【文档说明】重庆市黔江新华中学校2021届高三下学期3月模拟考试数学试题 扫描版含答案.pdf，共(12)页，847.764 KB，由小赞的店铺上传

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高三模拟考试数学试题2021.3考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复平面内表示复数z=i(a−i)(

a<0)的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A={x|𝑥2+x−2<0}，B={x|2x−3>0}，则A∩B=A.�−32,1�B.�−32,−1�C.(−1,2)D.(−2,1)3.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班中，要求每个班至少分到

一人，则甲被分到A班的分法种数为A.6B.12C.24D.364.明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日

月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板

的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度。如图所示，若在一次观测中，所用

的牵星板为六指板，则sin2α约为A.1235B.1237C.16D.135.函数y=𝑎3−𝑥(𝑎>0,且𝑎≠1)的图象恒过定点A，若点A在椭圆𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1(𝑚>0,𝑛>0)上，则m+n的最小值为A.12B.14C.16D.18

6.如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周则A点形成的轨迹为17.将函数y=sinx的图象向左平移𝜋2个单位，得到函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是A.y

=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于点�−𝜋2,0�对称D.y=f(x)的图象关于直线x=𝜋2对称8.已知直三棱柱ABC−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB=BC=2.过A

B，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为A.2√2+√6B.√2+2√6C.3√2+√6D.3√2+2√6二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有

选错得得0分。9.PM2.5是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3为超标.如图是某地12月1日至10日得PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是A.这10天中有3天空气质量为一级B.从6日

到9日PM2.5日均值逐渐降低C.这10天中PM2.5日均值的中位数是55D.这10天中PM2.5日均值的平均值是4510.已知𝑥1+𝑙𝑜𝑔3𝑥1=0,𝑥2+𝑙𝑜𝑔2𝑥2=0，则A.0<x2<x1<1B.0<x1<x2<1C.x2lgx1-x1lgx2<0D.x2lg

x1-x1lgx2>011.已知函数f(x)对于任意x∈R，均满足f(x)=f(2-x).当x≤1时f(x)=�𝑙𝑛𝑥,0<𝑥≤1𝑒𝑥,𝑥≤0�若函数g(x)=m|x|-2-f(x)，下列结论正确的为A.若m<0，则g(x)恰有两个零点B.若

32<𝑚<𝑒，则g(x)有三个零点C.若0<𝑚≤32，则g(x)恰有四个零点D.不存在m使得g(x)恰有四个零点212.已知正方体ABC-A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在

平面上一动点，则下列命题正确的是A.若MN与平面ABCD所成的角为𝜋4，则点N的轨迹为圆B.若MN=4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC.若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D.若D1N与AB所成的角为𝜋3，则点N的轨迹为双曲线三

、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.若函数f(x)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎>1)，在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=.14.为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会

上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.8

4米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加加了米.15.已知函数f(x)=3𝑥+1+𝑎3𝑥+1(a≥3)，若对任意x1，x2，x3∈

R，总有f(x1)，f(x2)，f(x3)为某一个三角形的边长，则实数a的取值范围是.16.已知F1，F2分别为双曲线C:𝑥24−𝑦212=1的左、右焦点，E为双曲线C的右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象

限），设M，N分别为ΔAF1F2，ΔBF1F2的内心，则|ME|-|NE|的取值范围是.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(10分）在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C

所对的边，若cBCbCBAa)sinsin2()sinsin2(sin2+++=(1)求A的大小(2)求sinB+sinC的最大值.318.(12分）在①已知数列}{na满足：80231==−+aaann，②等比数列}{na中，公

比q=2,前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题，(若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.(1)求数列}{na的通项公式；(2)设nnanb=数列}{nb的前n项和为nT,若20222−mTn＞对*Nn∈恒成立，求正整数m的最大值.1

9.(12分)菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD=8，AC=6，将△ACD沿AC折到△PAC的位置，使得PD=4,如图所示。(1)证明：PB⊥AC(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值20.(12分）为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底

在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对

于)(*Nnn∈，份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次：二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为k+1次，若

每份样本没有该病毒的概率为)10(＜＜pp，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的(1)若32=p，求2份样本混合的结果为阳性的概率(2)若取得4份样本，考虑以下两种检验方案方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份

样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试间方案一、二哪个更“优”？请说明理由.421.(12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到)0,3()0,3(21FF，−两点的距离之和为4.(1)试判断动点G的轨迹是什

么曲线，并求其轨迹方程C:(2)已知直线L:)3(−=xky与圆F：41)3(22=+−yx交于M、N两点，与曲线C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限。d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k,使得2|)||(|dMPNQT⋅−=取得最大值，若存在，求出k；不存在，说明理由.22.（12分）已知

函数f(x)=𝑒𝑥−𝑎𝑥−1,𝑔(𝑥)=𝑘𝑥2.（1）当a>0时，求f(x)的值域；（2）令a=1，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥𝑔(𝑥)ln(𝑥+1)−𝑥恒成立，求k的取值范围.5高三数学试题第1页共10页数学试题答案2021.3一、单项选择题：本大题共8小题，

每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-4DABB5-8CACC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

答案9.AB10.BC11.ABC12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】214.【答案】0.4215.【答案】[36]，.16.【答案】4343(,)33.【解析】1212AFAFFF，，上的切点分别为HIJ、、

，则1122AHAIFHFJFJFI，，.由aAFAF221得1212()()22.AHHFAIIFaHFIFa，即122.JFJFa设内心M的横坐标为0x，则点J的横坐标也为0x，则axcxc2)()(00得ax0，所以JMx

轴，则E为直线JM与x轴的交点.同理可得21FBF的内心在直线JM上设直线AB的倾斜角为，则22,22EFMEFN，()tan()tan22cossin22()()sincos222cos()sin2()tanMENEcacacacaca

