【文档说明】广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(25)页，1.147 MB，由小赞的店铺上传

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揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序

在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()1i3iz−=+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.为了得到πsin53yx=+图象，只要将函数sin5yx=的图象（）A.向左平移π15个单位长度B.

向右平移π15个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度3.设,,是三个不同平面，且,lm==，则∥是lm的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.曲线()2e3xfxx=−在点()()0,0f处的切线方程

为（）A.10xy++=B.10xy+−=C.10xy−−=D.10xy−+=5.若直线:l260xym−+−=平分圆:C22240xmxy+++=，则实数m的值为（）A.2−B.2C.3D.2−或3的6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，

依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为（）A.1.5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺7.已知函数()nnfxxxa=++，其中Nn

且2,0na且为常数.若对任意Nn且2n，()nyfx=在1,12内均存在唯一零点，则a的取值范围是（）A.()1,0−B.31,4−−C.32,4−−D.()2,1−−8.已知,,,ABCD为球面上四点，,MN分别是,A

BCD的中点，以MN为直径的球称为,ABCD的“伴随球”.若三棱锥ABCD−的四个顶点均在表面积为100π的球面上，它的两条棱,ABCD的长度分别为8和6，则,ABCD的伴随球的体积的取值范围是（）A.π343π,43B.π343π,46C.π343π,63D.

π343π,66二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()2,3a=−r

，()2,1b=−−，则（）A.()2abb+⊥B.a与b可作为一组基底向量C.a与b夹角的余弦值为6565−D.a在b上的投影向量的坐标为21,3310.已知函数()ππsinsin36fxxx=++−，

则（）A.()fx值域为2,2−B.π12fx−为偶函数的C.π12fx−在π0,2上单调递增D.()fx在π3π,122上有2个零点11.已知函数()2lnxfxx=，下列说法正确的是（）A.()2lnxf

xx=与()2lnxgxx=定义域不同B.()fx的单调递减区间为()e,+C.若()fxa=有三个不同的解，则22eea−D.对任意两个不相等正实数12,xx，若()()12fxfx=，则212exx三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共1

5分.12.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，其中()13,2,cos3abAB==+=，则c=__________.13.已知集合()2|log32Axx=−N，704xBxx−=−，则AB=____

______.14.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为12,,FFP为E上且不与顶点重合的任意一点，I为12PFF△的内心，O为坐标原点，记直线,OPOI的斜率分别为1k，2k，若1232

kk=，则E的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()sin()(sinsin)bcBacAC−=+−.（1）求A；（2）若D为边AB的中点，且1CD=，

求ABC面积的最大值.16.南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：的的对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计10010020

0（1）依据小概率值0.001=的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为3111

,,,4232，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.附：()()()()22(),nadbcnabcdabcdac

bd−==+++++++.0050.010.001x3.8416.63510.82817.如图，在四棱台1111ABCDABCD−中，1DD⊥平面/,/ABCDADBC，ADCD==2，1111BCADDD===，60BCD=.（1）

记平面11AADD与平面11BBCC的交线为l，证明：l⊥平面11BBDD；（2）求平面11AADD与平面11AABB的夹角的余弦值.18.已知抛物线2:2(0)Eypxp=的准线为12x=−，焦点为.,,FABC为E上异于原点且不重合的三点..（1）求

E的方程；（2）若F为ABC的重心，求FAFBFC++的值；（3）过,AB两点分别作E的切线121,,lll与2l相交于点D，若AB4=，求ABD△面积的最大值.19.给定数列na，若首项10a且11a，对任意的*,Nnm，都有nmnmaaa+=，则称数列na为“指

数型数列”.（1）已知数列na为“指数型数列”，若12a=，求23,aa；（2）已知数列na满足()*1111,232nnnnaaaaan++==+N，判断数列11na+是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；

若不是，请说明理由；（3）若数列na是“指数型数列”，且()*123aaaa+=+N，证明：数列na中任意三项都不能构成等差数列.揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.

