【文档说明】广东省湛江市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学试卷含解析.doc，共(17)页，1.163 MB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6

＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}2．“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．双曲线x2﹣4y2＝﹣8的渐近线方程

为（）A．y＝±2xB．C．D．4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝（）A．18B．20C．22

D．245．已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（）A．y2＝4xB．y2＝﹣3xC．x2＝6yD．y＝﹣8x26．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1

C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（）A．（x+2）2+y2＝34B．（x+2）2+y2＝682C．（x﹣2

）2+y2＝34D．（x﹣2）2+y2＝688．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°．已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO＝（）A．1kmB．C．D．二、选

择题（共4小题）.9．设命题p：∀n∈N，6n+7为质数，则（）A．￢p为假命题B．￢p：∃n∈N，6n+7不是质数C．￢p为真命题D．￢p：∀n∈N，6n+7不是质数10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则（）A．a5＝12B．

公差d＝3C．S2n＝n（6n+1）D．数列{}的前n项和为11．已知a＞b＞0，且a+3b＝1，则（）A．ab的最大值为B．ab的最小值为C．的最小值为16D．a2+15b2的最小值为12．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B

，点P为Ω上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y＝﹣3交于点C，直线BP与直线y＝﹣3交于点D．设直线AP的斜率为k，则满足|CD|＝36的k的值可能为（）A．1B．C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．313．设向量，，

，则实数m＝．14．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的离心率为．15．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．16．已知点P（m，n）是抛物线x2＝﹣8y上一动点，则的最小值为．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17．△ABC的内角

A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，sinC＝2sinB．（1）求cosA；（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为

侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．19．已知数列{an}的首项为4．（1）若数列是等差数列，且公差为2，求{an}的通项公式．（2）在①a3﹣a2＝48

且a2＞0，②a3＝64且a4＞0，③a2021＝16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{an}是等比数列，______，求数列{（3n﹣1）an}的前n项和Sn．20．如图，平面

ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4．（1）证明：AD⊥CF．（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．421．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同

的焦点F．（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定

值，且四边形AMNB为梯形．22．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．5参考答案一、选择题（共8小题）.1．设

集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}解：∵A＝{x|﹣12＜x＜7}，B＝{x|x＞﹣6}，∴A∩B＝{x|﹣6＜x＜7}．故选：

B．2．“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当四边形ABCD是菱形时，根据菱形的性质可知，对角线互相垂直，当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形不一定是菱形，比如可以是梯形，故“四边形AB

CD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．3．双曲线x2﹣4y2＝﹣8的渐近线方程为（）A．y＝±2xB．C．D．解：根据题意，双曲线的方程为：x2﹣4y2＝﹣8，变形可得，则其

焦点在y轴上，且a＝，b＝2，则其渐近线方程为：y＝±2x，故选：A．4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2

尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝（）6A．18B．20C．22D．24解：设这根木棰的长度为1尺，第一天这根木棰被截取一半为，剩下a1＝1﹣＝尺，第二天被截取剩下的一半为×，剩下a2＝﹣×＝尺，第三天被截取剩下的一半×，剩下a3＝﹣×＝尺

，第四天被截取剩下的一半×，剩下a4＝﹣×＝尺，第五天被截取剩下的一半×，剩下a5＝﹣×＝尺，则＝＝24，故选：D．5．已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（）A．y2＝4xB．y2＝﹣3xC．

x2＝6yD．y＝﹣8x2解：抛物线C的焦点到准线的距离大于2，可得p＞2，y2＝4x中p＝2，所以A不正确；y2＝﹣3x中p＝，所以B不正确；x2＝6y中p＝3，所以C正确；y＝﹣8x2，即x2＝y，所以p＝，所以D不正确；故选：C．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图所示，建立空间直角坐标系.7不妨设AB＝2，则A（2，0，0），O（1，1，2），E（2，2，1），C1（0，2，2），∴＝（﹣1，1，2），＝（﹣2，0，1），∴cos＜，＞

＝＝＝．∴异面直线C1E与AO所成角的余弦值为．故选：D．7．P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（）A．（x+2）2+y2＝34B．（x+2）2+y2＝68C．（x﹣2）2+y2＝

34D．（x﹣2）2+y2＝68解：由已知椭圆的方程可得：a2＝17，b2＝13，则a＝，由椭圆的定义可得|PF，又因为|PQ|＝|PF2|，所以|PF，所以|QF，所以点Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为：（x+2）2+y2＝6

8，故选：B．8．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°．已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO＝（）8A．1kmB．

C．D．解：设OP＝x，由题意可得：Rt△OBP中，∠PBO＝45°，∴OB＝OP＝x．在Rt△OAP中，∠PAO＝30°，∴OA＝x•tan60°＝x．又AB＝×20＝2.5，在△OAB中，由余弦定理可得：＝，解

得x＝1．故选：A．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设命题p：∀n∈N，6n+7为质数，则（）A．￢p为假命题B．￢p：∃n

∈N，6n+7不是质数C．￢p为真命题D．￢p：∀n∈N，6n+7不是质数解：命题p：∀n∈N，6n+7为质数，当n＝3时，6×3+7＝25不是质数，故命题p为假命题，￢p：∃n∈N，6n+7不是质数，所以￢p为真命题．故选：BC．10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，

则（）A．a5＝12B．公差d＝3C．S2n＝n（6n+1）D．数列{}的前n项和为9解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3，故选项B正确，a5＝2+3×（5﹣1）＝14，故选项A不正确，∵S2n＝2n×2+×3＝n（6

n+1），选项C正确，∵an＝2+3×（n﹣1）＝3n﹣1，∴＝＝（﹣），∴数列{}的前n项和为++…+＝×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）＝×（﹣+﹣+…+﹣）＝×（﹣）＝，选项D正确．故选：BCD．11

