【文档说明】【精准解析】河北省鸡泽县第一中学2021届高三上学期第一次月考数学试题.doc，共(18)页，1.237 MB，由小赞的店铺上传

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2021高三第一次月考试题数学一、项选择题:本大题共12小题，每小题5分，共600分.1.已知集合242{60MxxNxxx=−=−−，，则MN=A.{43xx−B.{42xx−−C.{22xx−

D.{23xx【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，42,23MxxNxx=−=−，则22MNxx=−．故

选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.已知复数312zi=−（i为虚数单位），则z的实部为（）A.35-B.35C.15−D.15【答案】B【

解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：33(12)3612(12)(12)55iziiii+===+−−+，z的实部为35．故选：B．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.设

向量()()()1,1,1,3,2,1abc==−=，且()abc−⊥，则=（）A.3B.2C.2−D.3−【答案】A【解析】【分析】由题意得到(1,13)ab−=+−，利用向量垂直的坐标形式得到3=.【详解】由题，得(1,13)ab−=+−，由()−

⊥rrrabc，从而2(1)1(13)0++−=，解得3=.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题.4.在ABC中，若13,3,120ABBCC

===，则AC=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】余弦定理2222?cosABBCACBCACC=+−将各值代入得2340ACAC+−=解得1AC=或4AC=−(舍去)选A.5.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，离心率为

2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A.22144xy−=B.22188xy−=C.22148xy−=D.22184xy−=【答案】B【解析】由题意得224,14

,22188xyabcabc==−===−=−，选B.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为

221(0)mxnymn−=，（2）与22221xyab−=共渐近线的双曲线可设为2222(0)xyab−=，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy−=等，均为待定系数法求标准方程.6.中国有十二生肖，又叫十

二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉

祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有()A.50种B.60种C.70种D.90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答

案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030CC=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选

，∴选法有种1141040CC=，不同的选法共有304070+=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．7.为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该

班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybxa=+．已知101225iix==，1011600iiy==，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此

估计其身高为（）A.160B.163C.166D.170【答案】C【解析】【详解】由已知22.5,160xy==,160422.570,424166ˆ70ay=−==+=，故选C.8.要得到函数()()sin23cos2fxxxxR

=+的图象，可将2sin2yx=的图象向左平移（）A.6个单位B.3个单位C.4个单位D.12个单位【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()yfx=的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.【详解】()sin23cos22sin22

sin236fxxxxx=+=+=+，因此，将2sin2yx=的图象向左平移6可得到函数()yfx=的图象.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.9.已知数列n

a的前n项和为nS，且21nnSa=−，则66Sa=（）A.6332B.3116C.12364D.127128【答案】A【解析】由题意得，111121,1,nnnaaaaSS−=−==−，则21nnS=−，即666332Sa=，故选A.10.现有四个函数

：①sinyxx=；②cosyxx=；③cosyxx=；④2xyx=的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①【答案】A【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的

符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sinyxx=为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；②cosyxx=为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2上的值为正数，在,2ππ上的值为负数，故第三个图象满足

；③cosyxx=为奇函数，当0x时，()0fx，故第四个图象满足；④2xyx=，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A．【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．11.

设函数()21,25,2xxfxxx−=−+„，若互不相等的实数,,abc满足()()()fafbfc==，则222abc++的取值范围是（）A.()16,32B.()18,34C.()17,35D.()6,7【答案】B【解析】【分析】画出函数()fx的图象，不妨令abc，则

222ab+=．结合图象可得45c，从而可得结果．【详解】画出函数()fx的图象如图所示．不妨令abc，则1221ab−=−，则222ab+=．结合图象可得45c，故16232c．∴1822234abc++．选B．【点睛】

数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图

象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．12.已知a为常数，函数()(ln)fxxxax=−有两个极值点1x，2x（12xx），则（）A.1()0fx，21()2fx−B.1()0

fx，2()12fx−C.1()0fx，21()2fx−D.1()0fx，2()12fx−【答案】C【解析】因为()ln12,(0)fxxax=+−，令()0fx¢=，由题意可得ln21=−xax有两个解12,xx，即函数()ln12gxxa=+−有且只

有两个零点，即()gx在(0,)+上的唯一极值不等于0，又由()1122axgxaxx=−=−，①当0a时，()()0,gxfx单调递增，因此()()gxfx=至多有一个零点，不符合题意；②当0a时，令()0gx¢=，解得12xa=

，因为1(0,)2xa，()0gx¢>，函数()gx单调递增；1(,)2xa+，()0gx¢<，函数()gx单调递减，所以12xa=是函数()gx的极大值点，则1()02ga，即1ln11ln(2)02aa+−=−，所以ln(2)0a，所以021a，即102a，故当102a

