【文档说明】2021人教B版数学必修第三册模块综合测评1 .docx，共(14)页，155.175 KB，由小赞的店铺上传

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模块综合测评(一)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m

≠0)，则2sinα＋cosα的值是()A．1或－1B．25或－25C．1或－25D．－1或25B[当m>0时，2sinα＋cosα＝2×35＋－45＝25；当m<0时，2sinα＋cosα＝2×－35＋45＝－25.]2．已知向量a＝(co

s75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为()A．12B．1C．2D．3B[如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝OA→，b＝OB→，则|a－b|＝|BA→|且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因|a|＝|b|＝1，则△AOB为

正三角形，从而|BA→|＝|a－b|＝1.]3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图像如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图像，可将f(x)的图像()A．向右平移π6个单位B．向右平移π12个

单位C．向左平移π12个单位D．向左平移π6个单位A[因为f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，函数图像过点7π12，－1，所以－1＝sin7π6＋φ⇒φ＝π3，因此函数f(x)＝sin2x＋π3的图像向右平移π6个单位得到函数g

(x)＝sin2x的图像，故选A．]4．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数D[f(x)＝(1＋cos2x)1－cos2x2＝12(1－cos22

x)＝12－12×1＋cos4x2＝14－14cos4x，所以T＝2π4＝π2，f(－x)＝f(x)，故选D．]5．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼

成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ－cos2θ的值等于()A．1B．－2425C．725D．－725D[依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长

为cosθ－sinθ，因小正方形的面积是125，即(cosθ－sinθ)2＝125，得cosθ＝45，sinθ＝35.即sin2θ－cos2θ＝－725.]6．已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夹角为π4，如图，若AB→＝5p＋2q，AC

→＝p－3q，D为BC的中点，则|AD→|为()A．152B．152C．7D．18A[因为AD→＝12(AC→＋AB→)＝12(6p－q)，所以|AD→|＝|AD→|2＝12(6p－q)2＝1236p2－12p·q＋q2＝1236×(22

)2－12×22×3×cosπ4＋32＝152.]7．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像()A．关于点π12，0对称B．关于点π6，0对称C．关于直线x＝π12对称D．关于直线x＝π3对称C[因为T

＝2πω＝π，所以ω＝2，于是f(x)＝sin2x＋π3，因为f(x)在对称轴上取到最值，所以fπ12＝sin2×π12＋π3＝1≠0，A不对；fπ6＝sin2×π6＋π3≠0，B不对；又因为fπ12＝sin2

×π12＋π3＝1，C符合题意；fπ3＝sin2×π3＋π3≠±1，D不对．]8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最

小值是()A．2B．0C．－1D．－2D[由平行四边形法则得PA→＋PB→＝2PO→，故(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，又|PC→|＝2－|PO→|，且PO→，PC→反向，设|PO→|＝t(0≤t≤

2)，则(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，(PA→＋PB→)·PC→有最小值，最小值为－2.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四

个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，则|a－b|可以为()A．0B．1C．2D．3BD[由a＝λb可知：a

∥b，即a与b夹角为0或π，|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|·cos0＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cosπ＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|＝1＋4＋4＝9，所以|a－b|＝1或3.]1

0．下列选项中，值为14的是()A．cos72°cos36°B．sinπ12sin5π12C．1sin50°＋3cos50°D．13－23cos215°AB[对于A，cos36°cos72°＝2sin36°cos36°cos72°2sin3

6°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14，故A正确；对于B，sinπ12sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12·2sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14，故B正确；对于C，原式＝cos50°＋3sin50°

sin50°cos50°＝232sin50°＋12cos50°12sin100°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4，故C错误；对于D，13－23cos215°＝－13(2cos215°－1)＝－13cos3

0°＝－36，故D错误．]11．△ABC中，AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，在下列命题中，是真命题的有()A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形D．若c·a＋

c2＝0，则△ABC为直角三角形BCD[如图所示△ABC中，AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；②若a·b＝0，则BC→⊥CA→，△ABC为直角三角形，B正确；③若a

·b＝c·b，b·(a－c)＝0，CA→·(BC→－AB→)＝0，CA→·(BC→＋BA→)＝0，取AC中点D，则CA→·2BD→＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；④因为c·a＋c2

＝AB→·BC→＋AB→2＝AB→·(BC→＋AB→)＝0，所以AB→·AC→＝0，所以AB→⊥AC→，即D正确．故选BCD．]12．对于函数f(x)＝12cos2x－π2，给出下列结论，正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在π6，π2上的值

域是34，12C．函数f(x)在π4，3π4上是减函数D．函数f(x)的图像关于点－π2，0对称CD[由诱导公式可得：f(x)＝12cos2x－π2＝12sin2x，所以T＝2πω＝2π2＝π≠2π，A错误；若x∈

