【文档说明】湖南省炎德·英才·名校联考联合体2025届高三第四次联考试数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.947 MB，由envi的店铺上传

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名校联考联合体2025届高三第四次联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号

.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集1,2,3,4,5U=，集合{}1,3,5M=，则UM=ð（）A.

4B.2,4C.2,5D.2【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为全集1,2,3,4,5U=，集合{}1,3,5M=，所以2,4UM=ð，故选：B.2.1i2i−=−（）A.1355i+B.13i55−C.3

1i55+D.31i55−【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()1i2i1i31i2i2i2i55−+−==−−−+.故选：D.3.已知向量a，b满足()1,2a=，

(),1bx=，且()aba−⊥，则x=（）A.12B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为()1,2a=，(),1bx=，所以()1,1abx−=−，因为()−⊥aba，所以120x−+=，从而3x=.故选：D.4.已

知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为3，则正四棱锥的体积为（）A.3B.23C.33D.63【答案】B【解析】【分析】由棱锥的高和球的半径均为3，确定底面的边长，再由体积公式即可求解.【详解】因为棱锥的高和球的半径均为3，所以底面正方形的外接圆圆心即为球心，外接圆半

径即为球的半径，所以正四棱锥的底面边长()()22336+=，故四棱锥的体积为()2163233=.故选：B.5.已知函数()33xxfx−=−，则()()220fxfx−+的解集为（）A.()2,1−B.()(),21,−−+

C.()1,2−D.()(),12,−−+【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性和奇函数的性质解抽象函数不等式即可；【详解】函数()33xxfx−=−的定义域为R，又()()33xxfxfx−−=−=−

，所以()fx为奇函数.又3xy=，3xy−=−在定义域R上单调递增，所以()fx在R上单调递增，所以()()()()22202fxfxfxfx−+−−，即22xx−−，解得2<<1x−，故选：A.6.已知函数()()cosfxx=+，其中0，0π，若

图象上的点π,010−与之相邻的一条对称轴为直线2π5x=，则的值是（）A.π5B.2π5C.3π5D.4π5【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用cosyx=的图象与性质，即可求解.【详解】对于函数()()cosfxx=+，易知()f

x的图象关于点π,010−对称，设T为()fx的最小正周期，则2ππ1ππ510242T−−===，又0，得1=，当1=时，πππ102k−+=+，kZ，得到3ππ5k=+，kZ，又0π，可得

3π5=，故选：C.7.设双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，212FAAF=，2ABF△的面积为83，且2AFB为钝角，214AFAF−=，则双曲线C的方程为（）A.22142xy−=B.22148xy−

=C.221424xy−=D.221169xy−=【答案】B【解析】【分析】画出图形，运用双曲线定义，求出a，运用面积公式计算2sinAFB，得到2AFB，结合余弦定理，求出b，c即可.【详解】则由双曲线定义可知，21124AFAFAFa−===，所以

2a=，28AF=，24BF=，所以21222211sin84sin16sin8322ABFSAFBFAFBAFBAFB====，解得23sin2AFB=，因为2AFB为钝角，所以22π3AFB=，所以12π3FAF=，由余弦定理可知222121212π

2cos166432483FFAFAFAFAF=+−=+−=，所以212c=，2221248bca=−=−=，所以双曲线方程为22148xy−=.故选：B.8.已知函数()exfxx=，若方程()()ee0fxfxa−++=恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是

（）A.(),e−−B.(),2e−−C.2,e−−D.1,e−−【答案】B【解析】【分析】求出定义域，分0x和0x两种情况，求导，得到函数单调性，从而画出()exfxx=的图象，因式分解得到()efx=或()efxa=−−，其中()efx=有2个不同的

解，故()efxa=−−需有3个不同解且和()efx=的解不同，即eea−−，解得2ea−.【详解】函数()exfxx=的定义域为0xx，若0x时，由()exfxx=求导得，()()21exxfxx−=，故当01x时，𝑓′(𝑥)<0；当1x时，𝑓′(𝑥)>0，所

以()exfxx=在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故()exfxx=在1x=处取得极小值，也是最小值，()1ef=，当0x+→时，()fx→+；当x→+时，()fx→+；若0x时，由()exfxx=−求导得，()(

)21exxfxx−=，因为0x，故恒有𝑓′(𝑥)>0，即()exfxx=−在(),0−上单调递增，且当x→−时，()0fx+→，当0x−→时，()fx→+，即当0x时，恒有()0fx.作出函数()exfxx=的大致图象如图所示.又由()()ee0fxfxa−++=

