【文档说明】天津市河西区2021届高三上学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，3.275 MB，由小赞的店铺上传

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河西区2020—2021学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷共150分，考试用时120分钟一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集33,IxxxZ=−，1,2A=，2,0,2B=−，则()IACB=()A.1B.1

,1,2−C.2D.0,1,2【答案】B【解析】【分析】先利用补集运算求出ICB，即可根据并集运算求出()IACB．【详解】因为33,2,1,0,1,2IxxxZ=−=−−，所以1,1ICB=−，故()IACB=1,1,2−．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的补

集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．2.已知命题:pxR，2230xx++，则命题p的否定是（）A.xR，2230xx++B.xR，2230xx++C.xR，2230xx++D.xR，2230xx++【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定

，改变量词，否定结论，可得出命题p的否定.【详解】命题p为特称命题，其否定为:pxR，2230xx++.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学

生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）A.35B.45C.54D.63【答案】C【解析】【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高

三年级学生的数量占总数的718，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n.【详解】解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，∴高三年级学生的数量占总数的718，∵分层抽样的

方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，∴n＝21718=54.故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的应用，是基础题.4.函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()2=++xfxxa(a为常数)，则()fa

=（）A.12B.32C.32−D.2−【答案】D【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得()010fa=+=，可得当0x时，()21xfxx=+−，利用()()()11faff=−=−即可得解.【详解】函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()2=++xfxxa，()002010f

aa=++=+=，解得1a=−，当0x时，()21xfxx=+−，()()()()211121faff=−=−=+−=−−.故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5.设ln22a=，12log4b=−，3log2c=，则a，b，c的大小关系是（

）A.bacB.abcC.bcaD.acb【答案】A【解析】【分析】直接利用指数和对数的单调性求解.【详解】因为ln221a=，12log42b=−=，30log21c=，所以bac故选：A6.已知

正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（）A.23B.43C.433D.83【答案】B【解析】【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正

方体的体积为38a=，则正方体棱长2a=，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即22212322aaaR++===，故344334333VR===.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生

的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.7.将函数sin3cosyxx=−的图像沿x轴向右平移(0)mm个单位长度，所得函数的图像关于y轴对称，则m的最小值是（）A.12−B.12C.6−D.6【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公

式将函数化为2sin3yx=−，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】sin3cos2sin3yxxx=−=−，将函数的图像沿x轴向右平移(0)mm个单位长度，可

得2sin3yxm=−−，此函数图像关于y轴对称，则()32mkkZ−−=+，解得()56mkkZ=−−，因为0m，则当1k=−时，m取得最小值6.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.8.已知双曲线22221(0,

0)xyabab−=的左顶点与抛物线22(0)ypxp=的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)−−，则双曲线的焦距为（）A.22B.23C.4D.25【答案】D【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质可得22p−=−，进而可得

双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(2,1)−−在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出b，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】抛物线22(0)ypxp=，该抛物线的准线为2px=−，又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交

点坐标为(2,1)−−，点(2,1)−−在直线2px=−上，22p−=−即4p=，抛物线的焦点为(2,0)，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，双曲线的左顶点为(2,0)−，2a=，双曲线的渐近线方程为2byx=，由点(2,1)−−在双曲线的其中一条渐近线上可得(

)122b−=−即1b=，双曲线的焦距222225cab=+=.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9.在梯形ABCD中，//ABCD

，90DAB=，2AB=，1CDAD==，若点M在线段BD上，则AMCM的最小值为（）A35B.920−C.35-D.920【答案】B【解析】【分析】根据//ABCD，90DAB=，2AB=，1CDAD==，建立空间直角坐标系，设,01BMBD=，得到(22,

)M−，再求得,AMCM的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为//ABCD，90DAB=，2AB=，1CDAD==，所以(2,0)(0,1)(1,1)BDC，，，设,01BMBD=所以(22,)M−，所以(22,)AM

=−，(12,1)CM=−−，所以()()()2279·2212157251020AMCM=−−+−=−+=−−，当7=10时，·AMCM的最小值为920−，故选：B.二､填空题：本大题共6个小题，每

