【文档说明】上海市徐汇区2022届高三下学期三模数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.363 MB，由小赞的店铺上传

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徐汇区高三线下复课数学自评试卷2022.06一､填空题1.已知复数11iz=+，2iz=（其中i为虚数单位），则12zz=___________.【答案】1i−+##i1−【解析】【分析】利用复数的乘法化简可得结果.【详解】由已知可得()121ii1izz

=+=−+.故答案为：1i−+.2.已知集合14Amm=，3,Byyxx==R，则AB=___________.【答案】14mm【解析】【分析】求出集合B，利用交集的定义可求得结果.【详解】因为3,B

yyxx===RR，因此，14ABmm=.故答案为：14mm.3.设等差数列na的前n项和为nS，若28515aaa+=−，则9S等于___________.【答案】45【解析】【分析】根据等差数列的性质有2852aaa+=，再结

合条件28515aaa+=−，求得5a，最后由()19595992922aaaSa+===求解.【详解】由等差数列的性质得：2852aaa+=，又因为28515aaa+=−，所以55152=−aa，解得55a

=，所以()1959599294522+====aaaSa.故答案为：45【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.4.函数()yfx=的反函数为2log1yx=+，则()3f=___________.【答案】4【解析】【分析】设()3fa=，利用

反函数的性质求出a的值，即可得解.【详解】设()3fa=，则点(),3a在函数2log1yx=+的图象上，所以，2log13a+=，解得4a=，因此，()34f=.故答案为：4.5.已知4cos25−=−，则cos2=

___________.【答案】725−##0.28−【解析】【分析】利用诱导公式求出sin的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】4cossin25−==−，因此，27cos212sin

25=−=−.故答案为：725−.6.已知多项式()()34432123411xxxaxaxaxa−++=++++，则3a=___________.【答案】7【解析】【分析】写出展开式通项，令x的指数为1，求出参数的值，代入通项后即可求得3a的值.【详解】因

为()31x−的展开式通项为()313C1rrrrAx−+=−，()41+x的展开式通项为414CkkkBx−+=，由3141rk−=−=，可得23rk==，所以，()223334C1C7a=−+=故答案为：7.7.《九章算术》是我国古代内容

极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点F是抛物线22ypx=的焦点，直线l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若RtABC

的“勾”3AB=，“股”33CB=，则抛物线方程为___________.【答案】23yx=【解析】【分析】由3,33,90ABCBABC===，得到6,60ACCAB==，然后由抛物线的定义得到ABF△是等边三角形求解.【详解】解：当抛物线开口向右时

，如图所示：因为3,33,90ABCBABC===，所以226,60ACABCBCAB=+==，由抛物线的定义得ABAF=，所以ABF△是等边三角形，所以113322222pppBF−−====，所以抛物线的方程是23yx=，同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：2

3yx=−，综上：抛物线的方程为：23yx=，故答案为：23yx=8.某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员.现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲､乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取

的队员中恰有一名女队员的概率为___________.【答案】815【解析】【分析】利用分层抽样，求出从甲组中抽取2名队员，从乙组抽取2名队员，得到一共的选法，再求出乙组抽取的队员中恰有一名女队员的选法，利用古典概型概率公式求出答案.【详解】利用分层抽样，从甲组中抽取2名

队员，从乙组抽取2名队员，则共有221010CC种选法，从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有2111046CCC种选法，所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为2111046221010CCC8CC15p==.故答案为：8159.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，

圆锥顶点到直线AB的距离为3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】22【解析】【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.【详解】设圆锥的顶点为P，底面圆圆

心为点O，取线段AB的中点E，连接OE、PE、OA、OB，因为PAPB=，OAOB=，则OEAB⊥，PEAB⊥，故3PE=，因为PO⊥平面OAB，OE平面OAB，POOE⊥，所以，OE为直线PO、AB的公垂线，故1OE=，因

