【文档说明】黑龙江省实验中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，2.217 MB，由小赞的店铺上传

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黑龙江省实验中学2019-2020学年度上学期高三期末考试理科数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合{|0}Axx=，{|11}Bxx=−，则()RCAB=()A.{|01}xxB

.{|1}xxC.{|10}xx−D.{|10}xx−【答案】D【解析】【分析】根据补集和交集的定义运算即可．【详解】解：{|0}Axx=|0RCAxx={|11}Bxx=−()|10RCABxx=−故选D【点睛】本题

考查集合的交补混合运算，属于基础题．2.下列叙述正确的是（）A.命题“p且q”为真，则,pq恰有一个为真命题B.命题“已知,abR，则“ab”是“22ab”的充分不必要条件”C.命题:0px都有e1x，则0:0px，使得

01xeD.如果函数()yfx=在区间(,)ab上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·(fafb，那么函数()yfx=在区间(,)ab内有零点【答案】C【解析】【分析】由p且q的真值表，可判断正误；由充分必

要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误.【详解】解：对于A，命题“P且q为真，则P，q均为真命题”，故错误；对于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1，b＝﹣1；反之也推不

出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b”是“a2＞b2”的不充分不必要条件，故错误；对于C，命题:0px都有e1x，则0:0px，使得01xe，故正确；对于D，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b

）＜0，由零点存在定理可得函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，故错误．其中真命题的个数为1，故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的

判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．3.在复平面内与复数21izi=+所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A.1i+B.1i−C.1i−−D.1i−+【答案】B【解析】【分析】用两个复数代

数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．【详解】复数()()()2121111iiiziiii−===+++−，复数的共轭复数是1i−，就是复数21izi=+

所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选B．【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．4.如图，'''OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的面积是（）A

.6B.32C.62D.12【答案】D【解析】由直观图画法规则，可得AOB是一个直角三角形，直角边'6,2''4OAOAOBOB====，11641222AOBSOAOB===，故选D.5.已知直线m、n，平面、，给出下列命题：①若m⊥，n⊥，且mn⊥，则

⊥②若//m，//n，且//mn，则//③若m⊥，//n，且mn⊥，则⊥④若m⊥，//n，且//mn，则⊥其中正确的命题是（）A.②③B.①③C.①④D.③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判

断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.解析：①若m⊥，n⊥，且mn⊥，则⊥，正确.n⊥，且mn⊥，可得出//m或m，又m⊥

，故可得到⊥.②若//m，//n，且//mn，则//，不正确.两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.③若m⊥，//n，且mn⊥，则⊥，不正确.m⊥且mn⊥，可得出//?n，又//n，故不能得出⊥.④若m⊥，//n

，且//mn，则⊥，正确.m⊥且//mn，可得出n⊥，又//n，故得出⊥.故选：C.点睛：解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然

后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．6.已知直线l过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴

上的截距的两倍，则直线l的方程为（）A.20xy−=B.240xy+−=C.20xy−=或220xy+−=D.20xy−=或240xy+−=【答案】D【解析】【分析】根据题意，分直线l是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l的方程，即可得答案．【详解】根据题意，直线l分2种情况讨论：①当直线过

原点时，又由直线经过点()1,2，所求直线方程为2yx=，整理为20xy−=，②当直线不过原点时，设直线l的方程为12xyaa+=，代入点()1,2的坐标得1212aa+=，解得2a=，此时直线l的方程为124xy+=，整理为240xy+−=．故直线l的

方程为20xy−=或240xy+−=.故选D．【点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．7.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【答案】A

【解析】【分析】由a，b，c分别为f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点，所以依次代入得()0fa=，()0gb=，()0hc=，得a，b，c的关系式，判断取值范围，比较大小【详解】∵ea＝－a，∴a<0，∵lnb＝－b，且b

>0，∴0<b<1，∵lnc＝1，∴c＝e>1，故选A.【点睛】根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围8.由直线30xy++=上一点P向圆C：()()22231xy−++=引切线，则切线长的最小值为（）A.14B.13C.12D.1【答案】D【解析】【分析】由切线性质，