小题5分，共30分.10.设aR，若11aii+++是实数，则=a____________．【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11aii+++，利用虚部为零可得结果.【详解】()()()111111aiaiiiii−++=++++−

122112aaiaiia−=++=++−11aii+++是实数，102a−=，得2a=，故答案为2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚

部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11.二项式61xx−的

展开式中的常数项为__________.【答案】15【解析】【分析】由该二项式的通项公式即可得出.【详解】由题意可得，通项为13662662(1)rrrrrrCxxCx−−−−−=，令3602r−=，得4r=，所以常数项为()446115C−=，故答案为

：15.12.过点(3,1)−的直线l与圆224xy+=相切，则直线l在y轴上的截距为__________．【答案】4【解析】【分析】根据题意，分析可得点(3,1)−在圆224xy+=上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可

得结果.【详解】因为22(3)14−+=，所以点(3,1)−在圆224xy+=上，∴切线l的斜率131030k=−=−−−，则切线l的方程为13(3)yx−=+，变形可得34yx=+，所以直线l在y轴上的截距为4；故答案为：4.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线

方程，考查了直线的截距，属于基础题.13.一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是45，则袋中白球的个数为_____；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个

数X的数学期望为_____.【答案】(1).3(2).1.【解析】【分析】设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望.【详解】设袋中有白球m个，则有黑球6﹣m个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，

则P（A）＝1262645mCC−−=，解得26mC−=3，即()()6521mm−−=3，解得m＝3或m＝8（舍），由从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X可能的取值为0,1,2，则P（X＝0）＝14155−=，P（X＝1）11332635CCC==，P（X＝2）43155

5=−=，∴E（X）＝015+135+215=1.故答案为：3，1.【点睛】本题主要考查了组合数的运算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中熟记组合数的计算公式，找出随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查分析问题与解答问题，以及推理与计算

能力.14.已知0,0ab，且33+122ab=++，则2+ab的最小值为______________.【答案】623+【解析】【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)ab+++的最小值，进而求得2+ab的最小值，即可得到答

案.【详解】由题意，设26(2)2(2)zabab=++=+++，又由()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)]()992962222222aabbabababab++++++++=+++=+++++++，当且

仅当()326(2)=22abab++++时，即22(2)ab+=+时等号成立，即z的最小值为962+，所以2+ab的最小值是623+.故答案为623+.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)ab+++的最

小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15.已知函数24,30()23,0xxxfxxx+−=−，若方程()20fxxkx+−−=有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是__________.【答案】2,3223−−【解析】【

分析】方程()20fxxkx+−−=有且只有三个不相等的实数解，可转化为()2yfxx=+−与ykx=图象有三个交点，画出函数图象，数形结合求解k的取值范围.【详解】方程()20fxxkx+−−=有且只有三个不相等的实数解，可转化为()2yfxx=+−与

ykx=图象有三个交点，画出()232,3021,0235,2xxxyfxxxxxx++−=+−=−−，与ykx=图象如图，ykx=与232yxx=++相切时，322k=−，ykx=过点(3,2)−时，23k=−

，根据图象可知，23223k−−时，两图象有三个交点，若方程()20fxxkx+−−=有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围时2[,322)3−−，故答案为：2,3223−−【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出

解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变

形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC的内角,,ABC的对边分别是,,ab

c，满足sin1sinsinbCacAB=−++.（1）求角A的值；（2）若3a=，22b=，求()sin2BA+的值.【答案】（1）3A=；（2）2236−.【解析】【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理角

化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；（2）由正弦定理求得sinB,并根据边的大小关系判定B为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.【详解】解：（1）∵sin1sinsinbCacAB=−++，由正弦定理

得，1bcacab=−++.化简得，222bcabc+−=.由余弦定理得，2221cos22bcaAbc+−==.又0A，∴3A=.（2）由（1）知，3A=，又3a=，22b=，∴sin6sin3bABa==.又ba

