i(i)22z++−−====−−，则复数z在复平面内对应的点1(,1)2−在第四象限，C错误；对于D，设i(,R)zxyxy=+，由1z=，得221xy+=，显然有11x−，由选项A知124zz=，因此2212|(4)i|(4)1783zzzxy

xyx−=−+=−+=−，当且仅当1x=，即1z=时取等号，D正确.故选：BD10.为了判断某地区超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则（）超市ABCDEFG广告支出x万

元1246101320销售额y万元19324440525354A.广告支出的极差为19B.销售额的中位数为40C.若销售额y与广告支出x之间的经验回归方程为1.5yxm=+，则30m=D.若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间线性相关程度会减弱【答案】AC【解析】

【分析】根据极差、中位数、线性回归的相关知识即可解决.【详解】A：支出极差：20119−=，故A正确；B：销售额中位数：按照从小到大的顺序排列后，可知中位数为44，故B错误；C：样本中心点()(),8,42xy=恒过线性回归方程，因为1.5yxm

=+，所以30m=，故C正确；D：因为()1,19不在线性回归直线上且偏差较大，去掉这组数据后，相关程度会更高，故D错误.故选：AC.11.已知实数a，b，满足a＞b＞0，lnln1ab=，则（）A.2e

abB.log2log2abC.11122abab++D.abbaabab【答案】BCD【解析】分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得1abab++，结合指数函数单调性分析判断；

对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为()22lnlnlnlnln44ababab+=，即2ln14ab，解得ln2ab或ln2ab−，所以2eab或210eab，故A错误；对于选项B：()()ln2ln

lnln2ln2log2log2ln2lnlnlnlnlnlnabbabaabab−−=−==−，因为a＞b＞0，则lnlnab，即lnln0ba−，且ln20，所以log2log20ab−，即log2log2ab，

故B正确；对于选项C：因为a＞b＞0，且lnln10ab=，可得ln,lnab同号，则有：的【若ln,lnab同正，可得e1ab，则()()()1110ababab−−=−++，可得1aba

b++；若ln,lnab同负，可得110eab，则()()()1110ababab−−=−++，可得1abab++；综上所述：1abab++，又因为12xy=在定义域内单调递减，所以11122abab++，故C

正确；对于选项D：因为a＞b＞0，则0ab−，可得abyx−=在()0,+内单调递增，可得0ababab−−，且,0baab，所以abbaabab，故D正确；故选：BCD.12.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，2AC=，点M，N

分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（）A.平面PAC⊥平面ABCB.WMN△面积的最小值为624C.平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形D.若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体

的体积最小值为22【答案】ABD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判断A；以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设NMNW，所成角为，由空间向量的数量积定义可求出212cos12=−+，由

三角形的面积公式结合二次函数的性质可判断B；当W为PA中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面MWND为是菱形，可判断C；若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，三棱锥的棱长最长为2，故可求出正方体的体积最小值可判断D.【详解】对于A，因为22

2PAPCAC+=，222BABCAC+=，故PCPA⊥，ABBC⊥，则22PNBN==，又因为1PB=，所以222PNBNPB+=，故PNNB^，因为PAPC=，N为AC的中点，所以PNAC⊥，则,,ACNBNACNB=平面ABC，所以PN^平面ABC，PN平面PAC，则平面PAC⊥平面

ABC，故A正确；对于B，因为PN^平面ABC，BNAC⊥，以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则222,0,0,0,,0,0,0,222ABP，220,,44M，所以()22222,0,0,0,=1,0

,22222NWNAAWNAAP=+=+=+−−，所以220,,44NM=，设NMNW，所成角为，而211coscos22NMNWNMNW=

=−+，又1=4NMNW，故212cos12=−+，2223142sin1cos12−+=−=−+，所以WMN△的面积为22113113221326sin2442423942324SNMNW==−+=−+=，故B正确；

对于C，当W为PA中点，取BC的中点D，连接,MDND，因为11////,22MWABNDMWABND===，故四边形,,,MWND四点共面，且四边形MWND为平行四边形，又因为1122WNPCMD===，故四边形MWND为菱形，所以当W为PA中点时，平面WMN截该三

棱锥所得截面MWND为是菱形，故C不正确；对于D，因为PCPA⊥，ABBC⊥，所以22NCNANCNP====，故三棱锥P－ABC的外接球半径为22，故该外接球的内接正方形的棱长为2，若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值