切线长等于22PCr−，因此只要PC最小即可，此最小值即为C到直线的距离．【详解】点P为直线上到圆心C距离最小的点时，切线长最小，故有min222PC==．切线长最小值为：()2211−=．故选D．【点睛】本题考查切线的

性质，考查点到直线的距离公式．属于基础题．9.已知直线l：()(1)0ykxk=+与抛物线2:4Cyx=相交于A、B两点，且满足2AFBF=，则k的值是（）A.33B.3C.223D.22【答案】C【解析】【分析】根据直线方程可知直线恒过定点(1,0)−，过,A

B分别作准线的垂线，由2AFBF=，得到点B为AP的中点、连接OB，进而可知，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【详解】解：抛物线2:4Cyx=的准线1x=−，直线l：(1)ykx=+恒过定点(1

,0)P−，如图过,AB分别作准线的垂线，垂足分别为,MN；由2AFBF=，则||2||AMBN=，所以点B为AP的中点、连接OB，则1||||2OBAF=，∴在PFA中，||||OBBF=，OBF

为等腰三角形，点B的横坐标为12，故点B的坐标为1,22，又(1,0)P−，所以202213(1)2k−==−−，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．10.过双曲线22115yx−=的右支上一点P，分别向圆()221:44

Cxy++=和圆()222:41Cxy−+=作切线，切点分别为,MN，则22PMPN−的最小值为（）A.10B.13C.16D.19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，222212||(|4)(|1)PMPNP

CPC−=−−−，因此2222121212||||3()()3PMPNPCPCPCPCPCPC−=−−=−+−12122()32313PCPCCC=+−−=，故选B．考点：圆锥曲线综合题．11.设椭圆C：22221xyab+=（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原

点对称，且满足0FAFB=，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A.25,23B.5,13C.2,312−D.)31,1−【答案】A【解

析】【分析】设椭圆左焦点为F，由椭圆的对称性可知且0FAFB=，可得四边形AFBF′为矩形，设|AF′|＝n，|AF|＝m，根据椭圆的定义以及题意可知mn＝2b2，从而可求得22cb的范围，进而可求得离心率.【详解】设椭圆左焦点为F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又0FA

FB=，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△F′AF中，m＋n＝2a①，m2＋n2＝4c2②，联立①②得mn＝2b2③.②÷③得222mncnmb+=，

令mn＝t，得t＋2212ctb=.又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得mn＝t∈[1,2]，所以t＋2212ctb=∈52,2.故椭圆C的离心率的取值范围是25,23.故选：A【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围的求法，考查了椭圆焦点三角形问题，需掌握椭圆的定义，属

于中档题.12.设函数()fx在R上存在导函数()fx，xR，有()()3fxfxx−−=，在()0,+上有()2230fxx−，若()()22364fmfmmm−−−+−，则实数m的取值范围为（）A.1,1−B.(,1−C.

)1,+D.(),11,−−+【答案】B【解析】【分析】构造函数31()()2gxfxx=−，进而研究其单调性和奇偶性，将()()22364fmfmmm−−−+−变形为(2)()gmgm−，再利用()gx的单调性解不等式即可.【详解】令31()()2gxfxx=−，xR

，有()()3fxfxx−−=，33311()()()()22gxfxxfxxxgx−=−+=−+=．所以()gx为R上的偶函数，又在()0,+上有()2230fxx−，所以23()()02gxfxx=−，即()gx在(

)0,+上单调递增，在(),0−上单调递减.又()()22364fmfmmm−−−+−，所以3311(2)(2)()22fmmfmm−−−−，即(2)()gmgm−，2mm−，解之得，1m£.故选B.【点睛】本题主要考查构造函数并研究

其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点O是ABC内部一点，并且满足230OAOBOC++=，BOC的面积为1S，ABC的面积为2S，则12SS=______.【答案】16【解析】【分

析】将230OAOBOC++=化为()2OAOCOBOC+=−+，再构造向量()12OAOC+和()12OBOC+，得出比例关系，最后求解12.SS【详解】因为230OAOBOC++=，所以()2OAOCOBOC+=−+，分别取AC，BC的中点D，E，则2OAOCOD+=，

2OBOCOE+=.所以2ODOE=−，即O，D，E三点共线且2ODOE=.如图所示，则13OBCDBCSS=，由于D为AC中点，所以12DBCABCSS=，所以16OBCABCSS=.故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角

