【文档说明】安徽省黄山市2023届高三第二次质量检测数学试卷 含解析.docx，共(27)页，2.713 MB，由小赞的店铺上传

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黄山市2023届高中毕业班第二次质量检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{N3},22xAxxBx==∣，则A

B=（）A.{13}xx−∣B.{1}xx−∣C.1,2D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】根据指数不等式化简集合B，即可由交运算求解.【详解】由1212xBxxx=

=−，{N3}0,1,2Axx==∣，故0,1,2AB=，故选：D2.复数z满足方程()i14z−=，则z=（）A.2B.22C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则求出复数z，再利用模的定义即可求出结果.【详解】因为()i14z−=，所以()4

4(1i)44i22ii11i(1i)2z−−−−====−−−−+−−，所以22i22z=−−=，故选：B.3.“4a=”是“直线0axya++=和直线()4350xaya+−++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条

件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】∵直线0axya++=和直线()4350xaya+−++=平行，∴()3140aa

−−=，解得4a=或1a=−，当4a=，两直线分别为440,490xyxy++=++=，两直线平行，符合题意；当1a=−，两直线分别为10,4440xyxy−+−=−+=，即为10,10xyxy−+=−+=，两直线重合，不符合题意；综

上所述：4a=.故“4a=”是“直线0axya++=和直线()4350xaya+−++=平行”的充要条件.故选：C.4.《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把93个面

包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间一份面包的个数为（）A.8B.12C.16D.20【答案】B【解析】【分析】设5个人分得的

面包个数分别为1a、2a、3a、4a、5a，则等比数列1a、2a、3a、4a、5a的公比为q，且1q，根据题意可得出关于1a、q的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a的值.【详解】设5个人分得的面包个数分别为1a、2a、3a、4a、5a，则等比数列1a、2a、3a、4a、5a的公比

为q，且1q，则123450aaaaa，由题意可得12334aaa+=，即()211314aqaq+=，整理可得23440qq−−=，因为1q，解得2q=，因为()5112345112319312aaaaaaa−++++===

−，解得13a=，所以，中间一份面包的个数为233212a==.故选：B.5.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“xy+为奇数”，事件B=“x，y满足6xy+”，则概率()|PBA=（）A.12

B.13C.25D.35【答案】B【解析】【分析】先利用古典概率公式，求出1()2PA=，1()6PAB=，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】用(,)xy表示第1次掷骰子得到的点数为x，第2次掷骰子得到的点数为y，掷两次骰子，基本事件的个数为：6636=，

因为事件A=“xy+为奇数”，事件B=“x，y满足6xy+”，记事件C=“xy+为奇数，且6xy+”，所以事件A包含的基本事件个数为：33218=，事件C包含的基本事件个数为：326=，根据古典概率公式知，3321()

662PA==，321()()666PCPAB===，由条件概率公式知，()1()16|1()32PABPBAPA===，故选：B.6.已知函数()()lg120232023xxfxx−=−++，则使不等式()()31fx

fx+成立的x的取值范围是（）A.()(),11,−−+B.11,42−C.11,32D.1111,,3432−−【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解.【详解】由题意可知

：()fx的定义域为1xx−或1x，关于原点对称，由()()lg120232023xxfxx−=−++得()()()lg120232023xxfxxfx−−=−+=−+，故()fx为偶函数，当1x时，()

()lg120232023xxfxx−=−++，由于函数2023xt=，()=lg1yx−均为()1,+单调递增函数，1=ytt+在1t单调递增，因此()fx为()1,+上的单调递增函数，所以不等式()()31fxfx+等价于31

31xxx+，解得1132x,故选：C7.如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形1PEE，111,,PFFPGGPHH，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥PEFGH−，使E与1E重合，

F与1F重合，G与1G重合，H与1H重合，点,,,ABCD重合于点O，如图2.则正四棱锥PEFGH−体积的最大值为（）A.32103B.64103C.128103D.256103【答案】D【解析】【分析】先确定原图中哪一条线段是侧棱，哪条线段是底边，再设立变量，求出体积关于变量的函数解析式

，求导，根据函数的单调性求解.【详解】根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，设GCx=，则有()2221010PGx=−+，OFOGx==，四棱锥的高22220020hPGOGx=−=−，底正方形EFGH的面积242OFGSSx==，四棱锥P-EFGH的体积2

2200203Vxx=−，令20020tx=−，则220020tx−=，20200t，则()()22'2222001,2002005320600tVtVtt−==−−，当240t时，'0V，V单调递减；当240t时，V单调递增，∴当240t=

