【文档说明】安徽省阜阳市颍东区衡水实验中学2020-2021学年高二上学期第四次调研考试数学（文）试题含答案.docx，共(11)页，787.285 KB，由小赞的店铺上传

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衡水实验中学2020—2021学年高二年级第一学期第四次调研考试文数试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.直线310xy−+=的倾斜角为（）A.6B.3C.23D.562.

已知双曲线C：2212yx−=，则其焦点坐标为（）A.()3,0B.()0,3C.()1,0D.()0,13.一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参

加44方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.9人、7人B.15人、1人C.8人、8人D.12人、4人4.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A.3−B.13C.12−D.25.已知

p：1x或2x−，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.2aa−B.1aaC.21aa−D.1aa6.若直线yxm=+是曲线exy=的一条切线，则实数m的值是（）A.1−B.0C.1D.27.若圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3

440xy++=截得的弦长为6，则圆C的方程为（）A.22430xxy++−=B.2216390xxy+++=C.2216390xxy++−=D.2240xxy++=8.已知双曲线221mxny+=与抛物线28xy=有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）A.2

213yx−=B.2213xy−=C.2251yx−=D.2215xy−=9.已知圆1C：()()22111xy+++=，圆2C：()()22234xy−+−=，A、B分别是圆1C和圆2C上的动点，则

AB的最大值为（）A.5B.6C.7D.810.如图，点F是抛物线C：24xy=的焦点，点A、B分别在抛物线C和圆()2214xy+−=的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则AFB△周长的取值范围是（）A.()3,6B.()4,6C.()4,8D.()6,811.已知曲线exxy=在1xx=处

的切线为1l，曲线lnyx=在2xx=处的切线为2l，且12ll⊥，则21xx−的取值范围是（）A.10,eB.(),1−−C.(),0−D.1,e−12.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2

F，实轴的两个端点分别为1A、2A，虚轴的两个端点分别为1B、2B.以坐标原点O为圆心，12BB为直径的圆()Oba与双曲线交于点M（位于第二象限），若过点M作圆的切线恰过左焦点1F，则双曲线的离心率是（）A.3B.2C.62D.72第Ⅱ卷二、填空题

（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题“01,2x−，00xa−”为假命题，则实数a的最小值为.14.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足()()21lnfxxfx+=，则()1f=.15.在区间4,4−上任取一个实数a，使得方

程22123xyaa+=+−表示双曲线的概率为.16.已知椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点分别为()1,0Fc−，()2,0Fc，过点2F且斜率为2ba的直线l交直线20bxay+=于M，若M在以线段12FF为直径的圆上，则椭

圆的离心率为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合13Axx=−，集合()()10Bxxaxa=−−−，aR.（1）若“1B

”是真命题，求实数a的取值范围；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）已知圆C：()()22234xy−+−=外有一点()4,1P−，过点P作直线l.（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2

）当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆C所截得的弦长.19.（本小题满分12分）已知直线4x=与抛物线C：()220ypxp=相交于A，B两点，且OAB△（O为坐标原点）是等腰直角三角形..（1）求

抛物线C的方程；（2）若直线l过定点()2,1−，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？20.（本小题满分12分）从某校高二年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：[40,50)，[50,60)，…，

[90,100]后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高二年级数学检测成绩不低于80分的人数.21.（本小题满分12分）已知离心率为22的椭圆：()222210yxabab+=的短轴的两个端点分别为1

B、2B，P为椭圆上异于1B、2B的动点，且12PBB△的面积最大值为22.（1）求椭圆的方程；（2）射线()20yxx=与椭圆交于点A，过点A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求

证：直线BC的斜率为定值.22.（本小题满分12分）设函数()esinxfxaxb=++.（1）当1a=，)0,x+时，()0fx恒成立，求b的取值范围；（2）若()fx在0x=处的切线为10xy−−=，求

a、b的值；并证明：当()0,x+时，()1fxx−.参考答案及解析月考卷一、选择题1.A【解析】由直线310xy−+=，得3333yx=+，设直线的倾斜角为，所以3tan3=，所以6=.故选A.2.B【解