答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，

不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()1i3iz−=+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象

限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为()1i3iz−=+，所以()()()()23i1i3i33iii12i1i1i1i2z++++++====+−−+，所以复数z在复平面内对

应的点为()1,2，位于第一象限.故选：A2.为了得到πsin53yx=+的图象，只要将函数sin5yx=的图象（）A.向左平移π15个单位长度B.向右平移π15个单位长度C.向右平移π3个单位长度

D.向左平移π3个单位长度【答案】A【解析】【分析】将πsin53yx=+变形为πsin[5()]15x+，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断.【详解】由ππsin(5)sin[5()]315yxx

=+=+可知，将函数sin5yx=的图象向左平移π15个单位长度即得πsin53yx=+的图象.故选：A.3.设,,是三个不同平面，且,lm==，则∥是lm的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【

解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】由于∥，,lm==，由平面平行的性质定理可得：lm，所以∥是lm的充分条件；但当lm，,lm==，并不能推出∥，也有可

能,相交，所以∥是lm的不必要条件；故选:A.4.曲线()2e3xfxx=−在点()()0,0f处的切线方程为（）A.10xy++=B.10xy+−=C.10xy−−=D.10xy−+=【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得.【详解】因为()

2e3xfxx=−，则()01f=，()e6xfxx=−，所以()01f=，所以曲线()fx在点()()0,0f处的切线方程为1yx−=，即10xy−+=.故选：D5.若直线:l260xym−+−=平分圆:C22240xmxy+++=，则实数m的值为（）A.2−B.2C.3D.2−或3【答案

】C【解析】【分析】列出22240xmxy+++=所满足的条件，由直线l过圆心求得m的值.【详解】22240xmxy+++=可化为()2224xmym++=−，则240m−，又直线:l260xym−+−=平分圆22240xmxy+++=，则直线l经过圆心(,0)m−.代入直线:l得260mm−

−=，解得3m=或2m=−.因为2m=−不满足240m−，故3m=故选：C.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺

，则小满日影长为（）A.1.5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项公式及前n项和得到方程组，求出1a，d，再求出11a即可.【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、

立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为1a，2a，，12a，前n项和(12)nSn，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，得2461813931.5878802aaaadSad++=+==+=，解得113.5a=，1d=−，所以小满日影长为

1111013.5103.5aad=+=−=（尺）．故选：B7.已知函数()nnfxxxa=++，其中Nn且2,0na且为常数.若对任意Nn且2n，()nyfx=在1,12内均存在唯一零点，则a的取值范围是（）A.()

1,0−B.31,4−−C.32,4−−D.()2,1−−【答案】C【解析】【分析】先求导函数，可以判断函数()nnfxxxa=++在()0,+上单调递增，进而转化为()1102nnff，再解不等式得112,22na−−−

对一切2n成立，进而得范围.【详解】()11nnfxnx−=+，当0x时，()110nnfxnx−=+恒成立，所以函数()nnfxxxa=++()0,+上单调递增，若函数()nyfx=在1,12内均存在唯一零点，只需()1102nnf

f即可，即()()1111110222nnnffaa=++++，因为Nn且2n，11222n−−−，所以112,22na−−−对一切2n成立，因为当2n时，113224n−−

−，当且仅当2n=时等号成立，所以32,4a−−.故选：C．8.已知,,,ABCD为球面上四点，,MN分别是,ABCD的中点，以MN为直径的球称为,ABCD的“伴随球”.若三棱锥ABCD−的四个顶点均在表面积为100π的球面上，它的两条棱,ABCD的长度

分别为8在和6，则,ABCD的伴随球的体积的取值范围是（）A.π343π,43B.π343π,46C.π343π,63D.π343π,66【答案】D【解析】【分析】由已知求出三棱锥A

BCD−的外接球O半径，求出,OMON，进一步求出MN的范围，从而得出答案即可．【详解】设三棱锥ABCD−外接球的半径为R，则24π100πR=，所以球的半径为5R=，则球O的两条弦,ABCD的中点为,MN，则22543OM=−=，22453ON=−=即弦,ABCD分别是以O为球心，半

