【文档说明】【精准解析】天津市和平区2020届高三高考三模数学试题.doc，共(22)页，1.760 MB，由小赞的店铺上传

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和平区2019-2020学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学学科试卷一､选择题1.集合{0,1,2,3,4,5}U=，{1,2}A=，2|30xxBx=−N„，则()UBA=ð（）A.{0,1

,2,3}B.{0,4,5}C.{1,2,4}D.{4,5}【答案】D【解析】【分析】根据集合的交、并、补运算得解.【详解】由题意得0,1,2,3B=，所以0,1,2,3AB=所以()4,5U

AB=ð故选D.【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.2.已知3:,:11pxkqx+，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A.[2,)+B.(2,)+C.[1,)+D.(,1]−−【答案】B【解析】由题意可得q:x<-1

或x>2,由p是q的充分不必要条件，得2k，选B.3.函数()21lnfxxx=−+的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取特值1e判断正负，即可得出答案．【详解】122=01111ln2feeee=

−+−故选B【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的定义域、值域、单调性、对称性及特值是解决问题的关键，属于基础题．4.三棱锥的棱长均为46，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A.36B.72πC.144D.288【答案】C【解析】试题分析：因为三棱锥的棱长均为

46，所以该三棱锥为正四面体，其外接球的半径646=64R=，所以其外接球的表面积为22446144SR===，故选C.考点：1.正多面体的外接球与内切球；2.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查

正多面体的外接球与内切球、球的表面积与体积，属中档题；与球有关的组合体的类型及解法有：1.球与旋转体的组合通常通过作出它们的轴截面解题；2.球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和不球心，或切点、接点作出轴截

面，把空间问题转化为平面问题.5.设正实数,,abc分别满足2321,log1,log1aabbcc===，则,,abc的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.acb【答案】C【解析】【分析】把,,abc看作方程的根，利用数形结合思想把方程的

根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比较大小.【详解】由已知可得231112,log,log,abcabc===作出函数232,log,logxyyxyx===的图象，它们与函数1yx=图象的交点的横坐标分别为,,abc，如图所示，易得cba.故选C.【点睛】本题考查

函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.6.已知双曲线22221(0)xyabab−=的右焦点为F，虚轴的上端点为BP，为左支上的一个动点，若PBF△周长的最

小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（）A102B.105C.10D.2【答案】A【解析】【分析】先通过分析得到当且仅当'BPF，，共线，PBF周长取得最小值，且为2222,abc++可得22622,aabc++＝解方程即得解.【详解】由题意可得00BbFc（，），（，），

设'0Fc（﹣，），由双曲线的定义可得'2PFPFa﹣＝，'2PFPFa+＝，22',BFBFbc+＝＝则BPF的周长为|'2'2'2PBPFBFPBPFaBFBFa＝，++++++当且仅当'BPF，，共线，取得最小值，且为2222,abc++由题意可得22622,aabc++＝即2222

242abcca+＝＝﹣，即2252ac＝，则10,2cea==故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.如果函数()cos(2)fxx=+的

图象关于点4(,0)3成中心对称，且22−，则函数()3yfx=+为A.奇函数且在(0,)4上单调递增B.偶函数且在(0,)2上单调递增C.偶函数且在(0,)2上单调递减D.奇函数且在(0,)4上单调递减【答案】D【

解析】因为函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点4(,0)3对称，那么可知4232k+=+，得到6=−，()cos(2)6fxx=−，因此可知()cos[2()]cos(2)sin23362fxx

xx+=+−=+=−，故可知函数为奇函数，且在(0,)4递减，故选D8.已知直线:1lxy−=与圆22:2210xyxy+−+−=相交于,AC两点,点,BD分别在圆上运动,且位于直线l两侧,则四边形ABCD面积的最大值为（）A.30B.230C.51D.251【答案】A

【解析】试题分析：把圆22:2210xyxy+−+−=化为标准方程22(1)(1)3xy−++=，圆心(1,1)−，半径3r=，直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距22111(1)1221(1)d−−−==+−，由勾股定理的半弦长为22103