为112AEAB==，222OAOEAE=+=，222PAPEAE=+=，所以，圆锥PO的底面圆半径为2，母线长为2，因此，该圆锥的侧面积为2222=.故答案为：22.10.设(),nnnPxy是直线()*2N1nxynn−=+与圆221xy+=在第一象限的交点，则1l

im1nnnyx→−=−___________.【答案】2【解析】【分析】求出直线21xy−=与圆221xy+=在第一象限内的交点坐标，分析可知当n→时，11nnyx−−的值会无限趋近于点43,55与点()1,1连线的斜率，

结合斜率公式可求得1lim1nnnyx→−−的值.【详解】联立222110,0xyxyxy−=+=，解得4535xy==，因为lim11nnn→=+，当n→时，直线()*2N1nxynn−=+趋近于直线21

xy−=，此时，直线()*2N1nxynn−=+与圆221xy+=在第一象限的交点趋近于点43,55，而11nnyx−−可视为点(),nnnPxy与点()1,1连线的斜率，当n→时，11nnyx−−的值会无限趋近于点43,55与点()1,1连线的斜率，故3115l

im24115nnnyx→−−==−−.故答案为：2.11.已知a､b是空间相互垂直的单位向量，且5c=，22cacb==，则cmanb−−的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算

公式得到()()22222229cmanbmn−−=−+−+，求出2cmanb−−最小值，进而求出答案.【详解】因为,ab互相垂直，所以0ab=，222222222amanbcmanbmacnbcmnab−−=++−−+()()222225424222229mnm

nmn=++−−=−+−+，当且仅当22mn==时，2cmanb−−取得最小值，最小值为9，则cmanb−−的最小值为3.故答案为：312.已知一簇双曲线nE：()222*,20222022nxynNn

−=，设双曲线nE的左､右焦点分别为1nF､2nF，nP是双曲线nE右支上一动点，12nnnPFF的内切圆nG与x轴切于点(),0nnAa，则122022aaa+++=___________.【答案】20232【解

析】【分析】分析得到(),0nnAa为右顶点，从而2022nna=，利用等差数列求和公式进行计算.【详解】如图，由双曲线定义可知：122nnnnPFPFa−=，而根据切线长定理得：nnnnPBPC=，11nnnnFBFA=，22

nnnnFCFA=，所以122nnnnAFAFa−=，即()2nnaccaa+−−=，解得：naa=，即(),0nnAa为右顶点，()222*,20222022nxynNn−=，故2022nna=，所以122022aaa+++=123202212202220232022

202320222022202220222022220222+++++++===故答案为：20232二､选择题13.已知空间三条直线a､b､m及平面，且a､b，条件甲：ma⊥，mb⊥；条件乙：m⊥，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（）A.充分非必要

条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】由充要条件的定义进行判断即可【详解】由题意，空间三条直线a､b､m及平面，且a､b，由线面垂直的判定定理可得：

ma⊥，mb⊥，且需要a与b相交才能得出m⊥，故甲不能推出乙；而由线面垂直的定义可得m⊥，则m必垂直内任意直线，即ma⊥，mb⊥，故乙能推出甲；故由充要条件的定义可知，乙是甲的充分不必要条件故选：A14.函数()21sin1xfxxe=−+图象的大致形状是（）A.

B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数()fx的奇偶性以及在()0,上的函数值符号，可得出合适的选项.【详解】()211sinsin11xxxefxxxee−=−=++，该函数的定义域为R，()()()()()111sinsinsin111xxxxxxxx

eeeefxxxxfxeeee−−−−−−−−=−=−==+++，函数()fx为偶函数，当0πx时，10xe−，10xe+，sin0x，此时()0fx.因此，函数()21sin1xfxxe=−

+图象大致形状是C选项中的函数图象.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.当曲线11cos:sinxCy=+=

(为参数)的点到直线2sin30:1cos120xtCyt==−(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是（）.A.221,22−−B.221,22−C.22,122−−D.22,122−【答案】B【解析】【

分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程，由题意可知过圆心(1,0)且垂直于直线10xy−+=的直线与圆的交点，就是所求的点【详解】解：曲线11cos:sinxCy=+=(为参数)的直角坐标方程为22(1)1xy−+=，的直线2sin30:1cos

120xtCyt==−(t为参数)的直角坐标方程为10xy−+=，当直线过圆心(1,0)且垂直于直线10xy−+=时，直线的方程为(1)1yxx=−−=−+，即10xy+−=，由22(1)110xyxy−