析】∵2212yx−=，∴22a=，21b=，∴2223cab=+=，∴3c=.由题得，双曲线的焦点在y轴上，因此焦点坐标为()0,3.故选B.3.A【解析】利用分层抽样的方法，得一班应抽出5416996

=人，二班应抽出1697−=人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7.故选A.4.D【解析】由题得，1i=，3a=−；2i=，12a=−；3i=，13a=；4i=，2a=；5i=，3a=−，可以发现此程序周期为4，故2020i=，2a=，2021i=

，此时输出2a=.故选D.5.D【解析】设p表示的集合为12Axxx=−或，q表示的集合为Bxxa=，由q是p的充分不必要条件，可得B是A的真子集，利用数轴作图如下：所以1a.故选D.6.C【解析】∵exy=，∴exy=，设切点为()00

,exPx，则过点P的切线方程为()000eexxyxx−=−，整理得0000eeexxxyxx=−+，∵直线yxm=+是曲线exy=的一条切线，∴0e1x=，00x=，∴1m=.故选C.7.B【解析】设圆心为()(),0

0aa，圆C的半径为5，弦长为6，∴圆心到直线3440xy++=的距离为22534−=.又圆心到直线3440xy++=的距离为345ad+=，∴3445a+=，解得8a=−，∴圆C的方程为()22825xy++=，即2216390xxy+++=.故选B.8.A【解析】由抛物线

28xy=的焦点坐标为()0,2F，可得双曲线221mxny+=的焦点坐标为()0,2F.又221mxny+=为22111yxnm−=−，故21an=，21bm=−，∴双曲线的一条渐近线方程为11mnyxxnm==−−.由点F到双曲线渐近线的距离

等于1，得21nnm=−，即2nnm=−，①又222abc+=，即114nm−=，②联立①②，解得13n=，1m=−，∴双曲线的方程为2213yx−=.故选A.9.D【解析】两圆上两点间最大距离是圆心距加上两圆的半径之和，两

圆圆心是()1,1−−，()2,3，两圆半径分别是11r=，22r=，所以AB的最大值为()()221213128−−+−−++=.故选D.10.B【解析】抛物线24xy=的焦点为()0,1，准线方程为1y=−，圆()2214xy+−=的圆心为()0,1，

与抛物线的焦点重合，且半径2r=，∴2FB=，1AAFy=+，BAAByy=−，∴ABF△的周长213ABAByyyy=+++−=+.∵13By，∴ABF△的周长的取值范围是()4,6.故选B.11.B【解析】

令()exxfx=，()lngxx=，则()1exxfx=−，()1gxx=，所以1111exxk−=，221kx=，因为12ll⊥，故112111exxx−=−，所以1121exxx−=.因为20x，故11x.又112111

exxxxx−−=−，令()1exxhxx−=−，1x，则()22e1eexxxxxhx−−==−−，当()1,x+时，2exyx=−−为减函数，故12e21e0xx−−−−，所以()0hx在()1,+上恒成立，故()

hx在()1,+上为减函数，所以()()11hxh=−，又当1x时，11111eeeexxxxxx−−−−=−−，所以()hx即21xx−的取值范围为(),1−−.故选B.12.A【解析】由题意作出草图，如下：∵1FM与圆O切于M，∴1FMOM⊥，且1OFc=，OMb=，故

2211MFOFOMa=−=.由双曲线的定义知2123MFMFaa=+=.在1RtFMO△中，1cosaMFOc=，在12MFF△中，由余弦定理，得()()2221223cos22acaaMFFacc+−==，即22412ca=，故离心率3e=

.故选A.二、填空题13.2【解析】已知命题为假命题，等价于1,2x−，0xa−恒成立，所以对1,2x−，ax恒成立，故2a，所以实数a的最小值为2.14.1−【解析】对函数进行求导，得()()121fxfx=+.把1x

=代入得，()()1211ff=+，解得()11f=−.15.58【解析】若方程22123xyaa+=+−表示双曲线，则满足()()230aa+−，解得23a−，则所求的概率()()325448P−−==−−.16.12【解析】设直线l的方程为()2byxca=−，联立20bxay+=