()22−=，弦长为102102AB==，又,BD两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看出是两个三角形ABC和ABD的面积之和，如图所示，当,BD为如图所示的位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三

角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为11130222SABCEABDEABCD=+==，故选A．考点：直线与圆的位置关系的应用．9.已知函数()12log,0115,024xxfxaxx

=+−，函数()3gxx=，若方程()()gxxfx=有4个不同实根，则实数a的取值范围为（）A.()5,+B.155,2C.()3,5−D.()3,5【答案】B【解析】【分析】方程()()gxxfx=，化为()3

xxfx=，即0x=或()2xfx=，要使方程()()gxxfx=有4个不同实根，则需方程()2xfx=有3个不同根，当0x时，方程()()gxfx=有1个根，则只需：0x时，11524yax=+−与()2gxx=有两个交

点即可，数形结合可得到答案．【详解】解：方程()()gxxfx=，化为()3xxfx=，即0x=或()2xfx=，要使方程()()gxxfx=有4个不同实根，则需方程()2xfx=有3个不同根，如图：而当0x时，方程()()gxfx

=有1个根，则只需：0x时，11524yax=+−与()2gxx=有两个交点即可．当12x−时，11524yax=−+−，过点115,24−−作()2(0)gxxx=的切线，设切点为()2,mm（0m），切线方程为()22ymmxm−=−，把点1

15,24−−代入上式得52m=−或32m=，因为0m，所以52m=−，切线斜率为25m=−，所以5a−−，即5a，当102x−时，11524yax=+−，与y轴交点为1150,24a−

令115024a−，解得152a．故当1552a时，满足0x时，11524yax=+−与()2gxx=有两个交点，即方程()()gxxfx=有4个不同实根．故选B.【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的思想，属于难题．二､填空题

10.若复数2(1)(+)(,),iiabiabR+=+其中i是虚数单位，则b=____．【答案】12−【解析】()()21+iiabi+=+1222()()132babiababiaba=−=−+=−++

=+=11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则xy+的值为_______．【答案】8【解析】【分析】已知两组数据的中位数相等，可以求

出y；甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，根据平均数的定义可列式求出x.【详解】由题意易知甲组数据的中位数为65，由于两组数据的中位数相等得5y=；甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，所以可得56626570745961676578=55x+++++++++,3x=,8xy

+=.所以本题答案为8.【点睛】本题考查了根据茎叶图求平均数，根据平均数、中位数求原始数据，考查了计算能力，属基础题.12.若33nxx−的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是____

__.【答案】90−【解析】【分析】利用“33nxx+的展开式中所有项系数和”与“33nxx−的展开式中所有项系数的绝对值之和”之间的关系，求得n的值，进而求得33nxx−的展开式中的常数项.【详解】二项式33nxx−展

开式的通项公式为()11513262313rnrnrrrnrrnnCxxCx−−+−−−=−，由于“33nxx−的展开式中所有项系数的绝对值之和”等于“33nxx+的展

开式中所有项系数和”.由33nxx+，令1x=，可得41024n=，解得5n=.所以二项式533xx−展开式的通项公式为()55526513rrrrCx−+−−，令55026r−+=，解得3r=.所以二

项式533xx−展开式的常数项为()353351390C−−=−.故答案为：90−【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式的通项公式的运用，属于中档题.13.已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中

摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则1=的概率是_______；随机变量期望是_______.【答案】【解析】根据题意知ξ=0，1，2，()3140356CPC===；()213421356CCPC===；()2

11242356CCPC===；所以()1310121555E=++=.故答案为315，.14.已知正数x，y满足22464xyxyxyxy++=+，则当xy=______时，4xyxy+的最大值为______.【答案】(1).4(2).