可得()efx=或()efxa=−−，由图知()efx=有两个根，此时方程有2个不同的解；要使方程()()ee0fxfxa−++=恰有5个不同的解，需使()efxa=−−有3个零点，由图知，需使()efx，即eea−−，解得2ea−.综

上所述，实数a的取值范围是(),2e−−.故选：B.【点睛】思路点睛：关于方程根的个数问题，通常转化为函数图象交点，函数图象复杂时，需要借助导数研究其单调性，分析其变化趋势，然后作出函数图象进行求解.二、选择题（本大题共3小题，每小

题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设等差数列na的前n项和为nS，公差为d，已知100S，60a.则（）A.50aB.0dC.0nS时，

n的最小值为11D.nS最小时，6n=【答案】BC【解析】【分析】由等差数列求和公式与等差数列项的性质，易判断50a，即可判断A，B两项，计算化简()111116111102aaSa+==，结合1

00S，知使0nS时，n的最小值为11；分析可得，当15n时，0na，当6n时，0na，故得nS最小时，有5n=，排除D.【详解】对于A，由100S，则()()()11056105610105022aaaaS

aa++===+，又60a，则50a，故A错误；对于B，由A已得50a，则650daa=−，故B正确；对于C，由上分析，当15n时，0na，当6n时，0na，又()111116111102aaSa+==

，又100S，所以0nS时，n的最小值为11，故C正确；对于D，当nS最小时，5n=，故D错误.故选：BC.10.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，1ABBCAA==，BCAB⊥，E，F，G，H分别为1BB，1CC，11AB，11AC的中点，则下列说法正确的是（

）A.1ABEG⊥B.EG，FH，1AA三线不共点C.AB与平面EFHG所成角为45D.设2BC=，则多面体11EGBFHC的体积为1【答案】AC【解析】【分析】对于A，连接1AB，1AB，由1EGAB∥和11ABA

B⊥可证得结论；对于B，先证1//,2GHEFGHEF=，即得EG，FH相交，再由交点在两个相交平面内即得三线交于一点排除B；对于C，作1BMEG⊥于点M，证明⊥BC平面11AABB得1BCBM⊥，由EFBC∥推得1BMEF⊥，得1BM⊥平面EFHG，，即得1BGM

为AB与平面EFHG所成的角即可求得；对于D，过点H作11HDBC⊥交11BC于点D，过点D作DNEF⊥，连接HN，可将多面体11EGBFHC分割成三棱柱1EGBNHD−和四棱锥1HDCFN−求体积.【详解】对于A，如图，连接1AB，1AB，由G，E分别为11AB，1BB的中点，可得1EGAB

∥，由1ABBCAA==可知，侧面11AABB为正方形，所以11ABAB⊥，所以1ABEG⊥，故A正确；对于B，如图，连接GH，EF，由题易知111111111//,,//,2GHBCGHBCEFBCEFBC==,则1//,2GHEFGHEF=，延长EG，FH相交于点P，

因为PEG，EG平面11ABBA，所以P平面11ABBA，因为PFH，FH平面11ACCA，所以P平面11ACCA，因为平面11ABBA平面111ACCAAA=，所以1PAA，所以EG，FH，1AA三线共点，故B错误；对于C，作1B

MEG⊥于点M，因BCAB⊥，1BCBB⊥，1ABBBB?，AB平面11AABB，1BB平面11AABB，所以⊥BC平面11AABB，因为1BM平面11AACC，所以1BCBM⊥，又EFBC∥，所以1BMEF⊥，又EGFEE=，EG平面EFHG，FE平面EFHG，所以1BM

⊥平面EFHG.而11ABAB∥，所以1BGM为AB与平面EFHG所成的角，等于45，故C正确；对于D，过点H作11HDBC⊥交11BC于点D，过点D作DNEF⊥，连接HN，易知直三棱柱1EGBNHD−的

底面是直角边长为1的等腰直角三角形，柱高111112BDBC==，则11111122EGBNHDV−==，为四棱锥1HDCFN−的底面是边长为1的正方形，锥高11112HDAB==，则11111133HDCFNV−==，则多面体11EGBFHC的

体积为11115236EGBNHDHDCFNVV−−+=+=.故D错误.故选:AC.11.已知抛物线()21:0Cypxp=和22:2Cypx=的焦点分别为12FF，，动直线l与1C交于()()1122,,,M

xyNxy两点，与2C交于()()3344,,,PxyQxy两点，其中1324,0,0yyyy，，且当l过点2F时，344yy=−，则下列说法中正确的是（）A.1C的方程为24yx=B.已知点32,2A，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹1|的最小值为52C.12341111yyyy+=