径为3和4的球的切线，且弦AB在以O为球心，半径为3的球的外部，MN的最大距离为347+=，最小距离为431−=，当,,MON三点共线时，MN分别取最大值7与最小值1，故,ABCD的伴随球半径分别为71,22，当半径为12时，,ABCD的伴

随球的体积为341ππ326=，当半径为72时，,ABCD的伴随球的体积347343ππ326=．∴,ABCD的伴随球的体积的取值范围是π343π,66．故选：D.【点睛】关键点点睛：由三棱锥ABCD−的外接球O半径，求出,OMON是解题

的关键．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()2,3a=−r，()2,1b=−−，则（）A.()2abb+⊥B.a与b可作为

一组基底向量C.a与b夹角的余弦值为6565−D.a在b上投影向量的坐标为21,33【答案】BC【解析】【分析】对A：计算()2abb+即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对

D：借助投影向量定义计算即可得.【详解】因为()2,3a=−r，()2,1b=−−，对于A：()()()22,322,12,5ab+=−+−−=−−，则()()()()222519abb+=−−+−−=，故

A错误；对于B：因为()()2123−−−，所以a与b为不共线的向量，故a与b可作为一组基底向量，故B正确；对于C：()()22311ab=−+−−=−，所以()()()22221165cos65652321,ababab−===−=−+−−+−，故C

正确；对于D：()()22215b=−+−=，所以a在b上的投影向量的坐标为1121,55555abbbbbb−==−=，故D错误.故选：BC10.已知函数()ππsinsin36fxxx=++−，则（）的A.()fx的值域为2

,2−B.π12fx−为偶函数C.π12fx−在π0,2上单调递增D.()fx在π3π,122上有2个零点【答案】ABD【解析】【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数π12fx−

的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数，即可判断选项.【详解】()ππsinsin36fxxx=++−ππ7πsincos2sin3312xxx=+++=+．A．

因为()7π2sin12fxx=+，所以()2,2fx−，故A正确．B．因为()7π2sin12fxx=+，所以ππ2sin2cos122fxxx−=+=，是偶函数，故B正确．C．由选项B可得π2cos

12fxx−=，π0,2x，由余弦函数cosyx=的图象可知，π12fx−在π0,2上单调递减，故C错误．D．令()7π2sin012fxx=+=

，则()7ππZ12xkk+=，所以()7ππ12xkk=−Z．令π7π3ππ12122k−，可得225312k，又Zk，所以1k=或2k=，所以()fx在π3π,122上有2个零点，故D

正确．故选：ABD11.已知函数()2lnxfxx=，下列说法正确的是（）A.()2lnxfxx=与()2lnxgxx=的定义域不同B.()fx的单调递减区间为()e,+C.若()fxa=有三个不同的解，则22eea−D.对任意两个

不相等正实数12,xx，若()()12fxfx=，则212exx【答案】AD【解析】【分析】利用定义域关于原点对称且是奇函数，确定选项A；利用求导和导函数值小于0，解不等式，排除选项B；利用导数研究单调性和自变量趋向于正、负无穷时的极限值来作出简图，通过0a=是不符合题意，

来排除选项C；利用极值点偏移法，构造函数2e()()()Hxhxhx=−并进行求导分析证明，确定选项D．【详解】对于A，由()2lnxfxx=的定义域为0xx，而()2lnxgxx=的定义域为0xx，所以选项A是正确的；对于B，由函数定义域为0xx，因为()222ln

xfxx−=，由()0fx，得到22ln2lnex=，解得ex−或ex，所以()fx的单调递减区间为(),e−−，()e,+，所以选项B是错误；对于C，因为()222lnxfxx−=，由()222ln0xfxx−=，解得eex−且0x