18【解析】【分析】令4txy=+，由题意得6txyt=+，且0t，由基本不等式可得216txy，解不等式，由此可求出答案．【详解】解：由22464xyxyxyxy++=+得()464xyxyxy++=+，令4txy=+，则6txyt=+，且0t，又4244xyxyxy+

=，当且仅当4xy=即4xy=时等号成立，∴216txy，即2616ttt+，化简得()()2616280tttt+−=−+，∴2t，或8t−（舍去），∴11468xyxyt=++，故答案为：4；18．【点

睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．15.如图所示，在四边形ABCD中，已知2AB=，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且//BCAD，若1ACBD=

−，则BD=______；此时ADOD=______.【答案】(1).1(2).32【解析】【分析】利用向量的线性运算、数量积运算化简1ACBD=−，由此求得BD，即BD.再利用向量线性运算和数量积运算，求得ADOD.【详解】依题意()1ACBD

ABBCBDABBDBCBD=+=+=−,因为//BCAD，AB是半圆O的直径，则ADBD⊥，所以BDBC⊥，所以0BCBD=，故1ABBD=−.而cosBDABDAB=，所以()cosABBDABBDABD=−21BDABBDBDAB=−=−=−，所

以1BD=，即1BD=.ADOD=()()ABBDOBBD++()12ABBDABBD=++221322ABBDABBD=++()2133411222=++−=.故答案为：1；32.【点睛】本小题主要

考查向量的线性运算、数量积运算，属于中档题.三､解答题16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且22cosacbC−=.(1)求sin2ACB++的值；(2)若3b=，求ca−的取值范围.【答案】(1)32；(2)()

3,3−【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cosB，进而求得B和AC+，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将ca−表示为2sin2sinCA−，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin3C−，根据正弦型函数值

域的求解方法，结合C的范围可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：2sinsin2sincosACBC−=ABC++=()sinsinABC=+()2sinsin2sincos2cossinsin2sincosBCCBCBCCBC+−=+−=即2cossinsi

nBCC=()0,Csin0C1cos2B=()0,B3B=23AC+=23sinsin232ACB++==（2）由（1）知：3sinsin32B==32sinsinsin32acbACB====2sincC=，2sinaA=()2

sin2sin2sin2sin2sin2sincos2cossincaCACBCCBCBC−=−=−+=−−2sin3cossinsin3cos2sin3CCCCCC=−−=−=−23AC+=Q203C,333C

−−()2sin3,33C−−，即ca−的取值范围为()3,3−【点睛】本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解

问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.17.如图甲所示的平面五边形PABCD中，PDPA=，5ACCDBD===，1AB=，2AD=，PDPA⊥，现将图甲所示中的PAD△沿AD边折起，使平面PAD⊥平面ABCD得

如图乙所示的四棱锥PABCD−．在如图乙所示中（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求二面角APBC−−的大小；（3）在棱PA上是否存在点M使得BM与平面PCB所成的角的正弦值为13？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）56；（3）存在，理由见解析.【解析】【分

析】（1）推导出AB⊥AD，AB⊥平面PAD，AB⊥PD，PD⊥PA，由此能证明PD⊥平面PAB；（2）取AD的中点O，连结OP，OC，由ACCD=知OC⊥OA，以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出二面角A-PB-C的大小；（3）假设点M存在，其坐标为(x,y,z)，BM与平面PBC所成的角为，则存在λ∈(0，1)，有AMAP=，利用向量法能求出在棱PA上满足题意的点M存在．【详解】（1）∵1AB=，2AD=，5BD=，∴222ABADBD+=，∴AB

AD⊥，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，∴AB⊥平面PAD，又∵PD平面PAD，∴ABPD⊥，又∵PDPA⊥，PAABA=，∴PD⊥平面PAB．（2）取AD的中点O，连结OP，OC，由平面PA

D⊥平面ABCD知PO⊥平面ABCD，由ACCD=知OCOA⊥，以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图所示，则易得()2,0,0C，()0,0,1P，()0,1,0D−，()0,1,0A，()1,1,0B，(1,1,1