高三数学试题第2页共10页由题知，3tan3tan,323.3,4,2或abca，0tan1,33tan133且，)33,0()0,33(tan4NEME当直线AB的斜率不存在时，0MENE，综上所

述，44343(,)tan33MENE.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A

，所以3π2A…………………………………………5分（2）由（1）得：)3πsin(sin21cos23)3πsin(sinsinsinBBBBBCB故当6πB时，CBsinsin取得最大值1.…………………

……………………10分18．（12分）解：（1）选择条件①，设等比数列{}na的首项为1a，公比为q，依题意，120nnaa，得{}na为等比数列，所以，2q，38a，解之得122qa；∴2nna.………………………5分选择条件②，设等比数列{}na的首项为1

a，公比2q，前5项和为62，依题意，2q，51(12)6212a，解之得122qa，高三数学试题第3页共10页∴2nna.……………………5分（2）因为2nnnnnba,所以231232222nnnT

①2341112322222nnnT②1－②得2341111111111222222222nnnnnnnT，所以222nnnT.………………8分因为1112121(2)(2)022

2nnnnnnnnTT，所以数列nT单调递增，1T最小，最小值为12.………………………10分所以1220222m.所以2023m.故正整数m的最大值为2022.…………………12分19．（12分）（1）证明：因为ABCD是菱形，所以AC

BD，则,BEACPEAC，因为,BEPBEPEPBE面面，且BEPEE，所以ACPBE面．因为PBPBE面，所以ACPB．…………………5分（2）解：取DE的中点O，连接OP，取CD的中点F，连

接OF，因为8BD，所以4DEPE．因为4PD，所以PDPE，所以PODE，由（1）可知ACPBE面，所以PBDABCD面面，则POABCD面．…………………6分故以O为坐标原点，以OF，OD，OP的方向分别为,,

xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．由题中数据可得(3,2,0),(0,6,0),(3,2,0),D(0,2,0),P(0,0,23)ABC，则(3,4,0)ABDC，(0,6,23),(0

,2,23)BPDP高三数学试题第4页共10页设PAB平面的法向量为111=,,mxyz（)，则11113406230mABxymBPyz，令1=4x，得=,3,-33m

（4)．…………………8分设PCD平面的法向量为222=,,nxyz（)，则22223402230nDCxynDPyz，令2=4x，得=4,3,3n（)，…………………10分设PAB平面与PCD平面所成

的锐二面角为，则2222224433333491cos=914+3+-334+3+3mnmn（）（）．…………………12分20．（12分）【详解】解：(1)该混合样本阴性的概率是22()3p

，根据对立事件可得，阳性的概率为21133…………………3分(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1,54221();51PXppPXp，其分布列为:则254EXp，…………………6分方案二:由题意分析可知，每组2份样本混合检

验时，若阴性则检测次数为1,概率为2()pp，若阳性，则检测次数为3，概率为1p，方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2,4,6，22122;4121;61PYpPYCppppPYp；其分布列为:X15P2p21pY

246高三数学试题第5页共10页则22224226164EYppppp，…………………9分22645444+1EYEXpppp，当12p时，可得EXEY，所以方案一更“优”当1=2p时，可得EXEY，所以

方案一、二一样…………………12分21．（12分）解：（1）由题意知，12||||4GFGF，又423，所以，动点G的轨迹是椭圆.……2分由椭圆的定义可知，，3c2a，又因为222cba所以12b，故G的轨迹方程1422yx.

…………………………………………4分（2）由题设可知，M在椭圆外，N在椭圆内，P在⊙2F内，Q在⊙2F外，在直线l上的四点满足：||||||||||||NPPQNQNPMNMP，.由)3(1422xkyyx消去y得：041238)41(2222kxk

xk.因为直线l过椭圆C内的右焦点2F，所以该方程的判别式0恒成立.设)()(2211yxQyxP，，，,由韦达定理，得22212221414124138kkxxkkxx，.1444]4))[(1(|PQ|22212212kkxxxxk

．………………………….7分又因为⊙2F的直径1||MN,所以1431|||||||)||(|||||||||2kPQMNPQNPMNNPPQMPNQ…………………………………………………………

……………………………9分）（3xky可化为03kykx．因为d为O到l距离，231kdk，P2p222pp21p高三数学试题第6页共10页15142951491549)1)(14(9|)

||(|22222422222kkkkkkkkkkdMPNQT当且仅当2214kk，即22k时等号成立．所以存在22k满足题意..…………12分22．（12分）解析：（1）()xfxea，由0fx得，lnxa…………………..2分∴fx

在区间(,ln]a上单调递减，在区间ln,a上单调递增，∴函数fx的最小值为：ln(ln)ln1ln1afaeaaaaa；∴函数fx的值域是ln1,aaa；……………

……..4分（2）当1a时，()1xfxex，2()()()ln(1)ln(1)gxfxxfxxxkxx(0)x22[()]ln(1)(e1)ln(1)xfxxxkxxkxln(1)2e1

e1(e1)ln(1)e1ln(1)ln(1)xxxxxxxkxxxx…………………..6分令e-1xmxx，则21e+1xxmxx，令1e1xxx，则exxx，∵0x，∴0x，x在0,上单调递增，∴

00x，∴0mx，于是mx在0,上单调递增，且0mx，(0)x……………...8分又由（1）知当1a，0,x时，()1xfxex的值域是0,，即：()

1(0)0xfxexf，高三数学试题第7页共10页所以：e1xx恒成立，∴ln1xx，……………….10分所以：ln1mxmx，即：1ln1mxmx，所以：1k∴k的取值范围是,1.…………………..12分