，∴23cos1sin3BB=−=.∴22sin22sincos3BBB==，21cos212sin3BB=−=−，∴()223sin2sin2sin2coscos2sin3336BABBB−+=+=+=.【点睛】本题考查

正余弦定理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等难度的题目.关键是熟练利用正弦定理，余弦定理和三角恒等变形计算.17.如图，四棱柱1111ABCDABCD−的底面为菱形，1AA⊥底面ABCD，120BA

D=，2AB=，E，F分别为CD，1AA的中点．（Ⅰ）求证：DF平面1BAE；（Ⅱ）若直线1AD与平面1BAE所成角的正弦值为34，求1AA的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角11BAED−−的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

1AA的长为2（Ⅲ）31010【解析】【分析】（Ⅰ）取1AB的中点G，根据三角形中位线和菱形特点可证得四边形GEDF是平行四边形，从而得到//DFEG，根据线面平行判定定理证得结论；（Ⅱ）通过等腰三角形和线面垂直可证得1,,AAABAE两两互相

垂直，则可将A作为原点建立空间直角坐标系，利用线面角正弦值的向量求法建立关于1AA的方程，解方程得到结果；（Ⅲ）根据二面角的空间向量求法求解出二面角的余弦值，再根据同角三角函数关系得到所求正弦值.【详解】（Ⅰ）证明：取1AB的中点G，连接FG，G

E,FG分别为11,AAAB中点1112FGAB=且11//FGAB，又1112DEAB=且11//DEABFGDE=且//FGDE四边形GEDF是平行四边形//DFEG又DF平面1BAE，EG平面1BAE，//DF平面1BAE（Ⅱ）解：在菱形ABCD中，120BAD=60AD

C=ACD是等边三角形，又E为CD中点AECD⊥，又//ABCDAEAB⊥又1AA⊥平面ABCD1AAAB⊥，1AAAE⊥则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设()10AAtt=则(

)0,0,0A，()12,0,Bt，()0,3,0E，()11,3,Dt−()11,3,ADt=−设平面1BAE的法向量(),,nxyz=()12,0,ABt=，()0,3,0AE=100nABnAE=

=，即2030xtzy+==令2z=−，则xt=，0y=(),0,2nt=−设直线1AD与平面1BAE所成的角为则1122123sin,44cs4ottADnADnADntt−−====++解得

：2t=，即1AA的长为2（Ⅲ）设平面1DAE的法向量()111,,mxyz=()0,3,0AE=，()11,3,2AD=−100mAEmAD==，即111130320yxyz=−++=令11z=，则10y=，12x=()2,

0,1m=设二面角11BAED−−的平面角为则421cos2250c,1osmnmmnn−====310sin10=，即二面角11BAED−−的正弦值为31010【点睛】本题考查线面平行关系的证明、利用线面角求解其他量、二面角的求解问题，考查学生对于向量法求解立体

几何中角度问题的掌握，考查学生的计算能力，属于常规题型.18.设等差数列na的公差为d，d为整数，前n项和为nS，等比数列nb的公比为q，已知11ab=，22b=，dq=，10100S=，*nN

（1）求数列na与nb的通项公式；（2）设nnnacb=，求数列nc的前n项和为nT.【答案】（1）na＝2n﹣1，12nnb−=（2）12362nnnT−+=−【解析】【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式．（2）化简数列的

通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【详解】解：（1）有题意可得：1110451002adad+==，解得1929ad==（舍去）或112ad==，所以na＝2n﹣1，12nnb−=．（2）∵nnnacb=

，1212nnnc−−=，∴2313572112222nnnT−−=+++++①，2345113579212222222nnnT−=++++++②，①﹣②可得221111212323222222nnnnnnT−−+=++++−=−，故1

2362nnnT−+=−．【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出

“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，点A为椭圆的右顶点，点B为

椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且FAB的面积是312+．Ⅰ.求椭圆C的方程；Ⅱ.设直线1xmy=+与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为1P（1P与Q不重合），则直线1PQ与x轴交于点H，求PQH面积的取值范围．【答案】I.2214xy