时，V取最大值，2max22004040320V−=256103=.故选：D.8.已知,,abc满足131sin,e,ln33abc−===，则（）A.abcB.c<a<bC.b<c<aD.acb【答案】A【解

析】【分析】选择中间值，将a，b，c分别与中间值比较即可.【详解】1π1π1,sinsin36362a==，又1331311e2,e2,2e，即131e2−，13131b=e1e−=，ln3lne1c==，cba，故选：A

.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，,MN是直径EF上关于圆心O对称的两点，且

8,6EFMN==，则（）A.1788PMPEPF=+B.PEPFPMPN+=+C.PMPNPEPFD.PFPEPNPM−−【答案】BC【解析】【分析】对A、B：根据向量的线性运算分析判断；对C：根据数量积的定义分析判断，对D：

根据向量的线性运算结合向量概念分析判断.【详解】由题意可得：1EMNE==uuruuruu.对于A：可得()11718888PMPEEMPEEFPEPFPEPEPF=+=+=+−=+uuruuuruuruuu

ruuruuuruuuururuuruuur，故A错误；对于B：∵EMNE=uuuruuur，可得PMPEPFPN−−=uuuruuruuuruuur，整理得：PEPFPMPN+=+，故B正确；对C：由题意可得：090MP

NEPF=，EPPF⊥，则cos0,0MPNPMPNPMPNPEPF==uuuruuuruuuruuuruuruuur，即PMPNPEPF，故C正确；对D：∵,PFPEPEF

MNNPM−−==uuuruuruuuruuuruuuruuur，但向量不能比较大小，故D错误；故选：BC.10.若sincos23sincos5=−+，则()πtanZ2kk+值可能是（）A.12B.13C.2D.3【答案】D的【解析】【分析】利用余弦的二倍

角公式和“齐次式”结构，求出1tan2=−或tan3=，再利用tanyx=的周期，化简πtan2k+，从而求出结果.【详解】由余弦的二倍角公式知，2222222sin(cossin)si

ncossintantan3sin(cossin)sincoscossin1tan5−−−=−===−+++得到225tan5tan33tan−=−−，即22tan5tan30−−=，解得1tan2

=−或tan3=，当2,(Z)kmm=时，()πtantanπ=tan2km+=+，当21(Z)kmm=−时，ππ1tanπtan()22tanm+−=−=−所以，当1tan2=−时，π1tan

22k+=−或πtan22k+=，当tan3=时，πtan32k+=或π1tan23k+=−，故选：D.11.已知椭圆2212:1,,3xCyFF+=分

别为椭圆的左，右焦点，,AB分别是椭圆的左，右顶点，点P是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（）A.存在点P，使得122cos2FPF=−B.若12PFF△为直角三角形，则这样的点P有4个C.直线PA与直线PB的斜率乘积为

定值13−D.椭圆C内接矩形的周长取值范围是(4,8【答案】CD【解析】【分析】根据焦点三角形的性质以及余弦定理可得P在椭圆的上下顶点处，12cosFPF最小，12FPF最大，进而可判断AB,由斜率公式可判断C，根据三角换元可判断D.【详解】设椭圆上任意一点

为(),Pxy，()()1220,2,0FF-，则()()122,,2,PFxyPFxy=−−=−−-，12222FFc==，由余弦定理得()()222212121212121212121223282882cos1222PFPFPFPFPFPFPFPFFPFPFPFPFPFPF

PFPFPF−−+−−+−====−()()21221212221222,1144PFPFPFPFaPFPFaPFPF+=−=−+，当且仅当12PFPF=等号成立，此时P在椭圆的上下顶点处，12c

osFPF最小，12FPF最大，对于A,当P在椭圆的上下顶点时，122212cos132FPFa=−−−=，故不存在点P，使得122cos2FPF=−，故A错误，对于B,当P在椭圆的上下顶点时，12cosFPF的最小值为121

cos03FPF=−，此时12FPF为钝角，根据椭圆的对称性可知：当P为直角时，此时有4个满足位置的点P，当1F为直角时，满足条件的P有2个，同理2F为直角时，也有2个满足条件的P，故当12

PFF△为直角三角形时，有8个满足满足条件的P，故B错误，对于C，()()3,0,3,0AB−,所以222211333333APBPxyyykkxxxx−===−−−=+-,故C正确，对于D，设不妨设()3sin,cosM是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接

矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为()π43sincos8sin6+=+，故当π3=时，31,22M在椭圆上，此时周长最大为8，当0=时，此时π8sin46+=，此时M在短轴上，不能构成矩形，故周长

大于4，故周长的范围为(4,8，故D正确，故选：CD12.如图，圆柱1OO的底面半径和母线长均为3,AB是底面直径，点C在圆O上且OCAB⊥，点E在母线,2BDBE=上，点F是上底面的一个动点，则（）A.存在唯一的点F，使得213AFFE+=B.若AECF⊥，则点F的轨迹长为4C.若A

FFE⊥，则四面体ACEF的外接球的表面积为40πD.若AFFE⊥，则点F的轨迹长为26π【答案】ACD【解析】【分析】对选项A：作E关于D点的对称点为E，利用对称性与三点共线距离最短求解；对选项B

D：建立空间直角坐标系，根据F满足的条件判断其轨迹，求其长度；对选项C：证明AE中点Q为四面体ACEF的外接球的球心即可.【详解】设E关于D点的对称点为E，则222264213AFEFAFFEAEABBE+=+=+=+=，所以2

13,AFFE+当且仅当,,AFE三点共线时取等号，故存在唯一的点F，使得213AFFE+=，故A正确；由题意知11,,OCABOOOCOOAB⊥⊥⊥，以O为坐标原点，以1OCOBOO，，为,,xyz正方向建立空间直角坐

标系，则(0,3,0),(3,0,0),(0,3,2),ACE−设(,,3)Fxy，则(0,6,2),(3,,3),(,3,3),(,3,1)AECFxyAFxyFExy==−=+=−，对选项B：当AECF⊥时，660,

1AECFyy=+==−，所以点F的轨迹长为上底面圆1O的一条弦MN，1O到MN的距离为1，所以242231MN=−=，故点F的轨迹长为42，所以B错误；对选项D：当AFFE⊥时，22(,3,3)(,3,1)0,6AFFExyxy

xy=+−=+=，所以点F的轨迹是以1O为圆心，6为半径的圆，其轨迹长为26π，故D正确；对选项C：在ACE△中，222232,(32)222,6240ACCEAE==+==+=，222,ACCEAEACE+=为

直角三角形，其外心为AE与1OO的交点Q，且110OQQE＝，＝，而222112610QFQOOF=+=+=所以QFQEQCQA===，所以Q为四面体ACEF的外接球的球心，球半径为10，所以球的表面积为40π，故C正

确.故选：ACD【点睛】方法点睛：对立体几何中动点的轨迹问题采用几何法分析难度时可以用坐标法去研究，根据动点的坐标满足的方程可以方便的判断出轨迹的形状，将几何问题转化为代数问题解决.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.5(32)xyz−+

的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为___________.【答案】32【解析】【分析】运用二项式定理计算.【详解】由二项式定理得：()532xyz−+展开项的通项公式为()()515C32rrrrTxyz−

+=−，欲使得不含z，则0r=，()513Txy=−，的令1,1xy==，则所以不含字母z的项的系数之和5232==；故答案为：32.14.如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数1、3、6、10、L，依次构成数列na，则12101

11aaa+++=___________.【答案】2011【解析】【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出()211C2nnnna++==，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知212Ca=，223Ca=，234Ca=，L，所

以，()211C2nnnna++==，所以，()122211nannnn==−++，所以，1210111222222202222310111111aaa+++=−+−++−=−=.故答案为：2011.15.设双曲线()222210,0xyabab

−=，其右焦点为F，过F作双曲线一条浙近线垂线，垂足为点H，且与另一条浙近线交于点Q，若FHHQ=，则双曲线的离心离为___________.【答案】2【解析】【分析】设点H为第一象限内一点，分析可得出QOHFOH

QOF==，求出FOH，可求得ba的值，即可求得双曲线的离心率的值.【详解】设点H为第一象限内一点，如下图所示：的设双曲线的左焦点为F，因为FHHQ=，则H为FQ的中点，又因为OHFQ⊥，所以，OFOQ=，且QOHFOHQOF==，又因

为3πQOHFOHQOFFOH++==，则π3FOH=，直线OH的方程为byxa=，则πtan33ba==，因此，该双曲线的离心率为22222212ccabbeaaaa+====+=.故答案为：2

.16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在0,1上，其解析式如下：1,(,,)()0,01[0,1]qxpqpqppRxx=

==互质、或上的无理数，定义在实数集上的函数()(),fxgx满足()()()()52,94fxgxgxfx−=−+=+−，且函数()gx的图象关于直线2x=对称，()22g=，当()0,1x时，()()fxRx=，则()20232022