，所以()fx的增区间为区间()e,0−，()0,e，由选项B知，()fx的减区间为(),e−−，()e,+，又22(e),(e)eeff=−=−，当x→−时，()0fx，且()0fx→，当x→+时，()0fx，且()0fx→，当0x且0x→时，()fx→

+，当0x且0x→时，()fx→−，其图象如图所示，由图知，()fxa=有三个不同的解，则22eea−且0a，所以选项C是错误；对于D，由题知()1212122ln2ln()xxfxfxxx===，得到1212lnlnxxxx=，由图，不妨设120exx，设ln()xhxx=

，2e()()()Hxhxhx=−，则222222222ee1ln1ln(1ln)(e)()()()eexxxxHxhxhxxxx−−−−=+=−=，当0ex时，1ln0x−，22e0x−，所以()0Hx，即2e()()()Hxhxhx=−在区间(0,e)上单调递增，又(e

)(e)(e)0Hhh=−=，所以2111e()()()0Hxhxhx=−，得到2121e()()()hxhxhx=，又21ln()xhxx−=，当ex时，()0hx，即ln()xhxx=在区间(e,)+上单调递减，又221ee,exx

，所以221exx，得到212exx，所以选项D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，其中()13,2,cos3abAB==+=，则c=_____

_____.【答案】17【解析】【分析】利用诱导公式求出cosC，再由余弦定理计算可得.【详解】因为()1cos3AB+=，所以()()1coscosπcos3CABAB=−+=−+=−，是由

余弦定理2222coscababC=+−，即222132232173c=+−−=，所以17c=（负值已舍去）.故答案为：1713.已知集合()2|log32Axx=−N，704xBxx−=−，则AB=__________.【答案】5,

6,7【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合A，再解分式不等式求出集合B，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由()2log32x−，即()22log3log4x−，所以034x−，解得37x，所以()2|log32|374

,5,6,7Axxxx=−==NN，由704xx−−，解得47x，所以70|474xBxxxx−==−，所以5,6,7AB=.故答案为：5,6,714.已知椭

圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为12,,FFP为E上且不与顶点重合的任意一点，I为12PFF△的内心，O为坐标原点，记直线,OPOI的斜率分别为1k，2k，若1232kk=，则E的离心率为__

________.【答案】12##0.5【解析】【分析】设()()1100,,,PxyIxy，设圆与12,,PFPFx轴相切于点,,MNT，结合圆的切线长的性质证明12FTPNNFac++=+，结合椭圆性质可得01xex=，由内切圆性质可得01cyyac=

+，由条件确定,ac关系，由此可求离心率.【详解】设()()1100,,,PxyIxy，设圆与12,,PFPFx轴相切于点,,MNT，则1122,,PMPNFMFTFNFT===，又12122PMPNFMFNPFPFa+++=+=

，122FTFTc+=，所以112222PMPNFMFTFNFTac+++++=+，所以12FTPNNFac++=+，即12FTPFac+=+，过点P作直线2axc=的垂线，垂足为H，则()()22200022222222200000202

21aaaxxxPHcccPFcxxxcycxaxcbaa−−−===−+−+−+−，所以2020axPHaccPFcaxa−==−，所以2PFePH=，所以2200aPFexaexc=−=−，∴()101FTxcacaex=+=+−−，∴01xex=，由

三角形面积相等，得()011122222acycy+=，01cyyac=+，1232kk=，000032cyyaccxxa+=，所以32ccaac=+，2ac=，即得12e=.故答案为：12..【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围

)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，结合222bac=−转化为,ac的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于e的方程(不等

式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()sin()(sinsin)bcBacAC−

=+−.（1）求A；（2）若D为边AB的中点，且1CD=，求ABC面积的最大值.【答案】（1）π3A=（2）32【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行角换边，再利用余弦定理即可得到π3A=；（2）转化为求ACDS的最大值，利用余弦定理结合基本不

等式即可得1ACAD，最后根据三角形面积公式即可得到最值.【小问1详解】因为()sin()(sinsin)bcBacAC−=+−，所以由正弦定理可得()()()bcbacac−=+−，即222bbcac−=−，则222bcabc+−=，由余弦定理得2221cos22bca