时，()0gx=的两个根12,xx，且1212xxa，又()1120ga=−，所以12112xxa，从而可知函数()fx在区间1(0,)x上递减，在区间12(,)xx上递增，在区间2(,)x+上递减，所以1

21()(1)0,()(1)2fxfafxfa=−=−−，故选C．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数的极值的方法，解答中先求出()0fx¢=，由题意可得ln21=−xax有两个解12,xx，转化为函数()ln12gxxa=+−有且只有两个零点是解答的关键．二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.371()xx+的展开式中5x的系数是.（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()xx+展开的通项372141771()()rrrrr

rTCxCxx−−+==，令2145r−=，得4r=，则5x的系数是4735C=.考点：1.二项式定理的展开式应用.14.函数()fx满足(4)()()fxfxxR+=，且在区间(2,2]−上，cos,02,2()1,20,2xxfxxx=+−

则((15))ff的值为____．【答案】22【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()fxfx+=得函数()fx的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22fff=−=−=−+=因此1π2((15)

)()cos.242fff===点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())ffa的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值

，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15.已知()fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx=−+，则曲线()yfx=在点(1,3)−处的切线方程是_

_________．【答案】21yx=−−【解析】试题分析：当0x时，0x−，则()ln3fxxx−=−．又因为()fx为偶函数，所以()()ln3fxfxxx=−=−，所以1()3fxx=−，则切线斜率为(1)2f=−，所以切线方程为32(1)yx+=−−，即21yx=−−．【考点】函

数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx=，则当0x时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()fx为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx=−；若()fx为奇

函数，则函数的解析式为()yfx=−−．16.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=____.【答案】6【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐

标，设出N点坐标，利用中点坐标公式求得M点的坐标，代入抛物线方程并化简，由此计算出FN的值.【详解】依题意可知，抛物线的焦点()2,0F，设()0,Nt，由中点坐标公式得1,2tM，代入抛物线方程得282t

=，即232t=.所以244326FNt=+=+=.故答案为：6.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查中点坐标公式和两点间的距离公式，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{an}满足：a3=7，a5＋a7=26，{an}的前n项和为Sn..（1）求an及Sn；（2）令211nnba=−(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn..【答案】（

1）21nan=+，22nSnn=+；（2）()41nnTn=+.【解析】【分析】（1）由已知等量关系可求出等差数列的首项与公差，进而可求等差数列的通项公式与前n项和公式；（2）将等差数列na通项公式代入已知的等式中得出数列nb的通项公式，可用裂项相消法求数列

nb的前n项和.【详解】（1）在等差数列na中∵357726aaa=+=，∴112721026adad+=+=，解得132ad==，∴()()1131221naandnn=+−=+−=+，()()211132222nnnnnSnadnnn−−=+

=+=+；（2）由（1）得()()221111111414+1211nnbannnnn====−−++−，∴12nnTbbb=+++111111142231nn=−+−++−+11141n=−+()41nn=+【点睛】本题考

查给出等差数列等量关系，求等差数列通项公式和前n项和公式，同时也考查了用裂项相消法求与等差数列相关的数列的前n项和，考查运算求解能力，是基础题.18.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知()cos23cos1ABC−+=.（1

）求角A的大小；（2）若21a=，9bc+=，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）53.【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于cosA的二次方程，由cosA的取值范围可求得cosA的值，结合角A

的取值范围可求得角A的值；（2）利用余弦定理可求得bc的值，进而利用三角形的面积公式可求得ABC的面积.【详解】（1）在ABC中，()()coscoscosBCAA+=−=−，则由()cos23cos1ABC−+=，得22cos3cos20AA+−=，即()()2cos1cos20AA−+=

，()0,A，可得1cos1A−，所以，1cos2A=，因此，3A=；（2）由余弦定理，得()2222222cos33abcbcbcbcbcbc=+−=+−=+−，即29321bc−=，解得20bc=，因此，ABC的面积为113sin20

53222ABCSbcA===△.【点睛】本题考查利用诱导公式、二倍角的余弦公式求三角形的内角，同时也考查了利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19.某市一所高中为备战即

将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗

赛后称为一个轮次．按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为12，23，13，12.（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一个轮次

对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）16种；（2）见解析，()2Ex=【解析】【分析】（1）每个同名次的对抗有2种结果，共有4个名次的对抗，所以有42种结果；（2）由条件可知0,1,2,3,4X=共5种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望.【详解】（1）由于甲、乙两

队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，所以一共有4216=（种）（2）X的可能取值分别为4，3，2，1，0，则121121(4)23323618PX====1211111112212119