+=+−=，得21222xy=−=或212{22xy=+=−，所以当曲线11cos:sinxCy=+=(为参数)的点到直线2sin30:1cos120xtCyt==−(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是22

1,22−，故选：B16.已知函数()2xfx=，()2gxxax=+，对于不相等的实数1x、2x，设()()1212fxfxmxx−=−，()()1212gxgxnxx−=−，现有如下命题：①对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=；②

对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=−，下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】【分析】假设①中的结论成立，构造()22xhxaxx=−−，取8a=−，判断

函数()hx的单调性，可判断①；假设②中的结论成立，构造函数()22xpxxax=++，判断出函数()px的单调性，可判断②.【详解】对于①，假设对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=，则()()()()12

121212fxfxgxgxxxxx−−=−−，可得()()1222112222xxxaxxax−=+−+，即1222112222xxxaxxax−−=−−，取8a=−，可得122211222828xxxxxx−+=−+，令()228xhxxx=+−，因

为函数2xy=、28yxx=−在(,4−上均为增函数，所以，当1x、(2,4x−，且12xx时，mn；当>4x时，函数2xy=的增长速度比函数2yx=的速度增长得更快，任取1x、()24,x+，且12xx，记点()()111,Pxfx

、()222,Pxy、()2111,Qxx、()2222,Qxx，则直线12PP比直线12QQ的斜率更大，即()()2212121212fxfxxxxxxx−−−−，故()()221212121280mfxfxxxxxxxn−−−−=+−−，故

①错；对于②，假设对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=−，则()()()()12121212fxfxgxgxxxxx−−=−−−，可得()()()()1122fxgxfxgx+=+，构造函数()()()22xpxfx

gxxax=+=++，因为函数2xy=为R上的增函数，函数2yxax=+在,2a−+上为增函数，所以，函数()px在,2a−+上为增函数，取431xx=+，则()()()3341224343433

22221xxxpxpxxxaxxxa+−=−+−+−=+++，记2min0,2at+=−，当3xt时，()()34333221220xpxpxxaxa−=+++++，则()()43pxpx，所以，存在区间,

2aD−−，使得函数()px在D上不是增函数，故对任意的实数a，函数()px不单调，故对于任意的实数a，存在不相等的实数1x、2x，使得mn=−，②对.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查的是有关函数命题真假的判断，解题的关键在于假设结论成立，通过等式的结构构造新函数，转化为

新函数的单调性问题来处理.三､解答题17.如图，在正三棱柱111-ABCABC中，14AA=，异面直线1BC与1AA所成角的大小为3．（1）求正三棱柱111-ABCABC的体积；（2）求直线1BC与平面11A

ACC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）483；（2）3arcsin4【解析】【分析】（1）由已知可得113CBB=，又114BBAA==，求得正三棱柱111-ABCABC的底面边长为43，再求出底面积，即可得到答案；（2）在底面三角形ABC中，过B作

BOAC⊥，垂足为O，连接1CO，可得1BCO为直线BC1与平面11AACC所成角，求解三角形即求解【小问1详解】∵异面直线1BC与1AA所成角的大小为3，且11//AABB，∴113CBB=，又114BBAA==，∴1143BC=，即正三棱柱111-ABCABC的底面边长为43，∴13

434312322ABCS==，则正三棱柱111-ABCABC的体积为11234483ABCSAA==；【小问2详解】在底面三角形ABC中，过B作BOAC⊥，垂足为O，则O为AC中点，∵平面ABC⊥平面11AACC，平面ABC平面11AACCAC=，BO平面,ABC∴

BO⊥平面11AACC，连接1CO，则1BCO为直线1BC与平面11AACC所成角，∵6BO=，2214(43)8BC=+=，∴163sin84BCO==，∴13arcsin4BCO=，即直线1BC与平面11AACC所成角的大小为3ar

csin418.已知函数()()sin0,02fxMx=+的部分图象如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）在A为锐角的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6222Af+=，232bc+