Abc+−==.又(0,π)A，所以π3A=.【小问2详解】因为D是边AB的中点，即12ADAB=，所以2ABCACDSS=.在ACD中，π1,3CDA==，由余弦定理得2222cosCDACADACADA=+−，即221A

CADACAD=+−，所以2212ACADACADACAD+=+，所以1ACAD，当且仅当1ACAD==时取等号，所以1322sin22ABCACDSSACADA==，当且仅当1ACAD==时取等号，即ABC面积的最大

值为32.16.南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不

喜欢滑雪4065105合计100100200（1）依据小概率值0.001=的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀

的概率分别为3111,,,4232，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.附：()()()()22(),nadbcnabcdabcdacbd

−==+++++++.0.050.010.001x3.8416.63510.828【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联（2）13【解析】【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率

公式计算可得.小问1详解】零假设为0:H游客是否喜欢滑雪与性别无关联，依题意可得()220.00120060654035500012.53110.82810010095105399x−===，所以根据小概率值0.001=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为游客

是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.【小问2详解】令事件()1,2,3,4iAi=分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件B，所以()()()()()()12341234123412341234PBPAAAAP

AAAAPAAAAPAAAAPAAAA=++++311111113111312131111423242324232423242323=++++=，所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是13.17.如图，在四棱台1111ABCDABCD−中，1DD⊥

平面/,/ABCDADBC，ADCD==2，1111BCADDD===，60BCD=.【（1）记平面11AADD与平面11BBCC的交线为l，证明：l⊥平面11BBDD；（2）求平面11AADD与平面11AABB的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】

【分析】（1）首先证明//BC平面11AADD，即可得到//lBC，再证明BC⊥平面11BBDD，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值.【小问1详解】因为//ADBC，AD平面11AAD

D，BC平面11AADD，所以//BC平面11AADD，又BC平面11BBCC，平面11AADD平面11BBCCl=，所以//lBC.因为1DD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以1DDBC⊥，在BCD△中1BC=，2CD=，60BCD=，由余弦定理可得222cosBDBCCDB

CCDBCD=+−2212121232=+−=，所以222CDBCBD=+，所以BCBD⊥，又1DDBDD=，1,DDBD平面11BBDD，所以BC⊥平面11BBDD，所以l⊥平面11BBDD.【小问2详解】因为//ADBC，BC⊥平面11BBDD，所以AD⊥平

面11BBDD，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()2,0,0A，()0,3,0B，()11,0,1A，()2,3,0AB=−，()11,0,1AA=−，设平面11AABB的法向量为(),,nxyz=，则12300nABxynAAxz=−+=

=−+=，令1x=，得1z=，23y=，所以21,,13n=.又()0,3,0DB=是平面11AADD的一个法向量，记平面11AADD与平面11AABB的夹角为，则210cos51033DBnDBn===，所以平面11AADD与平面11AABB的夹角的余弦值

为105.18.已知抛物线2:2(0)Eypxp=的准线为12x=−，焦点为.,,FABC为E上异于原点且不重合的三点.（1）求E的方程；（2）若F为ABC的重心，求FAFBFC++的值；（3）过,AB两点分别作E的切线121,,lll与2l相交于点D，若AB4=，求ABD△面积的

最大值.【答案】（1）22yx=（2）3（3）8【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程即可求解；（2）设112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，由F为ABC的重心，得0FAFBFC++=,即12332xxx+

+=，再根据抛物线的定义即可求解；（3）设直线AB的方程为xmyn=+，1122(,),(,)AxyBxy，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导并根据导数的几何意义求解切线12,ll的斜率，即可得切线方程，从而可得切线12,ll的交点坐标(,)Dnm−，根据三角形面积公式列关系求解即可.