形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.14.已知双曲线与椭圆221166xy+=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12yx=，则此双曲线方程为_________【答案】22182yx−=

【解析】【分析】根据双曲线的渐进线方程为12yx=，设双曲线222214xybb−=，计算椭圆焦点为()10,0，根据双曲线焦点公式得到答案.【详解】221166xy+=的焦点为：()10,0双曲线的渐进线方程为12yx=，则设

双曲线方程为：222214xybb−=，焦点为()10,0故2224102bbb+==，双曲线方程为22182yx−=故答案为22182yx−=【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为222214xybb−=是解题的

关键.15.在ABC中，角,,ABC的对边分别,,abc，满足222(sincos)40,2aaBBb−++==，则ABC的面积为_____．【答案】2【解析】【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B，进而可求a，然后结合余弦定理可求

c，代入S△ABC12=acsinB，计算可得所求．【详解】把a2﹣22a（sinB+cosB）+4＝0看成关于a的二次方程，则△≥0，即8（sinB+cosB）2﹣16≥0，即为8（2sin（B4+））2﹣16≥0，化为sin2（B4+）≥

1，而sin2（B4+）≤1，则sin2（B4+）＝1，由于0＜B＜π，可得4＜B544+＜，可得B42+=，即B4=，代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，由余弦定理可得，cos24424222cc+−==，解可得，c＝22

∴S△ABC12=acsinB12=2×22222=．故答案为2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABBA

内，若1DP垂直于CM，则PBC的面积的最小值为__________.【答案】255【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由1DPCM⊥，求得22zy=−，得到25128BPyy=−+，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.

【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以1DD为z轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)PyzD，所以1(2,,2)DPyz=−.因为(0,2,0),(2,0,1)CM，所

以(2,2,1)CM=−,因为1DPCM⊥,所以4220yz−+−=，所以22zy=−，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BPyz=−，所以22222(2)(2)(22)5128BPyzyyyy=−+=

−+−=−+因为02y，所以当65y=时，min255BP=.因为BC⊥BP,所以min12525()2255PBCS==.故答案为：255.【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运

算，求得BP的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余小题每题12分，共70分）17.已知函数()2fxmx=−−，且()20fx+的解集为()1,1−.(1)求m的值；(2)若正实数,,

abc，满足23abcm++=.求11123abc++的最小值.【答案】（1）1m=（2）9【解析】试题分析：（1）由(2)0fx+得xm，解得其解集为(,)mm−，即可得到实数m的值；（2）由(1)知231abc++=，又,,abc是

正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为()2fxmx+=−所以由()x20f+得xm由xm有解，得m0，且其解集为()m,m−又不等式()fx20+解集为()1,1−，故m1=（2）由(1)知a2b3c1++=，又a,b,c是正实数，由柯

西不等式得()111111a2b3ca2b3ca2b3c++=++++2111a2b3c9a2b3c++=当且仅当111a,b,c369===时取等号故111a2b3c++的最小值为918.设数列na的前n项和为nS，且1nn

Sa=−.（1）证明：na是等比数列，并求其通项公式；（2）若2lognnba=，令21211nnncbb−+=，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）12nna=；（2）21nn+.【解析】试题分析：（1）利

用11,1,2nnnSnaSSn−==−，可知数列为等比数列，由此求得其通项公式.（2）先求得nb的表达式，利用裂项求和法求nc的前n项和.试题解析：（1）当1n=时，111aa=−，所以112a=，当2n时，111nnSa−−=−，1nnSa=−，

两式相减得12nnaa−=，所以112nnaa−=.因此na是首项为112a=，公比为12的等比数列.于是1111222nnna−==.（2）由221loglog2nnnban===−，所以()()212111111212122121nnn

cbbnnnn−+===−−+−+，1111111112335572121nTnn=−+−+−++−−+111221n=−+21nn=+.19.已知函数()sin(2)

14fxx=−++.（1）求函数()fx的单调递增区间和对称中心；（2）当,242x时,方程()1fxm=−有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）对称中心为（28k−，1），（k∈Z）．单调递增区间为[

kπ8+，kπ58+]，（k∈Z）．（2）[22−，1].【解析】【分析】（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心；利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=sin（2x4+）在,242x上的最值即得m的