为()3222V==，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题的关键点在于由空间向量的数量积定义可求出212cos12=−+，由三角形的面积公式可得21131sin2442SNMNW==−+，再由二次函数的性质可求出WMN△面积的最小值.三、填空题：本题共4个小

题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线214yx=的焦点重合，则椭圆C的标准方程为______．【答案】22143yx+=【解析】【分析】求得抛物线焦点即椭圆焦点，再设椭圆方程，由椭圆长轴长和焦点坐标求得a，c，再由a，b，c的关系

求b即可.【详解】抛物线方程化为标准方程得24xy=，焦点坐标为()0,1F，∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，设椭圆方程为22221yxab+=，（0ab），则由焦点坐标和长轴长知1c=，24a=，∴2a=，∴2223bac=−=，∴椭圆C的标准方程为221

43yx+=.故答案为：22143yx+=.14.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______．【答案】4π3##4π3【解析】【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥母线长，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面PAB，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内

切圆O，由此图形计算出球的半径后可得表面积．【详解】设圆锥母线长为l，由题意2π1πl=，2l=，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面PAB，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O，,DE是切点，如图，易知PD是圆锥的高，O在PD上，由2,1PABD=

=得π6BPD=，因此π3ABP=，所以1π26OBDDBP==，π3tan63ODBD==，所以圆锥内半径最大的球的表面积为234π4π()33S==，故答案为：4π3．15.若13nxx+展开式的所有项的二

项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为______．（用数字作答）【答案】28【解析】【分析】根据二项式系数之和可得8n=，结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数.【详解】因为展开

式的所有项的二项式系数和为2256n=，解得8n=，则13nxx+展开式为()83882188C1C,0,1,2,,833rrrrrrrTxxrx−−+−===，可得第1r+项的系数为818C

,0,1,2,,83rrrar+−==，令121rrrraaaa+++，即1888718889CC33CC33rrrrrrrr+−−−−−，解得6r=，所以展开式中第7项系数最大，其二项

式系数为68C28=.故答案为：28.16.设()fx为定义在整数集上的函数，()11f=，()20f=，()10f−，对任意的整数,xy均有()()()()()11fxyfxfyfxfy+=−+−．则()55f=______．【答案】1−【解析】【分

析】采用赋值的方式可求得()()0,1ff−，令1y=和yx=−可证得()fx的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()fx的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1xy==，则()()()()()()21001200ffffff=+==，()00f=；令2x=，1y=−，则(

)()()()22212111ffff=+−=−=，又()10f−，()11f−=−；令1y=，则()()()()()()10111fxfxffxffx+=+−=−，()fx\关于直线1x=对称；令yx=−，则()()()(

)()()()()01110ffxfxfxfxfxfxfx=++−−=+−+=，()10fx+=不恒成立，()()0fxfx+−=恒成立，()fx\为奇函数，()()()2fxfxfx+=−=−，()()()42fxfxfx+=−+=，()

fx\是周期为4的周期函数，()()()55414111fff=−=−=−.故答案为：1−.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系

式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()2sin2tancBacC=−

．（1）求角B；（2）若c＝3a，D为AC中点，13BD=，求ABC的周长．【答案】（1）π3B=；（2）827+．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式、同角关系式变形整理

可求得B角；（2）由余弦定理求得7ba=，在ABD△和CBD△中由余弦定理和coscos0CDBDB+=求得a，从而可得周长．【小问1详解】∵()2sin2tancBacC=−，所以sin2sinsin(

2sinsin)cosCCBACC=−，sin0C，则2sincos2sinsin2sin()sinBCACBCC=−=+−2(sincoscossin)sinBCBCC=+−，整理得2sincossinCBC=，又sin0C，∴1cos2B=，而(0,π

)B，∴π3B=；【小问2详解】3ca=，由余弦定理得222222π2cos923cos73bacacBaaaaa=+−=+−=，7ba=，D是AC中点，则72ADCDa==，在ABD△中由余弦定理得，2271394cos72132aaADBa+−=，在CBD△中由余弦定理

得，227134cos72132aaCDBa+−=，πCDBADB+=，coscos0CDBDB+=，∴222277139134407721321322aaaaaa+−+−+=，解得2a=，所以ABC的周长为73827abcaaa++=++=+

．18.如图，三棱台111ABCABC-中，平面11BCCB⊥平面ABC，AB＝AC，π2BAC=，1124ABAB==，113BBCC==．（1）求四棱锥111ABCCB−的体积；（2）在侧棱1BB上是否存在点E，使得二面角E－AC－B的余弦值为721

