【文档说明】安徽省黄山市2023届高三第二次质量检测数学试卷 含解析.docx，共(27)页，2.713 MB，由管理员店铺上传

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黄山市2023届高中毕业班第二次质量检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{N3},22xAxxBx==∣，则A

B=（）A.{13}xx−∣B.{1}xx−∣C.1,2D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】根据指数不等式化简集合B，即可由交运算求解.【详解】由1212xBxxx==−，

{N3}0,1,2Axx==∣，故0,1,2AB=，故选：D2.复数z满足方程()i14z−=，则z=（）A.2B.22C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则求出复数z，再利用模的定义即可求出结果.【详解】因为

()i14z−=，所以()44(1i)44i22ii11i(1i)2z−−−−====−−−−+−−，所以22i22z=−−=，故选：B.3.“4a=”是“直线0axya++=和直线()4350xaya+−++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】∵直线0axya++=和直线()4350xaya+−++=平行，∴()3140aa−−=，解得4a=或1a=−，当4a=，两直线分别为440,4

90xyxy++=++=，两直线平行，符合题意；当1a=−，两直线分别为10,4440xyxy−+−=−+=，即为10,10xyxy−+=−+=，两直线重合，不符合题意；综上所述：4a=.故“4a=”是“直线0axya++=和直线()435

0xaya+−++=平行”的充要条件.故选：C.4.《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间

一份面包的个数为（）A.8B.12C.16D.20【答案】B【解析】【分析】设5个人分得的面包个数分别为1a、2a、3a、4a、5a，则等比数列1a、2a、3a、4a、5a的公比为q，且1q，根据题意可得出关于1a、q的方程组，解出这两个量

的值，即可求得3a的值.【详解】设5个人分得的面包个数分别为1a、2a、3a、4a、5a，则等比数列1a、2a、3a、4a、5a的公比为q，且1q，则123450aaaaa，由题意可得12334aaa+=，即()211314aqaq+=，整理可得23440qq−−=，因为1q，解

得2q=，因为()5112345112319312aaaaaaa−++++===−，解得13a=，所以，中间一份面包的个数为233212a==.故选：B.5.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，

设事件A=“xy+为奇数”，事件B=“x，y满足6xy+”，则概率()|PBA=（）A.12B.13C.25D.35【答案】B【解析】【分析】先利用古典概率公式，求出1()2PA=，1()6PAB=，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】用(,)xy表示第1次掷骰子得到的点数为x，第2次掷骰

子得到的点数为y，掷两次骰子，基本事件的个数为：6636=，因为事件A=“xy+为奇数”，事件B=“x，y满足6xy+”，记事件C=“xy+为奇数，且6xy+”，所以事件A包含的基本事件个数为：33218=，事件C包

含的基本事件个数为：326=，根据古典概率公式知，3321()662PA==，321()()666PCPAB===，由条件概率公式知，()1()16|1()32PABPBAPA===，故选：B.6.已知函数()()lg

120232023xxfxx−=−++，则使不等式()()31fxfx+成立的x的取值范围是（）A.()(),11,−−+B.11,42−C.11,32D.1111,,3432−−【答案】C【解析】【分析】根

据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解.【详解】由题意可知：()fx的定义域为1xx−或1x，关于原点对称，由()()lg120232023xxfxx−=−++得()()()lg120232023xxfxxfx−−=−+=−+，故()fx为偶函数，当1x

时，()()lg120232023xxfxx−=−++，由于函数2023xt=，()=lg1yx−均为()1,+单调递增函数，1=ytt+在1t单调递增，因此()fx为()1,+上的单调递增函数，所以不等式()()31fxfx+等

价于3131xxx+，解得1132x,故选：C7.如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形1PEE，111,,PFFPGGPHH，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥PEFGH−，使E与1E重合，F与1F重合

，G与1G重合，H与1H重合，点,,,ABCD重合于点O，如图2.则正四棱锥PEFGH−体积的最大值为（）A.32103B.64103C.128103D.256103【答案】D【解析】【分析】先确定原图中哪一条线段是侧棱，哪条线段是底边，再设立变量，求出体

积关于变量的函数解析式，求导，根据函数的单调性求解.【详解】根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，设GCx=，则有()2221010PGx=−+，OFOGx==，四棱锥的高22220020hPGOGx=−=−，底正方形EFGH的面积242OFGSSx

==，四棱锥P-EFGH的体积22200203Vxx=−，令20020tx=−，则220020tx−=，20200t，则()()22'2222001,2002005320600tVtVtt−