6ff+−=___________.【答案】676−##1116−【解析】【分析】由()()()()52,94fxgxgxfx−=−+=+−推出()fx为偶函数与周期的函数，据此求()202320226ff−，

的值即可.【详解】因为函数()gx的图象关于直线2x=对称，所以()()22gxgx+=−，由()()52fxgx−=−+得()()52fxgx=−−，所以()()fxfx−=，所以()fx为偶函数，由()()

94gxfx=+−得()()()29292gxfxfx−=+−−=++，代入()()52fxgx=−−得()()42fxfx=−−+，所以()()24fxfx++=−，所以()()244fxfx+++=−，所以()()4fxfx=+，所以()f

x是以4为周期的函数，由()()94gxfx=+−得()()2922gf=+−=，所以()27f−=−，即()27f=−，由()()24fxfx++=−得772466ff−+−+=−，所以7

5466ff−+=−，即75466fR−+=−，所以71466f−+=−，所以71466f−=−−，()()202372022455248466ffff+−=

++−−()7167274666ff=+−=−−−=−，故答案为：676−【点睛】关键点点睛：本题难点在于对条件()()()()52,94fxgxgxfx−=−+=+−的灵活应用，一是对x进行赋值，赋值一定要合适，根据需要进行合理的赋值才能达

到想要的结果；二是对()fx与()gx关系的转化，要找()fx的性质进行赋值后消去()gx得到只有()fx的关系式从而得到()fx的性质.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为了深入学习领会党的二十大精神，

某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40.100]分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.年级样本平均数样

本方差高一6075高二6322s高三55（1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数；（2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数3x，和高二年

级学生成绩的方差22s.【答案】（1）65；69；75；（2）380x=，2248s=【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用频率分布直方图估计众数、平均数、百分位数的方法求解作答.（2）根据表中数据，利用分层抽样结合平均数、方差的定义计算

作答.【小问1详解】由频率分布直方图知，学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为：0.06,0.12,0.4,0.26,0.10,0.06，显然学生成绩在[60,70)内的频

率最大，所以估计该校全体学生成绩的众数为65；平均数0.06450.12550.4650.26750.10850.069569x=+++++=；显然第71百分位数(70,80)m，由0.060.120.4(70)0.0260.71m+++−=，解得75m=，.所以第71百分位数

为75.【小问2详解】显然样本中高一、高二、高三年分别抽取了80人、100人、120人，记样本中高一学生的成绩为(180,N)iaii，高二学生的成绩为(1100,N)ibii，高三学生的成绩为(1120,N)icii，于是

8018060iia==，100110063iib==，12031120iicx==，因此80100120311111()(806010063120)300300iiiiiixabcx====++=++380100120606369300300300x

=++=，解得380x=，样本中三个年级成绩的方差8010012022221111[()()()]300iiiiiisaxbxcx====−+−+−，高一、高二、高三年级学生成绩的平均数分别为123,,xxx，方差分别为222123,,sss，则有8

022111()80iiaxs=−=，8080111111()8080800iiiiaxaxxx==−=−=−=，8080802222111111111()[()()][()2()()()]iii

iiiiaxaxxxaxaxxxxx===−=−+−=−+−−+−8080222211111111()2()()80()80[()]iiiiaxxxaxxxxxs===−+−−+−=−+，同理100222221()100[()]iibxxxs=−=−+，12022

2331()120[()]iicxxxs=−=−+，因此22222221122331{80[()]100[()]120[()]}300sxxsxxsxxs=−++−++−+22222211223380100120[()][()][()]300300300

xxsxxsxxs=−++−++−+2222280100120[(6069)75][(6369)][(8069)55]300300300s=−++−++−+222220813521121241405353ss=+++

=+=，解得2248s=，所以估计高三年级学生成绩的平均数380x=，高二年级学生成绩的方差2248s=.18.ABC的三内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足22223sin3bcaabC+−=.点P为边BC上动点，点Q为边AC中点，记AP交BQ于点M，若已

知3,6bc==.（1）当PCPB=时，求cosAMB.（2）当PC长为何值时，从点P处看线段AQ的视角（即APQ）最大？【答案】（1）89191−（2）当322PC=时，从点P处看线段AQ的视角（即APQ）最大.【解析】【分析】（1

）根据已知条件及余弦定理的推理，利用同角三角函数函数的商数关系、余弦定理及勾股定理的逆定理，结合锐角三角函数的定义及两角和的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及锐角三角函数的定义，利用两角差的正切公

