【文档说明】上海市黄浦区2021届高三下学期4月高中学业等级考调研测试（二模）数学试题 含答案.doc，共(10)页，967.000 KB，由小赞的店铺上传

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1D1CABCD1A1B第6题图黄浦区2021年高考模拟考数学试卷(完卷时间：120分钟满分：150分)2021.4考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信

息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．已知集合

2|230Axxx=+−，||1|1Bxx=−，则AB=．2．方程42log13x+=的解x=．3．已知某球体的表面积为36，则该球体的体积是．4．已知函数()fx的定义域为R，函数()gx是奇

函数，且()()2xgxfx=+，若(1)1f=−，则(1)f−=．5.已知复数z的共轭复数为z，若i34iz=−(其中i为虚数单位)，则||z=.6．已知长方体1111ABCDABCD−的棱13,4ABBCCC===，则异面直线1AB

与1CD所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）7．已知随机事件A和B相互独立，若()0.36PAB=，()0.6PA=(A表示事件A的对立事件)，则()PB=.8.无穷等比数列*(N,R)nnana的前n项和为nS，且lim2nnS→=，则首项1a的取值范围

是.9．已知(12)nx+的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式21331121n−中元素1−的代数余子式的值是.10．已知实数xy、满足线性约束条件0,0,220,2360.xyxyxy−++−则目标函数25zxy=+的最大

值是.11．某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用01239、、、、、这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数.若某位职工在知识抢答过

程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是.(结果用数值作答)12．已知Ra，函数2|||2|,0,()11,02xaxxfxxaxax++−=−++的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是.二、选择题（本大题满分2

0分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知空间直线l和平面，则“直线l在平面外”是“直线l∥平面”的().(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条

件(D)非充分非必要条件14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述合理的是().

(A)甲队员每场比赛得分的平均值大(B)乙队员每场比赛得分的平均值大(C)甲队员比赛成绩比较稳定(D)乙队员比赛成绩比较稳定15．已知点(4,)Pm是直线13,:(R)5xtlttyt=+=−+，是参数和圆15cos,:(R,)5s

inxCy=+=是参数的公共点，过点P作圆C的切线1l，则切线1l的方程是().(A)34280xy−−=(B)34280xy+−=(C)3130xy−−=(D)3160xy−−=16．已知xy、

是正实数，ABC的三边长为3,4,5CACBAB===，点P是边AB(P与点AB、不重合)上任一点，且||||CACBCPxyCACB=+.若不等式23xymxy+恒成立，则实数m的取值范围是（）.

(A)322m+(B)26m(C)322m(D)3m三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．1D1CABCD1A1B17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1

小题满分6分，第2小题满分8分．已知长方体1111ABCDABCD−中，棱2ABBC==，13AA=，点E是棱AD的中点.(1)联结CE，求三棱锥1DEBC−的体积V；(2)求直线1CD和平面1DEB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分

，第2小题满分8分．已知ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且1b=，sin3sinaAB=．(1)求正实数a的值；(2)若函数()sin2cos2fxaxx=+(Rx)，求函数()fx的最小正周期、单调递增区间．19.（本

题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且0y，奖金金额不超过

20万元.（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)（2）若该企业采用函数11,50500,50119,5001500xxyaxx+=−+作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围.E20.（本题满分16分

）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点为(,0)Aa，焦距为2(0)cc，左、右焦点分别为12FF、，00(,)Pxy为椭圆C上的任一点.(1)试写出向量12PFPF

、的坐标(用含00xyc、、的字母表示)；(2)若12PFPF的最大值为3，最小值为2，求实数ab、的值；(3)在满足(2)的条件下，若直线:lykxm=+与椭圆C交于MN、两点(MN、与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标

.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．定义：符号123max,,xxx表示实数123xxx、、中最大的一个数；123min,,xxx表示1

23xxx、、中最小的一个数.如，max2,2,1.22−=，min2,22−=−.设K是一个给定的正整数(3K)，数列na共有K项，记121min,,,,iiiAaaaa−=，121max,,,,iiiKKBaaaa++−=，iiidA

B=−(1,2,3,4,,1iK=−).由id的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若20d，则23aa.理由：20d，则22AB.又2223,aABa，于是，有23aa.试解答下列问题：(1)若数列na的通项公式为1()(1,2,3,,)

2nnanK==，求数列(1,2,3,,1)idiK=−的通项公式；(2)若数列na(1,2,,)nK=满足13,1iad==(1,2,,1)iK=−，求通项公式na；(3)试构造项数为K的数列na，满足nnnabc=+，其中nb

是等比数列，nc是公差不为零的等差数列，且数列(1,2,,1)idiK=−是单调递减数列，并说明理由.(答案不唯一)1D1CABC1A1B黄浦区2021年高考模拟考数学试卷参考答案2021.4说明：1．本解答仅列出试题

的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分

的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题.1．(1,2)2．4x=3．364．32−5．56．7arccos257．0.98．(0,2)(2,4)9．510．62711．12712．313−−．二、选择题．13．()B14．(

)C15．()A16．()A三、解答题．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解(1)1111ABCDABCD−是长方体,棱2ABBC==，13AA=，1AA⊥平面ABCD，即三棱锥1DEBC−的高等于1A

A.122EBCSBCAB==.11123DEBCEBCVSAA−==.(2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得()1,0,0E，()0,2,0C,()2,2,0B，()10,0,3D.()1,2,0EB=，()

11,0,3ED=−，()10,2,3DC=−设平面1EBD的法向量(),,nxyz=，则10,0.nEBnED==即20,30.xyxz+=−+=Eyxz()OD取6x=，得3,2.yz=−=故平