),(2,0,1),(0,1,1)PBPCPD=−=−=−−设平面PBC的法向量为(),,mabc=ur，由00mPBmPC==，得020abcac+−=−=，令1a=得1b=，2c=，∴(1,1,2)m=，设二面角

APBC−−大小为，则123cos262||||mDPmDP−−===−uuurruuurr，∵0，∴二面角APBC−−的大小56=．（3）假设点M存在，其坐标为(),,xyz，BM与平面PBC所成的角为，则存在，有AMAP=

，即()(),1,0,1,1xyz−=−，()0,1,M−，则(1,,)BM=−−，从而化简得2610+−=，解得103=−∵0,1，∴103=−∴在棱PA上满足题意的点M存在．【点睛】本题主要考查了线面垂直､面面垂直的判定与性质，利用向量求二面角，线面角，

考查了推理运算能力，空间想象力，属于中档题．18.已知数列na满足：11a=，212a=，且()()23122110nnnnaa++−−+−−=，*nN.（1）求3a，4a，5a，6a的值及数列na

的通项公式；（2）设212nnnbaa−=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）33a=，414a=，55a=，618a=，2,1,2nnnnan=为奇数为偶数（2）2332nnnS+=−【解析】【分析】（1）分别令n=1,2,3,能得到3a，4a，5a，6a的值

，分n为奇数偶数求出数列的通项公式；（2）由()2121212nnnnbaan−==−知，利用错位相减法求数列的和即可.【详解】（1）11a=，212a=，且()()23122110nnnnaa++−−+−−=，则3122

40aa−−=，解得33a=，42420aa−=，解得414a=，532240aa−−=，解得55a=，64420aa−=，解得618a=，当n为奇数时，22nnaa+=+，nan=；当n为偶数时，212nnaa+=，21

2nna=.即有2,21,1,22nnnnkank=−==（nN）；（2）由于21n−为奇数，则2121nan−=−，由于2n为偶数，则212nna=.因此，()2121212nnnnbaan−==−.()()2311111

1135232122222nnnSnn−=++++−+−，()()23411111111352321222222nnnSnn+=++++−+−

，两式相减得()2341111111112212222222nnnSn+=+++++−−，()11111114222112212nnn+−

−=+−−−，化简可得，2332nnnS+=−.【点睛】本题考查数列的求值、求解通项公式的方法和用错位相减法求解通项公式的方法，解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x

yCabab+=的离心率22e=，椭圆上的点到左焦点1F的距离的最大值为21+.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线:(0)lykxtk=+与椭圆C交于M、N两点.在y轴上是否存在点(0,)Pm，使得||||MPNP=且||2MN=，若

存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）22(,0)(0,)22m−【解析】【分析】（1）椭圆上的点到左焦点1F的距离最大值为a+c,再结合离心率可得a和

c的值，再由222bac=−可得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得丨MN丨，由MPNP=，P在线段MN的中垂线上，利用韦达定理求出MN中点D的坐标，写出直线PD的方程，令x=0得22

1tmk−=+，平方后即可求得m范围；【详解】（1）由题设条件可得22ca=，21ac+=+，解得2a=，1c=，所以，2221bac=−=，椭圆的标准方程为：2212xy+=（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，则22

,1,2ykxtxy=++=整理得：()222124220kxktxt+++−=，则()()22221681210ktkt=−+−，则122412ktxxk+=−+，21222212txxk−=+，假设存在点()0,Pm满足题意，()22121214MNkxxxx=++

−，则222222121221kktMNk++−==+，化简整理得()2222121ktk+=+，此时判别式()22821kt=+−=()22221821021kkk++−+恒成立，所以kR且0k，设MN中点()00,D

xy，则12022221xxktxk+==−+，0221tyk=+，由MPNP=，则P在线段MN的中垂线上.因为0k，直线PD的方程为：22122121tktyxkkk−=−+++，令0x=，则221tmk−=+∴()222221tmk=+∴()()22212211m

kk=++∵0k，∴20k，∴()()222111kk++∴2102m∴202m−或202m.即：22,00,22m−.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考