式及基本不等式即可求解.【小问1详解】因为22223sin3bcaabC+−=，所以22223sin33cossin223abCbcaAAbcbc+−===，即tan3A=，因为0πA，所以π3A=.又3,6bc==，所以2

2212cos936236272abcacA=+−=+−=,所以33a=，又3,6bc==，所以()2223336+=，即222+=abc，所以π2C=.由PCPB=，可知P为BC的中点，因为1333,,222CPCBCQ===所以3

3137,,22APBQ==2coscos,sin,77217PCAPBAPCAPBAP=−=−=−=2sin,cos11313393CQQBCQBCBQ===,所以coscos()cosc

ossinsinAMBQBCAPBQBCAPBQBCAPB=+=−13921122891()137133977=−−=−.【小问2详解】设,0,33,PCxx=记,,APQAPCQPC===,所以3

3tantan322tantan()3391tantan49122232xxxxxxxx−−=−====+++，当且仅当92xx=，即322x=等号成立，所以当322PC=时，tan取得最大值，即从点P处看线段AQ的视角（即APQ）最大.19.如图四棱锥

,90,PABCDABCADBC−=∥，且122ADABBC===，平面PCD⊥平面ABCD，且PDC△是以DPC为直角的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点F在棱PD上，且2PFFD=.（1）

求证：,,,ABEF四点共面；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见详解（2）3311【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，根据条件写出相应点的坐标，利用空间向量基本定理即可求

解；（2）结合（1）中对应点的坐标，分别求出平面PAB与平面PBC的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】由90,ABCADBC=∥，且122ADABBC===，取BC的中点M，连接DM，则2DMMC==，且DMMC⊥，所以222222DC=+=，又PDC△是

以DPC为直角的等腰直角三角形，所以2DPCP==.过点P作PNCD⊥，垂足为N，则点N为DC的中点，且2PN=，因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD平面ABCDDC=，所以PN^平面ABCD，故以,ABAD所在的直线分别为x轴，y轴，过点A

作垂直于平面ABCD的z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0),(0,2,0),(2,4,0)BDC，(1,3,2)P，因为E为棱PC的中点，所以372(,,)222E，又因为点F在棱PD上，且2PFFD=，所以172(,,)

333F，则172(,,)333AF=，372(,,)222AE=，(200)AB=，，，令AEABAF=+，则372172(,,)(2,0,0)(,,)222333=+，解得13,22=

=，故1322AEABAF=+，则,,AEABAF共面，且向量,,AEABAF有公共点A，所以,,,ABEF四点共面.【小问2详解】由（1）可知(1,3,2)BP=−，(0,4,0)BC=，(2,0,0)BA=−，设平面PAB的法向量为111(,,)mxyz=

，则·0·0BPmBAm==，即111132020xyzx−++=−=，令11y=，则10x=，1322z=−，所以32(0,1,)2m=−，设平面PBC的法向量为222(,,)nxyz=，则·0·0BPnBCn==，即222232040xyzy−

++==，令21x=，则20y=，222z=，所以2(1,0,)2n=，设平面PAB与平面PBC夹角为，则3332coscos,11191122mnmnmn====++，所以平面PAB与平面PBC

夹角的余弦值为3311.20.数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能

终端产品分别占比055%a=及045%b=，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司

技术的智能终端产品占比分别为na及nb，不考虑其它因素的影响．（1）用nb表示1nb+，并求实数，使nb−是等比数列；（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？

（参考数据：lg20.301,lg30.477）【答案】（1）103142nnbb+=+，1=5（2）能，至少经过6次【解析】【分析】（1）根据题意经过n次技术更新后1nnab+=，由已知条件推导数列nb

的递推关系，通过整理得到103142nnbb+=+，结合数列nb−是等比数列，求的值；（2）由（1）求出数列na的通项公式，再解不等式75%na，即可求出答案．【小问1详解】由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B

公司技术的智能终端产品的占比分别为0011955%,45%2020ab====．易知经过n次技术更新后1nnab+=，则()104131(120%)55%14202nnnnnnbbabbb+=−+=+−=+，即103142nnbb+=+，由题意，可设()1133444nnnnbbbb

++−=−=+，所以512014==，又10131313,44208056931131120805120bbb=+=+=−=−=，从而当1=5时，15nb−是以316为首项，34为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）可