取值范围．【详解】（1）∵函数f（x）=−sin（2x4+）+1，∴令2x4+=kπ，解得x28k=−，∴对称中心为（28k−，1），（k∈Z）．由y=sin（2x4+）的减区间满足：2kπ2+2x4+2kπ32+，（k∈Z），解

得kπ8+x≤kπ58+，∴函数f（x）=−sin（2x4+）+1的单调递增区间为[kπ8+，kπ58+]，（k∈Z）．（2）方程()1fxm=−有解，即为sin（2x4+）=m有解，令y=sin（2x4+）则当,24

2x时，2x4+∈[3，54]，∴当2x42+=，即x8=时，函数y=sin（2x4+）取得最大值1，当2x544+=，即x2=时，函数f（x）取得最小值22−．∴y∈[22−，1]，即m∈[22−，1].【点睛】本题主要考查正

弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．20.如图，直三棱柱111ABCABC−中，090BAC=，ABAC=，,DE分别为1AA、1BC的中点.（1）证明：DE⊥平面11BCCB；（2）已知1BC与平面

BCD所成的角为030，求二面角1DBCB−−的余弦值.【答案】（1）见证明（2）22【解析】【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设ADa=，利用1BC与平面BCD所成的角为030得到a的值，再求出两个面的法向量之间的夹

角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC中点F，连接AF、EF，易证AF⊥平面11BCCB，再证明DEAF,可得DE⊥平面11BCCB（2）设ADa=，利用1BC与平面BCD所成的角为030得到a的值，再求出两个面的法

向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设12AAa=，利用三棱锥1BBDC−等体积转化，得到1B到面BCD的距离，利用1BC与平面BCD所成的角为30得到1BC与d的

关系，解出a，在两个平面分别找出,DFEF垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz−．设1AB=，ADa=，则()1,0,0B，(

)0,1,0C，()11,0,2Ba，()0,0,Da，()11,0,2Ba，11,,22Ea，11,,022DE=，()1,1,0BC=−，()11,1,2BCa=−−．因为0DEBC=，10DEB

C=，所以DEBC⊥，1DEBC⊥，BC面11BCCB，1BC面11BCCB，1BCBCB=于是DE⊥平面11BCCB．（2）设平面BCD的法向量()000,,nxyz=，则0nBC=，0nBD=，又()1,1,0

BC=−，()1,0,BDa=−，故000000xyxaz−+=−+=，取01x=，得11,1,na=．因为1BC与平面BCD所成的角为30，()11,1,2BCa=−−，所以1cos,sin30nBC=，11nBCnBC=()222121242aa=++

，解得22a=，()1,1,2n=．由（1）知平面1BCB的法向量11,,022AF=，()2222211222cos,=21111+2+22nAFnAFnAF+==+，所以二面角1DBCB−−的余弦值为22．解法2：（1）取BC中点F，连接AF

、EF,ABAC=AFBC⊥，1BB⊥平面ABC，AF平面ABC1BBAF⊥，而BC平面11BCCB,1BB平面11BCCB,1BCBBB=AF⊥平面11BCCB．E为1BC中点，1EFBB，112EFBB=，EFDA，EFDA＝，四边形AD

EF为平行四边形，AFDE．DE⊥平面11BCCB．（2）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz−．设()1,0,0B，()0,1,0C，()11,0,2Ba，则()0,

0,Da，()11,0,2Ba，11,,022F．设平面BCD的法向量()000,,nxyz=，则0nBC=，0nBD=，又()1,1,0BC=−，()1,0,BDa=−，故000000x

yxaz−+=−+=，取01x=，得11,1,na=．因为1BC与平面BCD所成的角为30，()11,1,2BCa=−−，所以1|cos,)|sin30nBC=，11nBCnBC=()222121242aa=++，解

得22a=，()1,1,2n=．由（1）知平面1BCB的法向量11,,022AF=，()2222211222cos,=21111+2+22nAFnAFnAF+==+所以二面角1DBCB−−的余弦