==−−，当240t时，'0V，V单调递减；当240t时，V单调递增，∴当240t=时，V取最大值，2max22004040320V−=256103=.故选：D.8.已知,,abc满足

131sin,e,ln33abc−===，则（）A.abcB.c<a<bC.b<c<aD.acb【答案】A【解析】【分析】选择中间值，将a，b，c分别与中间值比较即可.【详解】1π1π1,sinsin3

6362a==，又1331311e2,e2,2e，即131e2−，13131b=e1e−=，ln3lne1c==，cba，故选：A.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的

得2分，有选错的得0分.9.如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，,MN是直径EF上关于圆心O对称的两点，且8,6EFMN==，则（）A.1788PMPEPF=+B.PEPFPMPN+=+C.PMPNPEPFD.PFPEPNPM−−【答案】BC【解析】【分析】对A、B：根据向

量的线性运算分析判断；对C：根据数量积的定义分析判断，对D：根据向量的线性运算结合向量概念分析判断.【详解】由题意可得：1EMNE==uuruuruu.对于A：可得()11718888PMPEEMPEEFPEPFPEPEPF=+=+=+−=+uuruuuruur

uuuruuruuuruuuururuuruuur，故A错误；对于B：∵EMNE=uuuruuur，可得PMPEPFPN−−=uuuruuruuuruuur，整理得：PEPFPMPN+=+，故B正确；对C：由题意可得：090MPNEPF=，EPPF⊥，则cos

0,0MPNPMPNPMPNPEPF==uuuruuuruuuruuuruuruuur，即PMPNPEPF，故C正确；对D：∵,PFPEPEFMNNPM−−==uuuruuruuuruuuruuuruuur，但向量不能比较大小，故D错误

；故选：BC.10.若sincos23sincos5=−+，则()πtanZ2kk+值可能是（）A.12B.13C.2D.3【答案】D的【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出1tan2=−或tan

3=，再利用tanyx=的周期，化简πtan2k+，从而求出结果.【详解】由余弦的二倍角公式知，2222222sin(cossin)sincossintantan3sin(cossin)sincoscossin1tan5

−−−=−===−+++得到225tan5tan33tan−=−−，即22tan5tan30−−=，解得1tan2=−或tan3=，当2,(Z)kmm=时，()πtantanπ=tan2km

+=+，当21(Z)kmm=−时，ππ1tanπtan()22tanm+−=−=−所以，当1tan2=−时，π1tan22k+=−或πtan22k+=，

当tan3=时，πtan32k+=或π1tan23k+=−，故选：D.11.已知椭圆2212:1,,3xCyFF+=分别为椭圆的左，右焦点，,AB分别是椭圆的左，右顶点，点P是椭圆上的一个

动点，则下列选项正确的是（）A.存在点P，使得122cos2FPF=−B.若12PFF△为直角三角形，则这样的点P有4个C.直线PA与直线PB的斜率乘积为定值13−D.椭圆C内接矩形的周长取值范围是(4,8【答案】

CD【解析】【分析】根据焦点三角形的性质以及余弦定理可得P在椭圆的上下顶点处，12cosFPF最小，12FPF最大，进而可判断AB,由斜率公式可判断C，根据三角换元可判断D.【详解】设椭圆上任意一点为(),Pxy，()()1220,2,0FF-，则()()122,,2

,PFxyPFxy=−−=−−-，12222FFc==，由余弦定理得()()222212121212121212121223282882cos1222PFPFPFPFPFPFPFPFFPFPFPFPFPFPFPFPFPF−−+−−+−====−()()21221212221222

,1144PFPFPFPFaPFPFaPFPF+=−=−+，当且仅当12PFPF=等号成立，此时P在椭圆的上下顶点处，12cosFPF最小，12FPF最大，对于A,当P在椭圆的上下顶点时，122212cos132FPFa=−−

−=，故不存在点P，使得122cos2FPF=−，故A错误，对于B,当P在椭圆的上下顶点时，12cosFPF的最小值为121cos03FPF=−，此时12FPF为钝角，根据椭圆的对称性可知：当P为直角时，此时有4个满足

位置的点P，当1F为直角时，满足条件的P有2个，同理2F为直角时，也有2个满足条件的P，故当12PFF△为直角三角形时，有8个满足满足条件的P，故B错误，对于C，()()3,0,3,0AB−,所以

222211333333APBPxyyykkxxxx−===−−−=+-,故C正确，对于D，设不妨设()3sin,cosM是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的