知133135161444nnnb−−==，134154nnb=+，又1nnab+=，则413544nna=−，所以经过n次技术更新后，该区域市场采用A

公司技术的智能终端产品占比413544nna=−．由题意，令75%na，得41333131lglg54444545nnn−，则lg5lg51lg210.301lg32lg22lg2lg32lg2

lg320.3010.477n−−−==−−−−0.6995.5920.125==，故6n，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术智能终端产品占比能达到75%以上．21.已知函数()()2ln1,Rfxxaxa=−−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2

）若函数()fx有两个极值点12,xx，且12xx，求证：()12322ln22fxaxa−−.【答案】（1）答案见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导，根据一元二次方程根的判别式和求根公式分类讨论进行求解即可；（2

）根据（1）的结论、极值的定义，结合分析法、构造新函数法，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解证明即可.【小问1详解】函数()fx的定义域为(),1−，()()()2222ln11xxafxxaxfxx−++=−−=−，的设()222gxxxa=−++，设(

)224284aa=−−=+，当0时，即12a−，()()0,fxfx单调递减，当0时，即12a−，()234112112220,22aagxxxaxx−+++=−++===，若0a，41x，由()()()300,f

xgxxx−，由()()()300,1fxgxxx，当102a−时，由()()()()3400,,1fxgxxxx−，由()()()3400,fxgxxxx，综上所述：当12a−时，函数()fx是(),1−上

的减函数，当102a−时，函数()fx在112,2a−+−上单调递减，在112112,22aa−+++上单调递增，在112,12a++上单调递减，当0a时，函数()

fx在112,2a−+−上单调递减，在112,12a−+上单调递增；【小问2详解】由（1）可知：当102a−时，函数()fx在112,2a−+−上单调递减，在112112

,22aa−+++上单调递增，在112,12a++上单调递减，所以34112112,22aaxx−+++==是函数()fx两个极值点，即12112112,22aaxx−+++==，显然有12121,2axxxx+==−，要证明()12322

ln22fxaxa−−，只要证明()12232ln22fxxa−−，()()2221111122222212222ln1222ln2ln2fxxaxxxxxxxxxaaaxx−−−=−=−−=−−−122222

22222112ln2ln2ln1xxxxxxxxxxx−=−−=−−=−−−+−−，构造新函数()()22212121()2ln11xhxxxhxxxxx−++=−−−+=−−+=，二次函数()212yx=−++的对称轴为=1x−，当1,12x时，该二次函数的最大值为2max1

112024y=−++=−，所以当1,12x时，()()0,hxhx单调递减，所以有()11132ln212ln22222hxh=−−−+=−，因此()12232ln22fxxa−

−成立，即()12322ln22fxaxa−−成立.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系把a用两根的关系替换掉、把两根统一成一个根，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明是解题的关键.22

.已知拋物线2:2(0)Cypxp=，F为焦点，若圆22:(1)16Exy−+=与拋物线C交于,AB两点，且43AB=（1）求抛物线C的方程；（2）若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线,PM

PN，切点分别为,MN.求证：MFNF恒为定值.【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据圆的弦长求解，可得()3,23A，代入抛物线方程即可求解，（2）令()()()001122,,,,,PxyMxyNxy，写出点M处的

切线方程，与抛物线联立，利用Δ0=得到1122yyxx=+，同理得到2222yyxx=+，再写出直线MN方程，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再结合抛物线定义即可证明.【小问1详解】由题意可知()1,0E，半径为4

r=，由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴x轴，故由对称性可知：ABx⊥轴于点C，在直角三角形ACE中，()2222142322CErAB−=−==,因此3,OCOECE=+=故()3,23A，将其代入抛物线

方程中得1262pp==，故抛物线方程为：24yx=【小问2详解】令()()()001122,,,,,PxyMxyNxy，抛物线在点M处的切线方程为()11xxmyy−=−,与24yx=联立得2114440ymymyx−+−=①由相切()211164440mmyx=−−=得211444m

yxm−=，代入①得12ym=故在点处的切线方程为()1112yxxyy−=−，即为1122yyxx=+同理：点N处的切线方程为2222yyxx=+，而两切线交于点()00,Pxy，所以有0101020222,22yyxxyyxx=+=+，则直线MN的方程

为:00220xyyx−+=，由2004220yxxyyx=−+=得200240yyyx−+=,所以1201202,4yyyyyx+==于是()()()2222221212120001||||111224116444yyyyMFNFxxxyx=++=

+++=+−+()22001xy=−+，又点()00,Pxy在圆22:(1)16Exy−+=上，所以()2200116xy−+=,即||||16MFNF=.【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用Δ0=得到相关等式，再得到直

线MN的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com