0？若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）2；（2）存在，E为侧棱1BB的中点【解析】【分析】（1）取11BC的中点1O，连接11AO，利用面面垂直的性质证明11AO⊥平面11BCCB，再利用锥体的

体积公式求解作答.（2）取BC的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量及二面角的余弦值求解作答.【小问1详解】在三棱台111ABCABC-中，取11BC的中点1O，连接11AO，因为ABAC=，π2

BAC=，1124ABAB==，则11111112,2ABACBAC===，有1142,22BCBC==，111111,2AOBCAO⊥=，因为平面11BCCB⊥平面ABC，平面//ABC平面111ABC，则平面11BCCB⊥平面111ABC，平面11BCCB平面11111ABCB

C=，11AO平面111ABC，于是11AO⊥平面11BCCB，梯形11BCCB中，113BBCC==，则梯形11BCCB的高2222111()(3)(2)12BCBChBB−=−=−=，因此梯形11BCCB的面积1(2242)1322S=+=，

所以四棱锥111ABCCB−的体积1111322233VSAO===.【小问2详解】取BC的中点O，连接AO，因为ABAC=，则AOBC⊥，在等腰梯形11BCCB中，1,OO分别为上下底边11,BCBC的中点，有1OOBC⊥，而平面11BCCB⊥平面ABC，平面11BCC

B平面ABCBC=，1OO平面11BCCB，于是1OO⊥平面ABC，以O为原点，分别以1,,OAOBOO所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则1(22,0,0),(0,22,0),(0,22,0),(0,2,1)ABCB−，令1(01)BEmBBm=，有(0,222,)

Emm−，设平面ACE的法向量为(,,)nxyz=，而(22,22,0),(0,422,)CACEmm==−，则22220(422)0nCAxynCEmymz=+==−+=，令xm=，得(,,422)nmmm=−−，因为1OO⊥平面ABC，则1(0,0,1)OO=为平面AB

C的一个法向量，记二面角EACB−−的平面角为，于是11221||42272cos|cos,|10||||2(422)nOOmnOOnOOmm−====+−，即2620mm+−=，而01m，解得12m=，所以存在

点E为1BB的中点，使得二面角EACB−−的余弦值为7210.19.记nS是数列na的前n项和，1(1)3nnnnSa++−=，2122nnnbaa+=+．（1）求数列nb的通项公式；（2）若1a，

2a，3a成等差数列，求21nS−．【答案】（1）2123nnb−=；（2）2116,19,2nnnSn−−==．【解析】【分析】（1）由2n时，1nnnaSS−=−得{}na的递推关系，从而可得；（2）由已知让1,2n=结合等差数列性质求得123,,a

aa，由此可得13,SS，已知式中让n取偶数即可得21(2)nSn−，从而得出结论．【小问1详解】∵1(1)3nnnnSa++−=，∴2n时，111(1)3nnnnSa−−−+−=，两式相减得：111(1)(1)

23nnnnnnaaa−−++−−−=，即11(1)(1)23nnnnnnaaa−++−+−=，n是偶数时，11223nnnaa−++=，∴21212223nnnnbaa−+=+=；【小问2详解】由已知123aa−=①，1239aaa++=②，∵1a，2a，3a成等差数列，∴1322aaa

+=③，①②③联立解得1236,3,0aaa===，∴16=S，239SS==，由已知得2222213nnnSa−−−+=(2)n，即2212139nnnS−−−==(2)n，综上，2116,19,2nnnSn−−==．20.已知动圆P经过点()3,0A−，并且与圆B

：()22316xy−+=相切，记圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若动圆Q的圆心在曲线C上，定直线l：x＝t与圆Q相切，切点记为M，探究：是否存在常数m使得QBmQM=？若存在，求m

及直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）存在常数32m=使得||||QBmQM=，此时直线l方程为433x=【解析】【分析】（1）由动点的轨迹满足椭圆定义求椭圆方程即可.（2）设出点Q坐标可表示||QB、||QM，根据|||

|QBmQM=恒成立列式可求得结果.【小问1详解】如图所示，由题意知，圆B圆心为(3,0)B，半径为4，设动圆P的半径为R，因为2(33)16−−，所以点(3,0)A−在圆B内，如图所示，所以PAR=，4PBR=−，所以4PAPB+=||23AB=，所以圆心P的轨迹为以A、B为