面1EBD的一个法向量为()6,3,2n=−.设直线1CD和平面1EBD所成的角为，则11121213sin91137DCnDCn===.所以直线1CD和平面1EBD所成角的大小为1213arcsin91．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1

小题满分6分，第2小题满分8分．解(1)在ABC中，1b=，sin3sinaAB=，根据正弦定理：2sinsinsinabcRABC===，得2223,322abaRR==．(0a)∴3a=.(2)由(1)知，3a=，∴()sin2cos2f

xaxx=+=3sin2cos22sin2(R).6xxxx+=+∴函数()fx的最小正周期为22T==.由222262kxk−++(kZ)，得(Z)36kxkk−+.∴函数()fx的递增区间是,36kk−+

()kZ.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解(1)答案不唯一.构造出一个函数；说明是单调增函数；函数的取值满足要求.如，11,[50,1500]100yxx=+，就是符合企业奖励的一个函数模型.理由：根

据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数；当50x=时，1350101002y=+=，当1500x=时，1150011620100y=+=，即奖金金额0y且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2)当5

0500x时，易知1150yx=+是增函数，且当50x=时，15012050y=+=，当500x=时，15001112050y=+=，即满足奖金0y且不超过20万的要求；故当50500x时，1150yx=+符合企业奖励要求.当5001500x时，函数1()19

afxx−=+是增函数，即对任意12(500,1500]xx、，且12xx时，211212()()(1)0xxfxfxaxx−−=−成立.故当且仅当10a−，即1a时，此时函数在(500,1500]上是增函数.由119050

0a−+，得9501a；进一步可知，10ax−，故1191920ayx−=+成立，即当19501a时，函数符合奖金0y且金额不超过20万的要求.依据函数模型11,50500,50119,

5001500xxyaxx+=−+是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有1150011950500a−++，解得4001a.综上，所求实数a的取值范围是14001a.20

．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解(1)根据题意,可知12(,0)(,0)FcFc−、.于是，100200(,)(,)PFcxyPFcxy=−−−=−−、.(2)由(1)可

知，2221200PFPFxcy=−+.00(,)Pxy在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，2200221xyab+=，则2222002bybxa=−.22221202(1)bPFPFxbca=−+−.依据椭圆的性质，可知0axa−.当且仅当0xa=时，222

22212max2()(1)bPFPFabcaca=−+−=−，当且仅当00x=时，2222212min2()(1)0bPFPFbcbca=−+−=−.又222,abc−=12PFPF的最大值为3，最小值为2，22223,2.ac

bc−=−=解得2,3ab==即为所求.证明(3)由(2)知，椭圆22:143xyC+=.又:lykxm=+，联立方程组221,43.xyykxm+==+得222(34)84120kx

kmxm+++−=.设1122(,)(,)MxyNxy、是直线:lykxm=+与椭圆C的两个交点，于是，有122212222228,34412,34644(34)(412)0.kmxxkmxxkkmkm+=−+−=

+=−+−以线段MN为直径的圆经过点(2,0)A，AMAN⊥，即1122(2,)(2,)0xyxy−−=，进一步得221212(1)(2)()40kxxkmxxm++−+++=(1212(

)()yykxmkxm=++)，化简得2271640mkmk++=.解得227mkmk=−=−或.(经检验，2,27mkmk=−=−都满足0)当2mk=−时，直线l过点(2,0)A不满足MN、与椭圆的左右顶点不重合

要求，故2mk=−舍去.27mk=−，即2:7lykxk=−.直线l必经过定点，且定点的坐标为2(,0)7.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分

8分．解(1)数列na的通项公式为1()(1,2,3,,)2nnanK==，考察指数函数1()(R)2xyx=的图像与性质，知数列na是单调递减数列,即1(1,2,,1)nnaanK+=−.1211

min,,,,()2iiiiAaaaa−==，11211max,,,,()(1,2,,1)2iiiiKKBaaaaiK+++−===−.11111()()()222iiiiiidAB++=−=−=(1,2,,1)iK=−为所求的通

项公式．(2)数列na(1,2,,)nK=满足13,1iad==(1,2,,1)iK=−，依据题意，由110d=，知12aa；由210d=，知23aa；依此类推，有1KKaa−，即121KKaaaa−，于是，数列na(

1,2,,)nK=是单调递减数列.121min,,,,iiiiAaaaaa−==，1211max,,,,(1,2,,1)iiiKKiBaaaaaiK++−+===−.1id=，111,1iiiiaaaa++−=−=−即．∴数列na是首项13a=，公差为1−的等差数列．1

(1)4(1,2,,)naandnnK=+−=−=．(3)构造数列nb：(01)nnbaa=，数列nc：(0)ncbnb=，1,2,,nK=，设nnnabc=+，则数列na满足题设要求.理由如下：构造数列n

b：(01)nnbaa=，数列nc：(0)ncbnb=，1,2,,nK=，易知，数列nb是等比数列，数列nc是等差数列.由指数函数(R,01)xyaxa=的性质，知1nnaa+，即数列nb是单调递减数列；由函数(R,0)ykxxk=的性质，知数列nc是单调递

减数列.1(1)nnabnabn++++，即1(1,2,3,,1)nnaanK+=−.∴数列na是单调递减数列.1(1)(1,2,3,,1)iiiidaaaabiK+=−=−−=−.∴121(1)[(1)](1)0iii

iiddaabaabaa++−=−−−−−=−，即数列(1,2,,1)idiK=−是单调递减数列.数列na是满足条件的数列.