，解得,2,cxbcya==−即点M的坐标为,2cbca−.因为M在以线段12FF为直径的圆上，所以12FMFM⊥，有120FMFM=uuuuruuuur，则2222304bcca−+=，解得32ba=，则椭圆的离心率为2

2311142bea=−=−=.三、解答题17.解：（1）若“1B”是真命题，则()10aa−−，解得01a，即实数a的取值范围为()0,1.（2）由题得，()()101Bxxaxaxaxa=−−−=+

，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则B是A的真子集，即1,13,aa−+即1,2,aa−得12a−，即实数a的取值范围是1,2−.18.解：（1）由题意可得()2,3C，直线l与圆C相切.当斜率不存在时，直线l的方程为4x=，满足题意.当斜率

存在时，设直线l的方程为14ykx+=−，即410kxyk−−−=，∴2234121kkk−−−=+，解得34k=−，∴直线l的方程为3480xy+−=，∴直线l的方程为4x=或3480xy+−=.（2）当直线l的倾斜角为135时，则直线l的方程为30xy+−=.圆心()2,3C到直线l的距离

为23322+−=，∴弦长为()2222222−=.19.解：（1）由直线4x=与抛物线C：()220ypxp=相交于A，B两点，可设()4,22Ap，()4,22Bp−，又OAB△是等腰直角三角形，可得OAOB⊥，则2222144pp−=−，解得2p=，即抛物线C的方程为24yx=

.（2）直线l过定点()2,1−，斜率为k，可设直线l的方程为()12ykx−=+，当直线l平行于抛物线的对称轴x轴时，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k=；当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共

点，由212,4,ykxkyx=++=可得()()2222124120kxkkxk++−++=，0k，由()()()2222212441216120kkkkkk=+−−+=−−=，解得1k=−或12k=，综上可得，0k=或1k=−或

12k=，直线l与抛物线C只有一个公共点.20.解：（1）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以()100.0050.010.020.0250.011a+++++=，解得0.03a=.（2）根据频率分布直方图，得成绩不低于80分的频率

为()100.0250.010.35+=.由于该校高二年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高二年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210=.21，解：（1）椭圆的离心率为2222cabeaa−===，可得2ab=

，由题意可得，12PBB△的面积的最大值为2222abb==，可得2b=，2a=，因此，椭圆的方程为22142yx+=.（2）联立221,422,0,yxyxx+==解得1,2,xy=

=所以点A的坐标为()1,2.设点()11,Bxy，()22,Cxy，设直线AB的方程为()12ykx=−+，即2ykxk=+−，联立222,24,ykxkxy=+−+=消去y并整理得()()2222222220kxkkxkk++−+−−=，由韦达定理，得212222

12kkxk−−=+，即2122222kkxk−−=+，2112242222kkykxkk−−+=+−=+，所以点B的坐标为22222222422,22kkkkkk−−−−+++，同理可得点C的坐标为22222222422,22kkkkkk+−−++++.则直线

BC的斜率为12128242BCyykkxxk−−===−−，即直线BC的斜率为定值.22.解：（1）由()esinxfxaxb=++.当1a=时，得()ecosxfxx=+.当)0,x+时，e1x，co

s1,1x−，且当cos1x=−时，即2xk=+，kN，此时e1x.所以()ecos0xfxx=+，即()fx在)0,+上单调递增，所以()()min01fxfb==+.由()0fx恒成立，得10b+.所以1b−，即b的取值范围为)1,−+.（2）由()esinxfx

axb=++，得()ecosxfxax=+，且()01fb=+.由题意得()00e1fa=+=，所以0a=.又点()0,1b+在切线10xy−−=上，所以0110b−−−=，所以2b=−.所以()e

2xfx=−.要证e21xx−−，即()e100xxx−−.令()()e10xgxxx=−−，则()e10xgx=−，所以()gx在()0,+是增函数.所以()()00gxg=，即e2

1xx−−.