+D.若2MPNQ=，则12MFF△与12QFF的面积相等【答案】BCD【解析】【分析】对于A，设:2plxmy=+，联立抛物线2C的方程，结合韦达定理求出p即可判断；对于B，结合抛物线定义、三角形三边关系即可判断

；对于C，设:lxmyt=+，分别联立抛物线方程，结合韦达定理即可判断；对于D，由C选项分析可得31241324yyyyyyyy−−=，结合31242MPyyyyNQ−==−以及韦达定理即可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判

断.【详解】解：当l过点2F时，设:2plxmy=+，联立222pxmyypx=+=，可得2220ypmyp−−=，222440pmp=+，故2344yyp=−=−，解得2p=，则2212:2,:4CyxCyx==，故A错

误；过点,MA向1C的准线引垂线，垂足分别为,BC，点A到1C的准线的距离52d=，由抛物线定义可知152MAMFMAMBABACd+=+==，等号成立当且仅当点M为AC与抛物线的交点，故B正确；设:lxmyt=+，由22xmytyx=+=，可得2220ymyt−−=，21121248

0,2,2mtyymyyt=++==−，由24xmytyx=+=，可得2440ymyt−−=，223434Δ16160,4,4mtyymyyt=++==−，故12121211yymyyyyt++==−，同理可得3411myyt+=−，故C正确；312412341324

1111yyyyyyyyyyyy−−+=+=，故31241324yyyyyyyy−−=，注意到31242MPyyyyNQ−==−，可得1213412244414222tyyyyytyyyyy−===−，所以14||||yy=，从而

12MFF△与12QFF的面积相等，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是M为AC与抛物线的交点求得最小，判断D选项的关键是得出14||||yy=，由此即可顺利得解.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.曲线()()ln21fxx

=−在点(1,𝑓(1))处的切线方程为______.【答案】220xy−−=【解析】【分析】求出𝑓(1)=0，求导，根据导数几何意义得到切线斜率，由点斜式求出切线方程.【详解】因为()()ln21fxx=−，则𝑓(1)=0，所以切点为(1,

0)，且()221fxx=−，则()12kf==，由直线的点斜式可得()21yx=−，化简可得220xy−−=，所以切线方程为220xy−−=.故答案为：220xy−−=13.已知数列nb的通项公式为()21cosπnbnn=−，则20251nn

b==__________.【答案】2025−【解析】【分析】通过对n进行赋值，发现规律*2122,Nkkbbk−+=,按照分组求和即得.【详解】因()21cosπnbnn=−，可得12cosπ1,3cos2π=3,bb==−=则

122bb+=，又345cos3π5,7cos4π=7,bb==−=则342bb+=，…,21(43)cos(21)π(43),kbkkk−=−−=−−2(41)cos2π=41,kbkkk=−−则212(43)4

12kkbbkk−+=−−+−=.故()()()202512342023202420251nnbbbbbbbb==+++++++()20242220251cos2025π2024404920252=+−=−=−故答案为：2025−.14.将2个

“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成__________个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为__________.【答案】①.60②.3333330【解析】【分析】分析可知第一位数只能是

1和2，根据部分平均分组问题结合组合数运算求解；分析可知第一位数为1共有30个自然数，第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法，进而运算求解.【详解】因为要构成自然数，所以第一位数只能是1和2，

故共有15252222AA60AA=个自然数；第一位数为1共有30个自然数，第二位排0，1，2，分别有4422A12A=、442222A6AA=、4422A12A=种排法；根据对称性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法；所以

，所有第一位数为1的自然数之和为()()543210130100121621210101010103333330+++++++=.故答案为：60；3333330.【点睛】关键点点睛：根据对称性可知：第2位至第6

位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法，进而可得结果.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin

sinsinABCbcab−=++.（1）求A；（2）若4BDCD=，3AC=，32ADCS=，求BC.【答案】（1）2π3A=（2）21BC=.【解析】【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得222abcbc=++，利用余弦定理可求得1cos2A=−，即可求

得A；（2）由4BDCD=，可得3332ABCADCSS==，利用三角形的面积公式可求得23AB=，再利用余弦定理即可求得BC.【小问1详解】在ABCV中，由sinsinsinABCbcab−=++及正弦定理得abcbcab−=++，整理得222abcbc=++，又

由余弦定理得，2221cos22bcaAbc+−==−，因为0πA，所以2π3A=.【小问2详解】由4BDCD=，32ADCS=，得3332ABCADCSS==，即11333sin32222ACABBACAB==，解得23A