+=；II.330,2PQHS【解析】【分析】I.根据离心率和FABS以及222abc=+可求得,,abc的值，从而得到椭圆方程；II.联立直线方程与椭圆方程，假设,PQ坐标，可得1P坐标及根与系数的关系式：12224myym+=−+，12234yym=−+；根据直线1P

Q的两点式方程表示出H点坐标，代入根与系数关系式可求得()4,0H，从而将所求面积变为：()21212342yyyy+−，换元整理后得到26611PQHtSttt==++，利用3t求得所求面积的取值范围.【详解】I.由32

cea==得：32ca=则()1133112222FABSacbab=+=+=+2ab=则22222434abcaa=+=+，解得：2a=，则1b=，3c=椭圆C的标准方程为：2214xy+=

II.由1P与Q不重合可知：0m联立22114xmyxy=++=，整理可得：()224230mymy++−=，0m设()11,Pxy，()22,Qxy，则()111,Pxy−则12224myym+=−+，12234yym=−+直线1PQ的

方程为：()211121yyyyxxxx++=−−令0y=，解得：212112112112xxxyxyxxyyyyy−+=+=++又111xmy=+，221xmy=+则()()()211212121212121211221myymyymyyyymyyxyy

yyyy+++++===++++2266411314224mmmmmm−−+=+=+=+=−−+即直线1PQ与x轴交点为：()4,0H()()2212121221363414224PQHmSyyyyyym+=−−=+−=+，0m令233tm=+，则223mt=−2

6611PQHtSttt==++当3t时，1tt+单调递增，则1433tt+663312433tt=+，又601tt+330,2PQHS【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知条件确定出H点坐标，从而将所求面积

转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题.20.已知函数()()sincos4=−+xfxexx，函数()2cos=−gxxx，其中2.71828e=是自然对数的底数.（1）

求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）设函数()()()xxhfgxa=−(aR)，讨论()hx的单调性；（3）若对任意50,12x，恒有关于x的不等式cos0+−xxmxe成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）430xy−+=.（2

）答案见解析.（3）)1,+【解析】【分析】（1）由函数()()sincos4=−+xfxexx，求导得到()()2sin4=+xfxex，再求得()0f，()0f，写出切线方程（2）易得()()=

−hxfx()agx()()2sin2=−+xeax，由sin20x+在xR上恒成立，根据20−xea，分0a，0a讨论求解.（3）根据对任意50,12x，恒有关于x的不等

式cos0+−xxmxe成立，转化为cos0−−xexxm，对任意50,12x恒成立，设()cos=−−xxexxm(50,12x，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）因为()()sincos4=−+xfxex

x所以()()()()sincos4cossin2sin4xxxfxexxexxex=−+++=+，所以()04f=.因为()03f=，所以()340yx−=−，即所求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为430xy−+=.（2）易知，函数()hx的定义域为R，()2sin=+

gxx，且有()()=−hxfx()agx()()()()2sin4sin22sin2=+−+=−+xxexaxeax.因为sin20x+在xR上恒成立，所以①当0a时，20−xea在xR上恒成立，此时()0hx，所以，()hx在区间(),−+上单调递增.②当0a时，

由()0hx，即20−xea，解得ln2ax；由()0hx，即20−xea，解得ln2ax.所以，()hx在区间,ln2−a上单调递减；在区间ln,2+a上单调递增.（3）因为对任意50,12x

，恒有关于x的不等式cos0+−xxmxe成立，所以cos0−−xexxm，对任意50,12x恒成立，设()cos=−−xxexxm(50,12x).易得()()cossin1=−−xx

exx，50,12x.令()()cossin1=−−xtxexx，50,12x，所以()()2sin=−xtxex.显然，当50,12x时，()0tx恒成立

.所以函数()tx在50,12x上单调递减，所以()()00txt=，即()0x在50,12x恒成立.所以，函数()x在50,12x上单调递减.所以有()()max010==−xm，所以m1.故所求实数m的取值范围是)1,+

.【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.