【文档说明】黑龙江省大庆市2021届高三下学期第一次教学质量检测数学（文）试题 含答案.docx，共(16)页，773.103 KB，由小赞的店铺上传

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大庆市高三年级第一次教学质量检测试题文科数学2021.03注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用B2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．

写在本试卷上无效．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合11Mxx=−,220Nxxx=−，则MN=A.10xx−B.12xx−

C.01xxD.12xxx或2.已知i是虚数单位，复数z满足3zii=−，则z=A.13i−+B.13i−−C.13i+D.13i−3.“ab”是“22acbc”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知||2a=，||

1b=，且a与b的夹角为3，则()abb+=A.31+B.1C.2D.35.已知数列1na是公比为12的等比数列，且24a=，则6a=A.64B.32C.14D.1166.某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如

图所示，学生的成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其中数学成绩在80分以上的学生有A.35名B.30名C.25名D.20名7.设()fx是定义域为R的偶函

数，若()fx在(0,)+上单调递增，则3()2f,2(log3)f,12(log3.1)f的大小关系为A.1223(log3.1)(log3)()2fffB.2123(log3)(log3.1)()2fff

C.1223()(log3.1)(log3)2fffD.2123()(log3)(log3.1)2fff8.常用的A4打印纸的长宽比例是2:1，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域

有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是A.285米

B.268米C.255米D.248米9.已知函数()sin()fxx=+（0，||）的图象过点2(,1)3，且相邻两个零点的距离为2.若将函数()fx的图象向左平移4个单位得到函数()gx的图象，则函数()gx的解析式为A.()

sin23gxx=−B.7()sin212gxx=−C.17()sin224gxx=+D.15()sin212gxx=+10.如图，已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD−，,,EFG分别为1,,ABCDAD的中点,则异面直线1

AG与EF所成角的余弦值为A.0B.1010C.22D.111.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在

直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点1,14A，平行于对称轴的光线经过点A反射后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为A.2B.174C.258D.25412.已知函数2()1xfxx=+，若函数()yfxa=−有两个零点，则实数

a的取值范围是A.11,22−B.11,00,22−C.10,2D.11,22−第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，

考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}na的前n项和为nS，且2nSn=，则na=________．14.若双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点到其中一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为________．15

.现有一个高为4的正三棱柱容器（厚度忽略不计），其外接球的表面积为32，则能放入该容器的最大的球的体积为________．16.用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最

大值为________3m（不计损耗）．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且4B=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sinA的值；①5b=，2c=；②3a=，2

c=.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.（2）若5b=，3ac+=，求ABC的面积．18.（本小题满分12分）2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光

荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．（1）第一期志愿活动需从

高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以1

0天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.

420.219.320.618.3借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，,MN分别为,PCCD的中点，2P

DAD==，4AB=．（1）求证：BNAM⊥；（2）求点P到平面AMD的距离．20.（本小题满分12分）已知焦点在x轴上的椭圆C：22221(0)xyabab+=，短轴长为23，椭圆左顶点A到左焦点1F的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为B

，过1F的直线l与椭圆C交于点,MN，且1827BMNS=，求直线l的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()1xfxeax=−−．（1）当1a=时，求()fx的极值；（2）若2()fxx在[

0,)+上恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系

，直线1:()3lR=与直线2:3cossin40l+−=交于点P．（1）求点P的直角坐标；（2）若直线2l与圆C：3cos3sinxy==（为参数）交于,AB两点，求||||PAPB的值．23.（本小题满分10分）选修4-5

：不等式选讲已知函数()fx=1(0)xxaaa++−．（1）当1a=时，求不等式()4fx的解集；（2）证明：()fx2．大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.题

号123456789101112答案ADBCACDDCACD二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.21n−；14.52；15.43；16.916.三.解答题17.（本小题满分12分）解：（1）选择条件①（法

一）由余弦定理2222cosbacacB=+−得2230aa−−=，所以3a=.……………3分由正弦定理sinsinbaBA=得sin310sin10aBAb==.……………6分（法二）由正弦定理sinsinbcBC=得sin5sin5cBCb==.……………2分因为cb，所以4CB

=，所以25cos5C=，…………….4分所以310sinsin()sincoscossin10ABCBCBC=+=+=.…………….6分选择条件②由余弦定理2222cos5bacacB=+−=得5b=.