B=，由余弦定理可得，2222cosBCABACABACBAC=+−11232233212=+−−=，则21BC=.16.已知函数()1elnxfxx−=−.（1）证明：()1

fx；（2）设函数()()()0Fxfxaxa=−，证明：函数()Fx有唯一的极值点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导分析单调性，判断极值即可；（2）构造函数()e1xhxx=−−，求导分析单调性，从而得到()10Fa+，(

)10F即可；【小问1详解】因为()1elnxfxx−=−，定义域为(0,+∞)，所以()11exfxx−=−，由于函数1exy−=，1yx=−在(0,+∞)上均为单调递增函数，所以()11exfxx−=−

在(0,+∞)上单调递增，因为()10f=，所以𝑥∈(0,1)，𝑓′(𝑥)<0，𝑥∈(1,+∞)，𝑓′(𝑥)>0，所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以()fx在1x=处取得极小值，也是最小值，所以()()11fxf

=.【小问2详解】因为0a，()()1elnxFxfxaxxax−=−=−−的定义域为(0,+∞)，所以()11exFxax−−=−.设()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−，当0x时，ℎ

′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)单调递增，所以()()00hxh=，所以e10xx−−，即e1xx+，所以()1111e110111aFaaaaaaa+=−−+−−=−+++.又()10Fa=−，且()Fx在(0,

+∞)上单调递增，所以存在唯一的()01,1xa+，使得()00Fx=，即0101e0xxa−−−=，当𝑥∈(0,𝑥0)时，()00Fx，𝐹(𝑥)单调递减；当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，()00Fx，所以𝐹(𝑥)单调递增，所以函数𝐹(𝑥)有唯一的

极值点.17.如图，在直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAD⊥，224CDABAD===，点E是CD的中点，将CBE△沿BE对折至PBE△，使得4PA=，点F是PD的中点.（1）求证：PAEF⊥；（2）求二面角A

BFE−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）28519【解析】【分析】（1）根据几何关系，得到ADPE⊥，ADDE⊥，利用线面垂直的判定得AD⊥平面PDE，从而得到ADEF⊥，根据题设有EFPD⊥，从而可证得⊥EF平面PAD，再利用线面垂直的性质，即可证明结果；（

2）根据题设建立空间直角坐标系，求出平面ABF和平面BEF的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解.【小问1详解】因为//ABCD，2CDAB=，点E是CD的中点，所以//ABDE，ABDE=，所以四边形ABED是平行四边形，又ABAD⊥，ABAD=，所以四边形A

BED是正方形，所以//BEAD，且BEDE⊥，所以ADDE⊥，且ADCE⊥，即ADPE⊥，因为DEPEE=I，DE，PE平面PDE，所以AD⊥平面PDE，因为EF平面PDE，所以ADEF⊥，因为F是PD的中点，PEED=，所以EFPD⊥

，因为ADPDD=I，AD，PD平面PAD，所以⊥EF平面PAD，因为PA平面PAD，所以EFPA⊥.【小问2详解】由（1）知，AD⊥平面PDE，因为PD平面PDE，所以ADPD⊥.因为4PA=，2AD=.所以2216423PDPAAD=−=−=.又122PEDE

CD===，由余弦定理得22244121cos282PEDEPDPEDPEDE+−+−===−，因为0πPED，所以2π3PED=，所以π6PDC=，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，作Dz⊥平面ABCD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，则()0,0,0D，𝐴(2,0,0)，()2,2,0B，()0,2,0E，()0,3,3P.因为F是PD的中点，所以330,,22F.所以()0,3,3DP=，332,,22AF=−

，()0,2,0AB=，由（1）知EFPD⊥，BEPD⊥，又BEEFE=，,BEEF面BEF所以PD⊥平面BEF，所以()0,3,3DP=为平面BEF的法向量，设平面ABF一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则00nABnAF==

，所以20332022yxyz=−++=，取3x=，则0y=，4z=，所以()3,0,4n=，所以432cos,192319nDPnDPnDP===，设二面角ABFE−−的平面角为，的

所以24285sin1cos11919nDP=−=−=，所以二面角ABFE−−的正弦值为28519.18.电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某

公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占35，得到以下的2－2列联表：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100女性市民合计500（1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率0.001

=的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；（3）用频率估计概率，在

所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++

.参考数据：0.1000.0500.0250.0100.0050.001ax2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，能（2）1011（3）分布列见解析，45【解析】【分析】（1）由题意直接确定列联表，计算2，对比数据即可判断；（2）由条件概率计