四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为()π43sincos8sin6+=+，故当π3=时，31,22M在椭圆上，此时周长最大为8，当0=时，此时π8sin46+=，此时M在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的

范围为(4,8，故D正确，故选：CD12.如图，圆柱1OO的底面半径和母线长均为3,AB是底面直径，点C在圆O上且OCAB⊥，点E在母线,2BDBE=上，点F是上底面的一个动点，则（）A.存在唯一的点F，

使得213AFFE+=B.若AECF⊥，则点F的轨迹长为4C.若AFFE⊥，则四面体ACEF的外接球的表面积为40πD.若AFFE⊥，则点F的轨迹长为26π【答案】ACD【解析】【分析】对选项A：作E关于D点的对称点为E，利用对称性

与三点共线距离最短求解；对选项BD：建立空间直角坐标系，根据F满足的条件判断其轨迹，求其长度；对选项C：证明AE中点Q为四面体ACEF的外接球的球心即可.【详解】设E关于D点的对称点为E，则222264213AFEFAFF

EAEABBE+=+=+=+=，所以213,AFFE+当且仅当,,AFE三点共线时取等号，故存在唯一的点F，使得213AFFE+=，故A正确；由题意知11,,OCABOOOCOOAB⊥⊥⊥，以O为坐标原点，以1OCOBOO，，

为,,xyz正方向建立空间直角坐标系，则(0,3,0),(3,0,0),(0,3,2),ACE−设(,,3)Fxy，则(0,6,2),(3,,3),(,3,3),(,3,1)AECFxyAFxyFExy==−=+=−，对

选项B：当AECF⊥时，660,1AECFyy=+==−，所以点F的轨迹长为上底面圆1O的一条弦MN，1O到MN的距离为1，所以242231MN=−=，故点F的轨迹长为42，所以B错误；对选项D：当AFFE⊥时，22(,3,3)(,3,1)0,6AFFExyxyxy=+−=+=，所以

点F的轨迹是以1O为圆心，6为半径的圆，其轨迹长为26π，故D正确；对选项C：在ACE△中，222232,(32)222,6240ACCEAE==+==+=，222,ACCEAEACE+=为直角三角形，其外心为AE与1OO的交点Q，且110OQ

QE＝，＝，而222112610QFQOOF=+=+=所以QFQEQCQA===，所以Q为四面体ACEF的外接球的球心，球半径为10，所以球的表面积为40π，故C正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：对立体几何中动点的轨迹问题采用几何法分析难度时可以用坐标法

去研究，根据动点的坐标满足的方程可以方便的判断出轨迹的形状，将几何问题转化为代数问题解决.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.5(32)xyz−+的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为_______

____.【答案】32【解析】【分析】运用二项式定理计算.【详解】由二项式定理得：()532xyz−+展开项的通项公式为()()515C32rrrrTxyz−+=−，欲使得不含z，则0r=，()513Txy=−，的

令1,1xy==，则所以不含字母z的项的系数之和5232==；故答案为：32.14.如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数1、3、6、10、L，依次构成数列na，则1210111aaa+++=_____

______.【答案】2011【解析】【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出()211C2nnnna++==，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知212Ca=，223Ca=，234Ca=，L

，所以，()211C2nnnna++==，所以，()122211nannnn==−++，所以，1210111222222202222310111111aaa+++=−+−++−=−=.故答案为：2011.15.设双曲线()222210,0xyabab−=

，其右焦点为F，过F作双曲线一条浙近线垂线，垂足为点H，且与另一条浙近线交于点Q，若FHHQ=，则双曲线的离心离为___________.【答案】2【解析】【分析】设点H为第一象限内一点，分析可得出Q

OHFOHQOF==，求出FOH，可求得ba的值，即可求得双曲线的离心率的值.【详解】设点H为第一象限内一点，如下图所示：的设双曲线的左焦点为F，因为FHHQ=，则H为FQ的中点，又因为OHFQ⊥，所以，OFOQ=，且QOHFO

HQOF==，又因为3πQOHFOHQOFFOH++==，则π3FOH=，直线OH的方程为byxa=，则πtan33ba==，因此，该双曲线的离心率为22222212ccabbeaaaa+====+=

.故答案为：2.16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在0,1上，其解析式如下：1,(,,)()0,01[0,1]qxpqpqppRxx===互质、或上的无理数，定义在实数集上的函数()(),fxgx满足()