焦点，长轴长为4的椭圆.所以24a=，223c=，故2a=，3c=，则221bac=−=.所以曲线C的方程为2214xy+=.【小问2详解】如图所示，存在常数m使得||||QBmQM=，理由如下：设00(,)Qxy，则220014xy+=，0[2,2]x−，0(,)Mty，所以

222220000003||(3)(3)(1)23444xxQBxyxx=−+=−+−=−+，0||||QMxt=−，假设存在常数m使得||||QBmQM=，则22220003234()4xxmxt−+=−对于任意的0[2,2]x−恒成立，即：

22200343()43xmxt−=−对于任意的0[2,2]x−恒成立，所以234m=，433t=.即：存在常数32m=使得||||QBmQM=，此时直线l方程为433x=.21.甲、乙两人

组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为34，23．（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X

的分布列及数学期望()EX；（2）假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记nP表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，123(4)nnnnPaPbPcPn−−−=++，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大

．【答案】（1）分布列见解析，()512EX=；（2）111,,248abc===，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，求得X的取值，再求对应的概率即可求得分布列；再根据分布列求()EX即可；

（2）求得1234,,,PPPP，再分析第n轮得分情况和第1,2,3nnn−−−轮得分情况，从而求得递推关系，通过1nnPP+−的正负，即可判断和证明.【小问1详解】由题可知是，X的取值为1,0,1−，()3211114312PX=−=−−=；()323250114

34312PX==−+−=；()3211432PX===故X的分布列如下：X1−01()PX11251212则()15151011212212EX=−++=.小问2详解】由题可知，

341234171131,1,1,1328216PPPP===−==−=；经分析可得：若第n轮没有得1分，则112nnPP−=；若第n轮得1分，且第1n−轮没有得1分，则214nnPP−=；若第n轮得1分，且第1n

−轮得1分，第2n−轮没有得1分，则318nnPP−=；故()1231114248nnnnPPPPn−−−=++，故111,,248abc===；因为123111248nnnnPPPP−−−=++，故112111248nnnn

PPPP+−−=++，故112111248nnnnnPPPPP+−−−=−++【12312111111224848nnnnnPPPPP−−−−−=−++++31016nP−=−；故()14nnPPn+，且1234PPPP=，则1234

5PPPPP=，所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.【点睛】关键点点睛：本题考察离散型随机变量分布列、数学期望的求解；第二问处理的关键是能够合理分析第,1,2,3nnnn−−−轮的得分对概率nP的影响，从而求得递推关系；属综合困难题.2

2.已知函数sin()(0,1)xbxcfxaaa+=，当ea=，b＝1时，曲线()yfx=在x＝0处的切线与x轴平行．（1）求c；（2）当0,πx时，()1fx≤，证明：eab．【答案】（1）1c=；（2

）证明见解析.【解析】【分析】（1）把ea=，b＝1代入，利用导数的几何意义结合给定切线求出c并验证作答.（2）不等式()1fx≤等价变形成sin10xabx−−，构造函数，分类讨论并结合导数确定出a，b取值范围，结合不等式性质构造函数利用导数

求出最小值判断作答.【小问1详解】依题意，sin()exxcfx+=，求导得cossin()exxxcfx−−=，于是(0)10fc=−=，解得1c=，而当1c=时，sin1()e+=xxfx，(0)1f=，因此曲线()yfx=在x=0处的切线为1y=，平行于x轴，所以1c=.

【小问2详解】由（1）知，sin1()xbxfxa+=，当0,πx时，()sin111sin10xxbxfxabxa+−−，的令()sin1,[0,π]xgxabxx=−−，求导得()lncosxgxaabx=−，若01a，则π(

π)10ga=−，不符合题意，若1a，当0b时，()1sin0xgxabx=−−，符合题意，当0lnba时，()lncoslnln0xxgxaabxaabab=−−−，因此函数()gx在

0,π上单调递增，()(0)0gxg=，符合题意，当lnba时，令()()hxgx=，则2(ln)sin0()xaabxhx=+，即函数()gx在0,π上单调递增，而(0)ln0,()ln0gabgaab=−=+，则存在0(0,π)x

使得00()gx=，当0(0,)xx时，()0gx，函数()gx在0(0,)x上单调递减，当0(0,)xx时，()(0)0gxg=，不符合题意，综上得lnba且1a，则有eelnabaa−−，令(

)eln,1aaaa=−，求导得e()1aa=−，当1ea时，()0a，当ea时，()0a，函数()a在(1,e)上单调递减，在(e,)+上单调递增，因此()(e)eelne0a=−=，即eeln0ab

aa−−，所以eab.【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

com