1(3)233223322332332364PX==++==；1111112112211221121111(2)2332233223322332233223PX==++++

+11147323618==；11211111111212191(1)233223322223332364PX==+++==；112121(0)23323618PX=

===X的分布列为X43210P118147181411829149272()432102363636363636Ex=++++==.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布列中的概率时，需分类准确，不要

漏掉某一类.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=DC=AP=2，AB=1，BC=5.（1）证明:AB⊥平面PAD；（2）若E为棱PC上一点，满足BE⊥AC，求二面角E-AB-P的余弦值.【答案】（1）证明见

解析；（2）31010.【解析】【分析】（1）分别证明ABPA⊥和ABAD⊥即可；（2）以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法可求解.【详解】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，取CD中点F，连接

BF，∵AB//DF且AB=DF=1，∴四边形ABFD是平行四边形，则BF=AD=2，∵BF2+CF2=22+12=5=BC2，∴BF⊥CF，∴四边形ABFD是矩形，∴AB⊥AD，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD；（2）由（1）及已知得AB，AD，AP两两垂直，以AB，AD，

AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，∴CP=(-2，-2，2)，AC=(2，2，0)由E点在棱PC上，设CE=λCP=(-2λ，-2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则E(2-2λ，2-2λ，2λ).

故BE=BC+CE=(1-2λ，2-2λ，2λ)，由BE⊥AC，得BEAC=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0，解得λ=34，即BE=113222，，−，设平面ABE的法向量为n=(a，b，c)，由·0·0nABnB

E==，得01130222aabc=−++=，令c=1，则n=(0，-3，1)，取平面ABP的法向量i=(0，1，0)，设二面角E-AB-P的平面角为α，则3310cos1019inib−===−，由图知二面角E-AB-P

为锐二面角，故二面角E-AB-P的余弦值为31010.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及二面角的求法，属于中档题.21.已知离心率为223的椭圆()22211xyaa+=，与直线l交于,PQ两点，记直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k.(1)求椭圆方程;

(2)若1219kk=−，则三角形OPQ的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.【答案】（1）2219xy+=；（2）是定值且为32，详见解析.【解析】【分析】（1）根据题设可得关于,,abc的方程组，解出,,abc后可得椭圆的标准方程.（2）当直线PQ的斜

率存在时，设其方程为ykxm=+,联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简可得121219yyxx=−可得22921km=−，再利用韦达定理把面积表示成关于,km的代数式，利用前者化简可得面积为定值.注意斜率不存在时

的讨论.【详解】(1)由题意可知2221223bceaabc====+，解得3,22ac==，所以椭圆方程为2219xy+=.(2)设()()1122,,,PxyQxy，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为ykxm=+,联立椭圆

方程得()2229118990kxkmxm+++−=，则21212221899,9191kmmxxxxkk−−+==++，点O到直线的距离21mdk=+，所以222213129191POQmmSPQdkk==−++，由()2212121212121219kxxkmxxmyy

kkxxxx+++===−，化简得222222222991891kmkkmkmmm−−++=−，整理得到22921km=−，入上式得32POQS=.若直线斜率不存在易算得32POQS=.综上得，三角形POQ的面积是定值32.【点睛】求椭

圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵

坐标的关系式，该关系中含有1212,xxxx+或1212,yyyy+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.22.已知函数1()lnfxxaxx=−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：()()12122fx

fxaxx−−−．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()fx存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2

a，令'()0fx=，得到两个极值点12,xx是方程210xax−+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()fx的定义域为()0,+，()222111axaxfxxxx−+=−−+−=.（i）若2a，则()0fx，当且仅当2a

=，1x=时()0fx=，所以()fx在()0,+单调递减.（ii）若2a，令()0fx=得，242aax−−=或242aax+−=.当22440,,22aaaax−−+−+时，()0fx

；当2244,22aaaax−−+−时，()0fx.所以()fx在22440,,,22aaaa−−+−+单调递减，在2244,22aaaa−−+−单调递增.（2）由（1）知，()fx存在两个极值点当且仅当2a.由

于()fx的两个极值点12,xx满足210xax−+=，所以121xx=，不妨设12xx，则21x.由于()()12121221212121222lnlnlnln2ln11221fxfxxxxxxaaaxxxxxxxxxx−−−−=−−+=−+=−+−−−−，所以()(

)12122fxfxaxx−−−等价于22212ln0xxx−+.设函数()12lngxxxx=−+，由（1）知，()gx在()0,+单调递减，又()10g=，从而当()1,x+时，()0gx.所以2221

2ln0xxx−+，即()()12122fxfxaxx−−−.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数

的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.