()()()52,94fxgxgxfx−=−+=+−，且函数()gx的图象关于直线2x=对称，()22g=，当()0,1x时，()()fxRx=，则()202320226ff+−=___________.【答案】676−##1116−【解析】【分析】由()()(

)()52,94fxgxgxfx−=−+=+−推出()fx为偶函数与周期的函数，据此求()202320226ff−，的值即可.【详解】因为函数()gx的图象关于直线2x=对称，所以()()22gxgx+=−，由()()52fx

gx−=−+得()()52fxgx=−−，所以()()fxfx−=，所以()fx为偶函数，由()()94gxfx=+−得()()()29292gxfxfx−=+−−=++，代入()()52fxgx=−−得()()42fxfx

=−−+，所以()()24fxfx++=−，所以()()244fxfx+++=−，所以()()4fxfx=+，所以()fx是以4为周期的函数，由()()94gxfx=+−得()()2922gf=+−=，所以()27f−=−，即()27f=−，

由()()24fxfx++=−得772466ff−+−+=−，所以75466ff−+=−，即75466fR−+=−，所以71466f−+=−，所以71466f

−=−−，()()202372022455248466ffff+−=++−−()7167274666ff=+−=−−−=−，故答案为：676−【点睛】关键点点睛：本题难点在于对条件

()()()()52,94fxgxgxfx−=−+=+−的灵活应用，一是对x进行赋值，赋值一定要合适，根据需要进行合理的赋值才能达到想要的结果；二是对()fx与()gx关系的转化，要找()fx的性质进行赋

值后消去()gx得到只有()fx的关系式从而得到()fx的性质.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在

区间[40.100]分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.年级样本平均数样本方差高一6075高二632

2s高三55（1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数；（2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数3x，和高二年级学生成绩的方差2

2s.【答案】（1）65；69；75；（2）380x=，2248s=【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用频率分布直方图估计众数、平均数、百分位数的方法求解作答.（2）根据表中数据，利用分

层抽样结合平均数、方差的定义计算作答.【小问1详解】由频率分布直方图知，学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为：0.06,0.12,0.4,0

.26,0.10,0.06，显然学生成绩在[60,70)内的频率最大，所以估计该校全体学生成绩的众数为65；平均数0.06450.12550.4650.26750.10850.069569x=+++++=；显然第71百分位数(70,80)m，由0.060.120.4

(70)0.0260.71m+++−=，解得75m=，.所以第71百分位数为75.【小问2详解】显然样本中高一、高二、高三年分别抽取了80人、100人、120人，记样本中高一学生的成绩为(180,N)iaii，高二学生的成绩为(1100,N

)ibii，高三学生的成绩为(1120,N)icii，于是8018060iia==，100110063iib==，12031120iicx==，因此80100120311111()(806010063120)300300iiiiiixabcx

====++=++380100120606369300300300x=++=，解得380x=，样本中三个年级成绩的方差8010012022221111[()()()]300iiiiiisaxbxcx====−+−+−，高一、高二、高三年级学生成绩的平均数分别为

123,,xxx，方差分别为222123,,sss，则有8022111()80iiaxs=−=，8080111111()8080800iiiiaxaxxx==−=−=−=，8080802222111111111()[()()][()2()()()]iiiiiiiaxaxx

xaxaxxxxx===−=−+−=−+−−+−8080222211111111()2()()80()80[()]iiiiaxxxaxxxxxs===−+−−+−=−+，同理100222221()10

0[()]iibxxxs=−=−+，120222331()120[()]iicxxxs=−=−+，因此22222221122331{80[()]100[()]120[()]}300sxxsxxsxxs=−++−++−+22222211223380100120[

()][()][()]300300300xxsxxsxxs=−++−++−+2222280100120[(6069)75][(6369)][(8069)55]300300300s=−++−++−+2222208135211212414053

53ss=+++=+=，解得2248s=，所以估计高三年级学生成绩的平均数380x=，高二年级学生成绩的方差2248s=.18.ABC的三内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足22223sin3bcaabC+−=.点P为边BC上动点，点Q为边AC中点，记AP交BQ于点M，若已知3,6bc=

=.（1）当PCPB=时，求cosAMB.（2）当PC长为何值时，从点P处看线段AQ的视角（即APQ）最大？【答案】（1）89191−（2）当322PC=时，从点P处看线段AQ的视角（即APQ）最大.【解析】【分析】（1）根据已知条件及余弦定理的推理，利用同角三角函数函数的商数关系、余弦