=+，且ABC的面积为3，求a的值.【答案】（1）()2sin26fxx=+（2）10a=或2421261232a=−+−【解析】【分析】（1）由图象可得出函数()fx的最小正周期，可求得的值，代入点5,012、()0,1的坐标，可分别求出、M的值，可得

出函数()fx的解析式；（2）由6222Af+=结合角A的取值范围可求得角A的值，利用三角形的面积公式可求得bc的值，利用余弦定理可求得a的值.【小问1详解】解：由图象可知，函数()fx的最小

正周期为11521212T=−=，22T==.因为点5,012在函数()fx的图象上，所以5sin2012M+=，即5sin06+=.又

02，则554663+，从而56+=，即6=.又点()0,1在函数()fx的图象上，所以由sin16M=，得2M=.此时()2sin26fxx=+，则()fx在56x=附近单调递增，合乎

题意，所以函数()fx的解析式为()2sin26fxx=+.【小问2详解】解：由622sin262AfA+=+=，所以，62sin=64A++，因为562si

nsinsincoscossin124646464+=+=+=，562coscoscoscossinsin124646464−=+=−=，0,2A，则2663A+，所以，1256A+=或712，可得4A=或512

，当4A=时，因为12sin324ABCSbcAbc===△，可得62bc=.又因为232bc+=+，所以()22222cos22cosabcbcAbcbcbcA=+−=+−−，解得10a=；当512A=时，因162sin328ABCSbcAbc+==

=△，可得6662bc=−，因为232bc+=+，所以()22222cos22cosabcbcAbcbcbcA=+−=+−−，解得2421261232a=−+−.所以10a=或2421261232a=−+−.19.某油库的设计容量为30万吨，年初储量为

10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为*2(0,116,)ypxpxx=N，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油

量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【答案】（1）1010Mmxxx=−−+，（*116,xx

N）；（2）71924m．【解析】为【详解】1）由条件得20242100pp==，所以*10(116,)yxxx=N2分1010Mmxxx=−−+，（*116,xxN）．（２）因030M，所以()*10100{116,101030mx

xxxxNmxxx+−−+−−恒成立()*10101{116,20101mxxxxNmxx−++++恒成立设1tx=，则：114t22101011{1420101mtttmtt−++++恒成立，由221711010110()1224mttt

t−++=−−+恒成立得72m（4x=时取等号）212010114mttt++恒成立得194m（16x=时取等号）所以71924m．20.已知椭圆M：()222210xyabab+=焦距为22，过点32,3，斜率为k的直线l与椭圆有两

个不同的交点A､B.（1）求椭圆M的方程；（2）若1k=，AB最大值；（3）设()2,0P−，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C､D和点7142Q−,共线，求实数k的

值.【答案】（1）2213xy+=为的（2）6（3）2【解析】【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到22126412mABkxx−=+

−=，结合m的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出,CD两点坐标，由Q､C､D三点共线得到方程，化简后得到12122yykxx−==−.【小问1详解】由题意得：焦距为22，得2222cab==−，点坐标32,3代入椭圆方程得：222113ab+=，222221

132abab+==−，解得：23a=，21b=，所以椭圆M的标准方程为2213xy+=.【小问2详解】设直线AB的方程为yxm=+，由2213yxmxy=++=消去y可得2246330xmxm++−=，则()2

2236443348120mmm=−−=−，即24m，设()11,Axy，()22,Bxy，则1232mxx+=−，212334mxx−=，则()2222121212641142mABkxxkxxxx−=+−=++−=，易得当20m=时，

max6AB=，故AB的最大值为6.【小问3详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，则221133xy+=①，222233xy+=②，又()2,0P−，所以可设1112PAykkx==+，直线PA的方程为()12ykx=+，由122(2)13ykxxy

=++=消去y可得()222211113121230kxkxk+++−=，则2113211213kxxk+=−+，即2131211213kxxk=−−+，由1112ykx=+，及①221133yx=−，代入可得13171247xxx−−=+，又3111322yykxx==+

+，所以13147yyx=+，所以11117124747xyCxx−−++,，同理可得22227124747xyDxx−−++,.故3371,42QCxy=+−，4471,42QDxy=+−，因为Q､C､D三点共线，所以344371