查直线与椭圆的位置关系的应用，考查韦达定理及弦长公式，中点坐标公式的综合应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知函数()ln1fxxax=−+，()()xgxxex=−．（1）若直线2yx=与函数()fx

的图象相切，求实数a的值；（2）若存在1(0,)x+，2(,)x−+，使()()120fxgx==，且121xx−，求实数a的取值范围；（3）当1a=−时，求证：2()()fxgxx+．【答案】（

1）1a=−；（2）01a；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由f′（x0）01xa=−．可得切线方程为：y＝（01xa−）x+lnx0，与直线y＝2x完全相同，可得01xa−＝2，lnx0＝0．即可得出a．

（2）设t（x）＝ex﹣x，x∈R．t′（x）＝ex﹣1，利用导数研究其单调性可得0是函数t（x）的极小值点，可得()0tx…．再由g（x2）＝0，解得x2，可得x1的范围．从而问题可转化为函数f（x）＝l

nx﹣ax+1在x∈（1，+∞）上有零点．由f′（x）1x=−a1axx−=．对a分类讨论，研究其单调性即可得出．（3）构造函数F（x）＝x2+g（x）﹣f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【详解】（1）设切

点坐标为()()00,xfx，由()1fxax=−，得()001fxax=−，所以切线方程为：()()00001ln1yxaxaxxx−−+=−−，即001lnyaxxx=−+.因为直线2yx

=与函数()fx的图象相切，所以00120axlnx−==，解得1a=−.（2）设()xtxex=−，则()1xtxe=−，令()0tx=，得0x=，且当0x时，()0tx：当0x时，()0tx，所以()tx在(),0−上单调递减，在()0,+上

单调递增，所以()tx在0x=时取得极小值为0，即()0tx….由()()22220xegxxx=−=，可得20x=，所以121xx−即为11x，由题意可得：函数()ln1fxxax=−+在()1,+上有零点.因为()11axfxaxx−=−=，当0a„时，()

0fx，函数()fx在()1,+上单调递增，所以()()110fxfa=−，函数()fx在()1,+上无零点：当0a时，令()0fx=，得1xa=①若11a„，即1a时，()0fx在()1,+上恒成立，所以函数()fx在()1,+上单调递减，所以()()110fxfa

=−„，函数()fx在()1,+上无零点：②若11a，即01a时，当11,xa时，()0fx：当1,xa+时，()0fx.所以函数()fx在11,a上单调递增，在1,a+上单调递减，所以()ma

x11ln0fxfaa==，因为()110fa=−，所以函数()fx在11,a上无零点：又2224444ln1ln42ln1faaaaaa=−+=−−+，令()4ln42ln1haaa=−−+，则()2224420ahaaaa−=

−+=在()0,1a上恒成立，所以()ha在()0,1上单调递增，所以()()1ln430hah=−，即240fa，所以2140ffaa，且()fx在1,a+的图象连续不断，所以函数()fx在214,aa上有且

只有一个零点，即函数()fx在1,a+上有零点.综上所述，01a.（3）当1a=−时，()ln1fxxx=++，令()()()eln1xFxgxfxxxx=−=−−−(0)x，则()()()1111e1xxxFxxexxx+=+−−=−，令()

1xGxxe=−，则当0x时，()()1e0xGxx=+，所以函数()Gx在区间()0,+上是增函数，又()010G=−，()110Ge=−，所以函数()Gx存在唯一的零点()00x+,，且当()000,xx

时，()0Gx；当()0,xx+时，()0Gx.所以当()000,xx时，()0Fx；当()0,xx+时，()0Fx.所以函数()Fx在()00,x上递减，在()0,x+上递增，故()()00000mineln1xFxFxxxx==−−−，由()

00Gx=得：00e10xx−=，两边取对数得：00ln0xx+=，故()00Fx=，所以()()0gxfx−…，即()()fxgx„.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．