定理及勾股定理的逆定理，结合锐角三角函数的定义及两角和的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及锐角三角函数的定义，利用两角差的正切公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】因为22223sin3bcaabC+−=，所以22223sin33cossin223abCbcaAAbc

bc+−===，即tan3A=，因为0πA，所以π3A=.又3,6bc==，所以22212cos936236272abcacA=+−=+−=,所以33a=，又3,6bc==，所以()2223336+=，即222+=abc，所以π2C=.由PCPB=，可知P

为BC的中点，因为1333,,222CPCBCQ===所以33137,,22APBQ==2coscos,sin,77217PCAPBAPCAPBAP=−=−=−=2sin,cos11313393CQQBCQBCBQ===,所

以coscos()coscossinsinAMBQBCAPBQBCAPBQBCAPB=+=−13921122891()137133977=−−=−.【小问2详解】设,0,33,PCxx=记,,APQAPCQPC===,所以33tantan32

2tantan()3391tantan49122232xxxxxxxx−−=−====+++，当且仅当92xx=，即322x=等号成立，所以当322PC=时，tan取得最大值，即从点P处看线段AQ的视角

（即APQ）最大.19.如图四棱锥,90,PABCDABCADBC−=∥，且122ADABBC===，平面PCD⊥平面ABCD，且PDC△是以DPC为直角的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点F在棱PD

上，且2PFFD=.（1）求证：,,,ABEF四点共面；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见详解（2）3311【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，根据条件写出相应点的坐标，利用空间向量基本定理即可求解；（2）结合（1）中对应点的坐标，分别求出平面

PAB与平面PBC的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】由90,ABCADBC=∥，且122ADABBC===，取BC的中点M，连接DM，则2DMMC==，且DMMC⊥，所以222222DC=+=，又PDC△是以DPC为直角的等腰直角三角形，所

以2DPCP==.过点P作PNCD⊥，垂足为N，则点N为DC的中点，且2PN=，因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD平面ABCDDC=，所以PN^平面ABCD，故以,ABAD所在的直线分别为x轴，y轴，过点A作垂直于平面ABCD的z轴，建立如

图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0),(0,2,0),(2,4,0)BDC，(1,3,2)P，因为E为棱PC的中点，所以372(,,)222E，又因为点F在棱PD上，且2PFFD=，所以172(,,)333F，则172(,,)333AF=，3

72(,,)222AE=，(200)AB=，，，令AEABAF=+，则372172(,,)(2,0,0)(,,)222333=+，解得13,22==，故1322AEABAF=+，则,,AEABAF共面，且向量,,AEABA

F有公共点A，所以,,,ABEF四点共面.【小问2详解】由（1）可知(1,3,2)BP=−，(0,4,0)BC=，(2,0,0)BA=−，设平面PAB的法向量为111(,,)mxyz=，则·0·0BP

mBAm==，即111132020xyzx−++=−=，令11y=，则10x=，1322z=−，所以32(0,1,)2m=−，设平面PBC的法向量为222(,,)nxyz=，则·0·0BPnBCn==，即222232040xyzy−++==

，令21x=，则20y=，222z=，所以2(1,0,)2n=，设平面PAB与平面PBC夹角为，则3332coscos,11191122mnmnmn====++，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为3311.20.数学的发展推动着科

技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的

智能终端产品分别占比055%a=及045%b=，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更

新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为na及nb，不考虑其它因素的影响．（1）用nb表示1nb+，并求实数，使nb−是等比数列；（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术

更新；若不能，说明理由？（参考数据：lg20.301,lg30.477）【答案】（1）103142nnbb+=+，1=5（2）能，至少经过6次【解析】【分析】（1）根据题意经过n次技术更新后1nnab+=，由已知条件推导数列n

b的递推关系，通过整理得到103142nnbb+=+，结合数列nb−是等比数列，求的值；（2）由（1）求出数列na的通项公式，再解不等式75%na，即可求出答案．【小问1详解】由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与

B公司技术的智能终端产品的占比分别为0011955%,45%2020ab====．易知经过n次技术更新后1nnab+=，则()104131(120%)55%14202nnnnnnbbabbb+=−+=+−=+，即103142nnbb+=+，由题意，可设()

1133444nnnnbbbb++−=−=+，所以512014==，又10131313,44208056931131120805120bbb=+=+=−=−=，从而当1=5时，15nb−是以316为首项，34为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）可

知133135161444nnnb−−==，134154nnb=+，又1nnab+=，则413544nna=−，所以经过n次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比413544

nna=−．由题意，令75%na，得41333131lglg54444545nnn−，则lg5lg51lg210.301lg32lg22lg2lg32lg2lg320.3010.477n−−−