…………….3分由正弦定理sinsinbaBA=得sin310sin10aBAb==.…………….6分（2）由余弦定理2222cosbacacB=+−得2252acac=+−，…………….8分所以25()(22)9(22)acacac=+−+

=−+，得422ac=−.…………….10分所以1sin212ABCSacB==−.…………….12分18.（本小题满分12分）解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为12212621=，所以高一抽取263621

=人，高二抽取242421=人，高三抽取221221=人.……………3分（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），………4分则抽出两人的基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，3）

，（2，4），（2，5），（2，6）（3，4），（3，5），（3，6）（4，5），（4，6）（5，6）共15个基本事件，……………6分其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4

），共6个基本事件.……………8分记抽出两人都是高二学生为事件A，则62()155PA==，所以高二学生都在同一组的概率是25.……………9分（3）法一、（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，因为20.5<23.5，所以宣传节约粮食活动的效果很好.……………1

2分法二：（茎叶图）画出茎叶图前10天后10天2255122486542325221352024681934183因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.……………12分19.（本小题满分12分）解：（1）证明：连

接MN、AN.因为M、N分别为PC、CD的中点，所以MN∥PD.因为PD⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD.因为BN平面ABCD，所以MNBN⊥.……………..2分因为ABCD为矩形，2AD=，2DNCN==，所以22ANBN==，所以，在ABND中，222ANBNAB+=，所以A

NBN⊥.……………..4分因为MNANN=，所以BN⊥平面AMN，所以BNAM⊥.……………..6分（2）法一：过P作PEDM⊥，垂足为E.因为PD⊥平面ABCD，所以PDAD⊥.因为ADCD⊥，PDCDD=，所以

AD⊥平面PCD.……………..8分因为PE平面PCD，所以ADPE⊥.又ADDMD=，所以PE⊥平面ADM，所以PE的长即为点P到平面AMD的距离.……………..10分因为M为PC中点，所以122PDMPDCSS==，152DMPC==.又12PDMSPEDM

=，解得455PE=，所以点P到平面AMD的距离为455.……………..12分法二：因为PD⊥平面ABCD，所以PDAD⊥.因为ADCD⊥，PDCDD=，所以AD⊥平面PCD.……………..8分因为DM平面PCD，所以

ADDM⊥.因为M为PC中点，所以122PDMPDCSS==，152DMPC==，所以1433APDMPDMVSAD−==，152ADMSADDM==.……………..10分设点P到平面AMD的距离为h，由1433APDM

ADMVSh−==得455h=，所以点P到平面AMD的距离为455.……………..12分20．（本小题满分12分）解：（1）由2222231bacacb=−=−=得321bac===，……………..3分所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.……………4分法一：由题

意可知，直线斜率不为0，1(1,0)F−，设直线l的方程为1xmy=−.……………5分设11(,)Mxy，22(,)Nxy，由221431xyxmy+==−得22(34)690mymy+−−=，所以122634myym+=+，122934yym−=+.……

………7分因为1112112111||||||||||||222BMNSBFyBFyBFyy=+=−……………8分2112121||()42BFyyyy=+−22181182347mm+==+，……………10分解得1m=，所以直线l的方程为10xy−+=或10xy++

=.……………12分法二：由（1）知1(1,0)F−，(2,0)B，当直线l斜率不存在时，||3MN=，点(2,0)B到直线:1lx=−的距离为3，所以918227BMNS=，所以直线l斜率存在.……………5分设直线l斜率为k，

则直线l的方程为(1)ykx=+.设11(,)Mxy、22(,)Nxy，由22143(1)xyykx+==+得2222(34)84120kxkxk+++−=，所以2122834kxxk−+=+，212241234kxxk−=+.……………7分所以2222121