算公式即可求解；（3）记“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件()0,1,2kDk=，求得()kPD，再由条件概率乘法公式和互斥事件加法公式计算随机变量取每一个值对应的概率，即可求解；【小问1详解】被调查的女性市民人数为500200100200−−=，其

中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为32001205=.偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为20012080−=，所以2×2列联表为：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100300女性

市民80120200合计280220500零假设0H：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，根据列联表中的数据可以求得()()()()()()2225002001208010034.632300200280220na

dbcabcdacbd−−==++++，由于234.63210.828，根据小概率值0.001=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关.【小问2详解】因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为2005802=，所

以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B，则()115227CC10C21PAB==，()11252227CC+C11C21PA=

=，所以()()()102110211111PABPBAPA=−=.【小问3详解】因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为30032002=，所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人.根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车

的概率为23，偏好铅酸电池电动车的概率为13，从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2.“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件()0,1,2kDk=，则()()2

3225CC0,1,2CkkkPDk−==.“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件()0,1,2mEm=，则()001PED=，()0113PED=，()2021139PE

D==，()1123PED=，()1122214C339PED==，()2222439PED==，所以()()()()()()()0001012020PXPDPEDPDPEDPDPED==++02112

0323232222555CCCCCC1111CC3C93=++=，()()()()()112032321112122255CCCC2481C3C915PXPDPEDPDPED==+=+=，()()()203222225

CC422C915PXPDPED====，故X的分布列如下：X012P13815215()1824012315155EX=++=.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸

：步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的

轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，4AB=，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线WA交于点E，E的轨迹为曲线T.（1）以AB所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；（2）设

曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆221xy+=交于M，N两点（点M在点N的左侧），记EM，HN的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值；（3）F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的

点(),0Qt，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有0QCQD=成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213yx−=（2）证明见解析（3）存在，()1,0−【解析】【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以AB为

x轴的正方向，以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，根据双曲线定义求出方程即可；（2）直曲联立，借助韦达定理，运用斜率公式计算求解即可；（3）直曲联立，借助韦达定理和数量积坐标运算公式计算即可.【小问1详解】以AB所在直线为x轴，以AB为x轴的正方向

，以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则()2,0A−，()2,0B，由折纸方法知，EBEW=，则24EBEAEWEAWAAB−=−===，根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程()

222210,0xyabab−=，则1a=，222cab=+=，所以21a=，23b=.故曲线T的方程为2213yx−=.【小问2详解】易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为()0ykxmk=+，且()11,Mxy，()22,Nxy，联立方程组2213ykxmyx=+−=，整理得(

)()2223230kxkmxm−−−+=，由()()2222Δ44330kmkm=+−+=，可得()221230mk+−=，可得223mk=−，联立方程组221ykxmxy=++=，整理得()2221210kxkmxm+++−=，()()()222222Δ4411410kmkmkm=−+−

=−+，则12221kmxxk+=−+，212211mxxk−=+，因为1111ykx=+，2221ykx=−，所以()121212121212111yyyykkxxxxxx==+−−−−，又因为()()()221

2121212yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++，代入可得21221mkyyk−=+，由于223mk=−，则12231yyk−=+，由于点M在点N的左侧，故120xx−，为所以()2121212124xxxxxxxx−=−−=−+−，代入可得1

2241xxk−=−+，又因为212241kxxk−=+，则()212122121222313441111yykkkkxxxxkk−+===−−−−+−++，所以12kk为定值，定值为3.小问3详解】假设存在点(),0

Qt，使0QCQD=恒成立，由已知得()2,0F，当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为()2ykx=−，()33,Cxy，()44,Dxy，联立()22132yxykx−==−，得()2222

34430kxkxk−−++=，()()()22222Δ4434336360kkkk=−−−+=+，且3k，则234243kxxk+=−，2342433kxxk+=−，()33,QCxty=−，()44,QDxty=−，则()()3434QCQDxtxtyy=−−+()()2222343

4343424xxtxxtkxxkxxk=−+++−++()222245333ttktk−−−+=−，若0QCQD=恒成立，则()22245330ttkt−−−+=恒成立，【即22450330ttt−−=

−+=，解得1t=−，当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为2x=，此时2413y−=，解得3=y，不妨取()2,3C，()2,3D−，则()2,3QCt=−，()2,3QDt=−−，又()2290QCQDt=−−=，解得1t=−或5

t=，综上所述，1t=−，所以存在点()1,0Q−，使0QCQD=恒成立.【点睛】关键点点睛：第二，三问，设直线、交点坐标，并联立双曲线方程，借助韦达定理，结合斜率公式和向量数量积公式计算即可得到定值.