值为22．解法3：（1）同解法2．（2）设1ABAC==，12AAa=，则2BC=，22AF=,21BDDCa==+，22212DFADAFa=+=+212122BDCaSBCDF+==，11122BCBSBBBCa==，D到平面1BCB距离22DE=，设1B到面BCD

距离为d，由11BBDCDBCBVV−−=得11133BCBBDCSDESd=，即21212123232aad+=2221ada=+．因为1BC与平面BCD所成的角为30，所以12222sin3021daBCda===+，而在直角三角形1BBC中2

221142BCBBBCa=+=+，所以22242221aaa+=+，解得22a=．因为AF⊥平面11BCCB，BC平面11BCCB,所以AFBC⊥，EF⊥平面11BCCB，BC平面11BCCB所以EFBC⊥，所以BC⊥平面DEFA，DF平面DBC,EF平面1BBC所以EFD

为二面角1DBCB−−的平面角，而22DAAF==,可得四边形DAFE是正方形，所以45EFD=，所以二面角1DBCB−−的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小

，属于中档题.21.椭圆()222210xyEabab+=：＞＞的离心率是53，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时33AB=．（1）求椭圆E的方程；（2）

当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ)22194xy+=；(Ⅱ)见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为53得到2249ba=，于是椭圆方程为2222149xyaa

+=．有根据题意得到椭圆过点33,12，将坐标代入方程后求得29a=，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0Mm，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点M为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线AB的方程，借

助二次方程的知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点M的坐标后根据基本不等式可求出m的取值范围．【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为53，所以22513cbaa=−=，整理得2249ba=

．故椭圆的方程为2222149xyaa+=．由已知得椭圆过点33,12，所以22279144aa+=，解得29a=，所以椭圆的E方程为22194xy+=．（Ⅱ）由题意得直线l的方程为1ykx=+．由221194ykxxy=++=消去y

整理得()224918270kxkx++−=，其中2221849()427()432(31)0kkk=+=++．设()()1122,,,AxyBxy，AB的中点()00,Cxy则1212221827,4949kxxxxkk+=−=−++，所以1202

9249xxkxk+−==+，∴0024149ykxk=+=+，∴点C的坐标为2294,4949kCkk−++．假设在x轴存在点(),0Mm，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点(),0Mm为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．①当0k时，则过点C且

与l垂直的直线方程221944949kyxkkk=−++++，令0y=，则得2554499kxmkkk==−=−++．若0k，则5554124929kkkk=+，∴5012m−．若0k，则55544

1299kkkk=−−+−−，∴5012m．②当0k=时，则有0m=．综上可得551212m−．所以存在点M满足条件,且m的取值范围是55,1212−.【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，

常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形

、换元等方法进行求解．22.已知函数()lnafxxxx=++．（1）若1a=，求曲线()fx在点()()1,1f处的切线方程；（2）对任意的1,2x+，()2exxfxx+恒成立，请求出a的取值范围．【答案】（1）1yx=+（2）1211eln22a−

【解析】【分析】（1）求出函数的导数，当1a=时，可求(1)f、(1)f，根据点斜式求出切线方程．（2）利用参变分类法，已知对任意的1,2x+，()2exxfxx+恒成立，即elnxax

x−对任意的1,2x+恒成立，将问题转化为求函数()elnxvxxx=−在给定的区间上的最小值．【详解】解：（1）因为1a=，所以211()1fxxx=−+，(1)1f=，(1)2f=，所以切线方程为1y

x=+．（2）不等式2()exxfxx+，对任意的1,2x+恒成立，即elnxaxx−对任意的1,2x+恒成立．令()elnxvxxx=−，则()eln1xvxx=−−，令()eln1xxx=−−，则1()exxx=−，易知()x在1,2

+上单调递增，因为121e202=−，(1)e10=−，且()x的图象在1,12上连续，所以存在唯一的01,12x，使得0()0x=

，即001e0xx−=，则00lnxx=−．当01,2xx时，()x单调递减；当0(,)xx+时，()x单调递增．则()x在0xx=处取得最小值，且最小值为000000011()eln1121xxxxxxx=−−=

+−−10=，所以()0vx，即()vx在1,2+上单调递增，所以1211eln22a−．【点睛】本题考查导数的几何意义，及利用导数取函数的最值问题，属于中档题．