7104242xyxy+−−+−=.将点C，D的坐标代入，通分化简得22112424yxyx−=−，即12122yykxx−==−.【点睛】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥

曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数.21.记实数a、b中较小者为min,ab，例如min1,21=，min1,11=，对于无穷数列na，记212min,kkkhaa−=.若对

任意*Nk均有1kkhh+，则称数列na为“趋向递增数列”.（1）已知数列na、nb的通项公式分别为cos2nna=，12nnb=−，判断数列na、nb是否为“趋向递

增数列”？并说明理由；（2）已知首项为1，公比为q的等比数列nc是“趋向递增数列”，求公比q的取值范围；（3）若数列nd满足1d、2d为正实数，且21nnnddd++=−，求证：数列nd为“趋向递增数列”的必要非充分条件

是nd中没有0.【答案】（1）数列na不是“趋向递增数列”，数列nb是“趋向递增数列”，理由见解析（2）()()1,01,−+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义“趋向递增数列”判断数列na、nb，可得出结论；（2）求得1nncq

−=，分1q、1q=、01q、10q−、1q=−、1q−六种情况讨论，验证1kkhh+能否恒成立，综合可得出q的取值范围；（3）利用充分条件、必要条件的定义，利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列nd中没有0，再证明出数列nd中没有0时数列nd不是“趋势递增数列”.

【小问1详解】解：由于cos2nna=，记()212min,Nkkkaakh−=，所以23434min,mincos,cos022haa===，35656min,mincos,cos122haa===−，由于23h

h，不满足对任意*Nk均有1kkhh+，所以数列na不是“趋向递增数列”，由于12nnb=−，记()212min,Nkkktbbk−=，所以212212121111111min,22222kkkkkk

ktt−−−++=−−=−=−−=，数列nb是“趋向递增数列”.【小问2详解】解：1nncq−=.当1q时，数列nc为单调递增数列

，此时12112122min,kkkkkkhchccc+−−+===，满足题意，当1q=时，数列nc为常数列，不满足题意；当01q时，数列nc为单调递减数列，此时2221212min,kkkkkkhcccch−++===，不满足题意；当10q−时，此时2122221

min,kkkkkkhcccch−++===，满足题意；当1q=−时，此时2121min,1kkkkhcch−+==−=，不满足题意；当1q−时，此时2122221min,kkkkkkhcccch−++===，不满足题意，综上所述，q的取值范围是()()1,01,−+.【小问3

详解】证明：先证必要性：假设存在正整数()3mm使得0md=，210mmmddd++=−=，令12mmdda++==.因为1d、2d为正实数，且21nnnddd++=−，所以0nd，于是0a.则数列nd从第m项开始为：0、a、a、0、a、a、L.若m为奇数，

112min,0mmmhdd++==，12312min,0mmmhda++++==，与数列nd为“趋向递增数列”矛盾：若m为偶数，1212min,mmmhdda+++==，3422min,0mmmhdd+++==，‘’与数列nd为

“趋向递增数列”矛盾，故假设不成立，所以数列nd为“趋向递增数列”的必要条件是nd中没有0；再证非充分：首先，若nd中没有0，构造数列nd：11d=，210d=，311d=，41d=，此时12hh=，21221kkkddd

+−=+，22212kkkddd++=−，与“趋向递增数列”定义矛盾；其次，证明数列nd中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证：210nd−，20nd①当1n=时，110d=，2100d=；②假设当nk=时，命题成立，即210kd−，20kd.当1nk=+时，21212210

nkkkdddd−+−==+，2222122212210nkkkkkkkdddddddd++−−==−=+−=.因此，有对任意*Nn，均有0nd.当n为偶数时，120nnnddd++=−；当n为奇数时，210nnnddd++=−，所以210nn

nddd++=−对任意*Nn均成立.因此，nd中没有0是数列nd为“趋向递增数列”非充分条件.所以数列nd为“趋向递增数列”的必要非充分条件是nd中没有0.【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义“趋势递增

数列”，在证明第三问时，可充分采用反证法与数学归纳法结合充分条件、必要条件的定义来证明，并且可充分利用特例法来推出矛盾.