==−−−−0.6995.5920.125==，故6n，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术智能终端产品占比能达到75%以上．21.已知函数()()2ln1,Rfxxaxa=−−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx有两个极值点12,xx

，且12xx，求证：()12322ln22fxaxa−−.【答案】（1）答案见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导，根据一元二次方程根的判别式和求根公式分类讨论进行求解即可；（2）根据（1）的结论、极值的定义，结合分析法、构造新函数法，利用一元二次方程根与系数的关系进

行求解证明即可.【小问1详解】函数()fx的定义域为(),1−，()()()2222ln11xxafxxaxfxx−++=−−=−，的设()222gxxxa=−++，设()224284aa=−−=+，当0时，即12a−，()()0,fxfx单调递减，当0时，即12a

−，()234112112220,22aagxxxaxx−+++=−++===，若0a，41x，由()()()300,fxgxxx−，由()()()300,1fxgxxx，当102a−时，由()()()

()3400,,1fxgxxxx−，由()()()3400,fxgxxxx，综上所述：当12a−时，函数()fx是(),1−上的减函数，当102a−时，函数()fx在112,2a

−+−上单调递减，在112112,22aa−+++上单调递增，在112,12a++上单调递减，当0a时，函数()fx在112,2a−+−上单调递减，在112,12a−+上单调递增；【小问2

详解】由（1）可知：当102a−时，函数()fx在112,2a−+−上单调递减，在112112,22aa−+++上单调递增，在112,12a++上单调递减，所以34112112,22a

axx−+++==是函数()fx两个极值点，即12112112,22aaxx−+++==，显然有12121,2axxxx+==−，要证明()12322ln22fxaxa−−，只要证明()12232ln22fxxa−−

，()()2221111122222212222ln1222ln2ln2fxxaxxxxxxxxxaaaxx−−−=−=−−=−−−12222222222112ln2ln2ln1xxxxxxxxxxx−=−−=−−=−−−+−−，构造新函

数()()22212121()2ln11xhxxxhxxxxx−++=−−−+=−−+=，二次函数()212yx=−++的对称轴为=1x−，当1,12x时，该二次函数的最大值为2max1112024y=−++=−，所以当1,12x时，()()

0,hxhx单调递减，所以有()11132ln212ln22222hxh=−−−+=−，因此()12232ln22fxxa−−成立，即()12322ln22fxaxa

−−成立.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系把a用两根的关系替换掉、把两根统一成一个根，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明是解题的关键.22.已知拋物线2:2(0)Cypxp=，F为焦点，若圆22

:(1)16Exy−+=与拋物线C交于,AB两点，且43AB=（1）求抛物线C的方程；（2）若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线,PMPN，切点分别为,MN.求证：MFNF恒为定值.【答案】（1）2

4yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据圆的弦长求解，可得()3,23A，代入抛物线方程即可求解，（2）令()()()001122,,,,,PxyMxyNxy，写出点M处的切线方程，与抛物线联立，利用Δ0=得到1122yyxx=+，同理得到2222yyxx=+，再写出直

线MN方程，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再结合抛物线定义即可证明.【小问1详解】由题意可知()1,0E，半径为4r=，由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴x轴，故由对称性可知：ABx⊥轴于点C，在直角三角形ACE中，()2222142322CErAB

−=−==,因此3,OCOECE=+=故()3,23A，将其代入抛物线方程中得1262pp==，故抛物线方程为：24yx=【小问2详解】令()()()001122,,,,,PxyMxyNxy，抛物线在点M处的切线方程为()11xxmyy−=−,与24y

x=联立得2114440ymymyx−+−=①由相切()211164440mmyx=−−=得211444myxm−=，代入①得12ym=故在点处的切线方程为()1112yxxyy−=−，即为1122y

yxx=+同理：点N处的切线方程为2222yyxx=+，而两切线交于点()00,Pxy，所以有0101020222,22yyxxyyxx=+=+，则直线MN的方程为:00220xyyx−+=，由2004220yxxyyx=−+=得200240yyyx−+=,所

以1201202,4yyyyyx+==于是()()()2222221212120001||||111224116444yyyyMFNFxxxyx=++=+++=+−+()22001xy=−+，又点()00,Pxy在圆22:(1)16Exy−+=上，所以()2200116x

y−+=,即||||16MFNF=.【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用Δ0=得到相关等式，再得到直线MN的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.获得更多资源请扫码加入享学资

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