21212||()()1()4MNxxyykxxxx=−+−=++−22222222222284(412)144(1)12(1)113434(34)34kkkkkkkkkk−−++=+−=+=

++++.因为点(2,0)B到直线l的距离为2|3|1kdk=+，……………9分所以2221112(1)|3|182||223471BMNkkSMNdkk+===++，所以21k=，得1k=，…………

…11分所以直线l的方程为10xy−+=或10xy++=.……………12分21.（本小题满分12分）解：（1）当1a=时，()1xfxex=−−，所以()1xfxe=−.……………2分当0x时()0fx当0x时()

0fx，所以()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，……………4分所以当0x=时函数()fx有极小值(0)0f=.……………6分（2）法一：因为2()fxx在[0,)+上恒成立，所以210x

exax−−−在[0,)+上恒成立.当0x=时00恒成立，此时aR.……………8分当0x时1()xeaxxx−+在(0,)+上恒成立.令1()()xegxxxx=−+，则2222(1)1(

1)((1))()()xxexxxexgxxxx−−−−+=−=.由（1）知0x时()0fx，即(1)0xex−+.……………10分当01x时()0gx；当1x时()0gx，所以()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以当1x=时，

min()2gxe=−，所以2ae−.综上可知，实数a的取值范围是(,2]e−−.……………12分法二：因为2()fxx在[0,)+上恒成立，所以21xexax++，即211xxaxe++在[0,)+上恒成立.令21()xxaxgxe++=，则(1)((1))()xx

xagxe−−−−=.……………7分（1）当11a−=，即0a=时2(1)()0xxgxe−−=恒成立，所以()gx在[0,)+上单调递减，所以()(0)1gxg=上恒成立.……………8分（2）当11a−即0a时，当01x时，()0gx；当11xa

−时，()0gx；当1xa−时，()0gx；所以()gx在(0,1),(1,)a−+上单调递减，在(1,1)a−上单调递增.又(0)1g=，12(1)aagae−−−=，由（1）知0x时(1)0xex−+，所

以1(11)0aea−−−+，即12aea−−，所以12(1)1aagae−−−=，满足恒成立.……………10分（3）当011a−即01a时，当01xa−时，()0gx；当11ax−时，()0gx；当1x时，()0gx；所以()gx在(0,1)

,(1,)a−+上单调递减，在(1,1)a−上单调递增.又(0)1g=，2(1)age+=，所以21ae+，即2ae−，所以02ae−.（4）当10a−即1a时，()gx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，又(0)1g=，所以()1gx不恒成立，综上可知，

实数a的取值范围是(,2]e−−.……………12分22.（本小题满分12分）解：（1）法一：联立33cossin40=+−=，……………1分解得433=，……………2分所以点P的极坐标为43,33，……

………3分所以点P的直角坐标为4323cos33343sin233xy====，即23,23P.……………5分法二：直线1l的直角坐标方程为3yx=①……………2分直线2l的直

角坐标方程为340xy+−=②……………4分联立①②解方程组得2332xy==，所以点P的直角坐标为23,23.……………5分（2）直线2l的直角坐标方程为340xy+−=，倾斜角为120°，所以直线2

l的参数方程为32233212txyt==+−（t为参数）①……………7分圆C的普通方程为229xy+=②将①代入②得24311033tt+−=.……………8分设点,AB对应的参数分别为12,tt，则121211||||||||||3PAPBtttt===.……………10分23

.（本小题满分12分）解：（1）当1a=时，()11fxxx=++−.当1x−时，()1124fxxxx=−−−+=−，解得2x−；当11x−时，()1124fxxx=+−+=，无解；当1x时，()1124fxxxx=++−=，解得2x；……………3分综上所述：()4fx的

解集为2xx−或2x..……………5分（2）111xxaxaxxaxaaa++−=++−++−.……………7分12aa=+，.……………9分当且仅当1a=时等号成立，所以()fx2..……………10分