【小问1详解】因为抛物线2:2(0)Eypxp=的准线为12x=−，所以1122pp==，所以抛物线2:2Eyx=.【小问2详解】由（1）可知，焦点1(,0)2F，设112233(,),(,),(,)

AxyBxyCxy，因为F为ABC的重心，所以0FAFBFC++=,所以123111()()()0222xxx−+−+−=，即12332xxx++=.由抛物线的定义的123111||||||()()()3222FAFBFCxxx++=+++++=.【小问3详解】显然直线AB的

斜率不为0，设直线AB的方程为xmyn=+，1122(,),(,)AxyBxy，由22yxxmyn==+，解得2220ymyn--=，所以2480mn=+，即12122,2yymyyn+==−，因为22yx=，则2yx=，所以112yyx==，所以切线1l的

方程为1111111111()2xyxxyxxyyyyyy=−+=−+=+，同理，切线2l的方程为222yxyy=+，联立两直线方程112222yxyyyxyy=+=+，解得121222yyxnyyym==−+==，即(,)Dnm−，则

点D到直线AB的距离22|2|1mndm+=+，由22221212||1()41484ABmyyyymmn=++−=++=，化解得22421mnm+=+，所以222211|2|8||48221(1)1

ABDmnSABdmmm+===+++，当且仅当0m=时取等号，所以ABD△面积的最大值为8.19.给定数列na，若首项10a且11a，对任意的*,Nnm，都有nmnmaaa+=，则称数列na为“指数型数列

”.（1）已知数列na为“指数型数列”，若12a=，求23,aa；（2）已知数列na满足()*1111,232nnnnaaaaan++==+N，判断数列11na+是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若数列na

是“指数型数列”，且()*123aaaa+=+N，证明：数列na中任意三项都不能构成等差数列.【答案】（1）24a=，38a=（2）是，证明见解析（3）证明见解析【解析】分析】（1）直接根据定义代入计算即可；（2）根据“指数型数列"的

定义可做判断，证明时利用递推式推出数列11na+是等比数列，求出113nna+=，再结合定义即可证明；（3）由递推式可得23nnaaa+=+，继而假设数列na中存在三项,,uvwaaa构成等差数列，结合2vuwaaa=+可推出矛盾，即可证明结论.【小问1详解】因为数列

na是“指数型数列”，所以对于任意的,nmNå，都有nmnmaaa+=.因为12a=，所以211224aaa===，312248aaa===.【小问2详解】数列11na+是“指数型数列”.证明:由1123nn

nnaaaa++=+，得1132nnaa+=+，即111131nnaa++=+，所以数列11na+是等比数列，且1113a+=，则11111113333nnnnaa−−+=+==，11111333,13nmnmnmnmnmaaa+++++==+=

，【所以数列11na+是“指数型数列”.【小问3详解】因为数列na是“指数型数列”，故对任意的,nmN，有nmnmaaa+=，则11nnaaa+=，所以1112,23nnnnaa

aaana−+====+，123aaa+=+适合该式.假设数列na中存在三项,,uvwaaa构成等差数列，不妨设uvw，则由2vuwaaa=+，得2222333vuwaaaaaa+++=++++，所以2(3)(2)(3)(2)wvvuwu

wuaaaa−−−−++=+++，当a为偶数且*aN时，2(3)(2)wvvuaa−−++是偶数，而(3)wua−+是奇数，(2)wua−+是偶数，故2(3)(2)(3)(2)wvvuwuwuaaaa−−−−++=+++不能成立；当a为奇数且*aN时，2(3)(2)wvvuaa−−

++是偶数，而(3)wua−+是偶数，(2)wua−+是奇数，故2(3)(2)(3)(2)wvvuwuwuaaaa−−−−++=+++不能成立；所以，对任意的aN，2(3)(2)(3)(2)wvvuwuwuaaaa−−−−++=+++不能成立，即数列na中任意三项都

不能构成等差数列.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据定义得2(3)(2)(3)(2)wvvuwuwuaaaa−−−−++=+++，再对a分奇偶数讨论，根据数论知识得到方程不成立.