π6，π2，则2x∈π3，π，12sin2x∈0，12，故函数f(x)在π6，π2上的值域是0，12，B错误；令π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ(k∈Z)，即π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ(k∈Z)，函数f(x)在

π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)上单调递减，当k＝0时，函数f(x)在π4，3π4上是减函数，所以C正确；令2x＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2(k∈Z)，函数f(x)＝12sin2x的对称中心为

kπ2，0(k∈Z)，当k＝－1时，函数f(x)的图像关于点－π2，0对称，故D正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ(θ为锐角)，且a∥b，则ta

nθ＝________.1[因为a∥b，所以(1－sinθ)(1＋sinθ)－12＝0.所以cos2θ＝12，因为θ为锐角，所以cosθ＝22，所以θ＝π4，所以tanθ＝1.]14．已知A(1,2)，B(

3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB→在CD→上的投影的数量为________．2105[AB→＝(2,2)，CD→＝(－1,3)．所以AB→在CD→上的投影的数量为|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|CD→|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋3

2＝410＝2105.]15．函数y＝cos2x－4sinx的最小值为________；最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)－44[y＝cos2x－4sinx＝1－sin2x－4sinx＝

－(sinx＋2)2＋5，因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝－1时，ymax＝－1＋5＝4；当sinx＝1时，ymin＝－9＋5＝－4.]16．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0<ω<π2，

|φ|<π2的部分图像如图所示，A(0，3)，C(2,0)，并且AB∥x轴，则cos∠ACB的值为________．5714[由已知f(0)＝2sinφ＝3，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sinωx＋π3，由f(2)＝

0，即2sin2ω＋π3＝0，所以2ω＋π3＝2kπ＋π，k∈Z，解得ω＝kπ＋π3，k∈Z，而0<ω<π2，所以ω＝π3，所以f(x)＝2sinπ3x＋π3，令f(x)＝3，得π3x＋π3＝2kπ＋π3或π3x＋π3＝2kπ＋2π3，

k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，由题干图可知，B(1，3)．所以CA→＝(－2，3)，CB→＝(－1，3)，所以|CA→|＝7，|CB→|＝2，所以cos∠ACB＝CA→·CB→|CA→||CB→|＝527＝57

14.]四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a＝sinx，32，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求2c

os2x－sin2x的值；(2)求f(x)＝(a＋b)·b在－π2，0上的最大值．[解](1)因为a∥b，所以32cosx＋sinx＝0，所以tanx＝－32，2cos2x－sin2x＝2cos2x－2s

inxcosxsin2x＋cos2x＝2－2tanx1＋tan2x＝2013.(2)f(x)＝(a＋b)·b＝22sin2x＋π4.因为－π2≤x≤0，所以－3π4≤2x＋π4≤π4，所以－1≤sin2

x＋π4≤22，所以－22≤f(x)≤12，所以f(x)max＝12.18．(本小题满分12分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若ta

nαtanβ＝16，求证：a∥B．[解](1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)

＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝(sinβ＋cosβ)2＋(4cosβ－4sinβ)2＝17－15sin2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明：由tanαtanβ＝

16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a∥B．19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5c

os(θ－φ)＝35cosφ，0<φ<π2，求cosφ的值．[解](1)因为a·b＝0，所以a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，所

以sin2θ＝45.又θ∈0，π2，所以sinθ＝255，cosθ＝55.(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，所以cosφ＝sinφ.所以cos2

φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝12.又因为0<φ<π2，所以cosφ＝22.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图像上

各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间0，π16上的最小值．[解](1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos

2ωx2＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin2ωx＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，所以g(x)＝f(2x)＝22sin4x＋π4＋12.当0≤x≤

π16时，π4≤4x＋π4≤π2，所以22≤sin4x＋π4≤1.因此1≤g(x)≤1＋22.故g(x)在区间0，π16上的最小值为1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4

＋xsinπ4－x.(1)求f－1112π的值；(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．[解](1)f(x)＝(1＋cos2x)2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝co

s22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，所以f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.(2)g(x

)＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.因为x∈0，π4，所以2x＋π4∈π4，3π4.所以当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.22．(本小题满分12分)已知向量

a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sinβ＝－513，求sinα.[解](1)因为|a|＝1，|b|＝1，|a－b|2＝|a|2

－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1＋1－2cos(α－β)，|a－b|2＝2552＝45，所以2－2cos(α－β)＝45，得cos(α－β)＝35.(2)因为－π2<β<0<α<π2

，所以0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sinβ＝－513得cosβ＝1213.所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×－513

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