．已知a＞b＞0，且a+3b＝1，则（）A．ab的最大值为B．ab的最小值为C．的最小值为16D．a2+15b2的最小值为解：对于A，B：∵a＞b＞0，且a+3b＝1，∴1＝a+3b≥2，故≤，0＜ab＜，故A正确，B错误；对于C：∵a＞b＞0，且a+3b＝1，∴+＝（+）（a

+3b）＝10+3（+）≥10+3•2＝16，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，故C正确；对于D：a2+15b2＝a2+15＝a2﹣a+＝+≥，当且仅当a＝时“＝”成立，故D正确；故选：ACD．1012．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P为Ω上一点，且P不在坐标轴上，直线AP

与直线y＝﹣3交于点C，直线BP与直线y＝﹣3交于点D．设直线AP的斜率为k，则满足|CD|＝36的k的值可能为（）A．1B．C．D．解：由椭圆的方程可得A（﹣3，0），B（3，0），设P（x0，y0），则k＝，因为kPA＝k，所以k，又直线PA的方程为y＝k（x+3），则令y＝﹣3，得x，直线

PB的方程为y＝﹣，令y＝﹣3，得xD＝27k+3，所以|CD|＝|27k+|＝36，整理可得：9k2+14k+1＝0或9k2﹣10k+1＝0，解得k＝或1或，故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．设向量，，，则实数m＝

﹣6．解：∵向量，，，∴•＝m+2+4＝0，解得m＝﹣6，故答案为：﹣6．14．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的离心率为2．解：双曲线的虚轴长为，可得b＝3，a＝，所以c＝＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝2，故答案为：2．1115．在△ABC中，若，，AC＝2，则

AB＝．解：因为＝，可得cosC＝，又sin2C+cos2C＝1，所以，因为，AC＝2，由正弦定理得，可得．故答案为：．16．已知点P（m，n）是抛物线x2＝﹣8y上一动点，则的最小值为3．解：抛物线的准线为y＝2，焦点F坐标为（0，﹣2），所以＝+，表示点P（m，n）与点F（0，﹣2

）的距离与点P（m，n）与点A（2，﹣1）的距离之和，所以的最小值为线段AB长度，又|AB|min为点A到准线y＝2的距离，即|AB|min＝3，故答案为：3．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c

．已知，sinC＝2sinB．（1）求cosA；（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．12解：（1）因为，所以．（2）因为sinC＝2sinB，所以c＝2b．由余弦定理得，则．因为△ABC的周长为，所以，解得b＝2．所以△ABC的面积为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A

1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．∴BE

C1F，∴四边形BEC1F是平行四边形，∴BF∥EC1，∵BF⊄平面A1C1E，EC1⊂平面A1C1E，∴BF∥平面A1C1E．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别

为侧棱BB1，CC1中点．∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AC＝AA1＝2BC＝2，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），E（0，1，1），13＝（0，﹣1，﹣2），＝（2，0，0）

，＝（0，1，﹣1），设平面A1C1E的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），设B1C与平面A1C1E所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴B1C与平面A1C1E所成角的正弦值为．19．已知数列{an}的首项为4．（1）若数列是等差

数列，且公差为2，求{an}的通项公式．（2）在①a3﹣a2＝48且a2＞0，②a3＝64且a4＞0，③a2021＝16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{an}是等比数列，______，求数列{（

3n﹣1）an}的前n项和Sn．解：（1）数列是等差数列，且公差为2，首项为4，所以，整理得．（2）选①：a3﹣a2＝48且a2＞0，{an}是等比数列，设公比为q，由于首项为4，则由a3﹣a2＝48，得q＝4，所以，选②：由于首项为4，且a3＝64，{an}是

等比数列，14所以q＝±4，且a4＞0，所以，选③：由于数列，{an}的首项为4，且满足a2021＝16a2a2017，解得q＝4，所以，设，则①，所以4②，①﹣②得﹣3，所以．20．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方

形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4．（1）证明：AD⊥CF．（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ACDE为正方形，∴AD⊥CE，∵平面ABCDE⊥平面CEFG，平面ABCDE∩平面CEFG＝CE，∴AD⊥平面FECG．又CF⊂平面FECG，

∴AD⊥CF；（2）∵四边形CEFG为正方形，∴CG⊥CE，∵平面ABCDE⊥平面CEFG，平面ABCDE∩平面CEFG＝CE，∴CG⊥平面ABCDE．故EA，ED，EF两两垂直，所以以E为原点建立空间

直角坐标系，∵AB＝BC＝，AC＝4，∴B到AC的距离为1．∴B（5，2，0），F（0，0，4），G（4，4，4），15则，，设面BFG的法向量为，由，可得＝（4，﹣4，3）又平面ABCDE的法向量为，cos＝＝∴平面B

FG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F．（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N．过点A作

l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．解：（1）因为双曲线的右焦点为（2，0），所以F（2，0），则，即p＝4，16故C的方程为y2＝8x，其准线l的方程为x＝﹣2．（2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），联立，

整理得ky2﹣8y﹣16k＝0，所以△＝64+64k2＞0恒成立，所以，故y1⋅y2为定值．因为点N在准线l上，设点N为（﹣2，m），则由kOA＝kON，可得．又，所以．因此BN∥x轴∥AM，易知，x1≠x2，|AM|≠|BN，故四边形AMNB为梯形．22．已知椭圆的离心率为，

且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．解：（1）依题意可知，解得a＝2，b＝2，c＝4故C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，17则△＝300m2﹣64（

5m2﹣20）＞0，解得﹣8＜m＜8．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，原点到直线l的距离，则△AOB的面积，当且仅当m2＝32，即时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2．