【文档说明】新课衔接站03 7.4 认识三角形（解析版） 知识精讲-2020-2021学年七年级数学寒假学习精编讲义（苏科版）.docx，共(13)页，264.200 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年苏科版七年级数学寒假学习精编讲义新课衔接站037.4认识三角形知识点1：三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．细节剖析（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成

的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形A

BC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．知识点2：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.细节剖析

（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求

第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．知识点3：三角形的分类1.按角分类：直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形细节剖析①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：

不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形细节剖析①不等边三角形：三边都不相等的三角形．②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角

．③等边三角形：三边都相等的三角形.知识点4：三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列

表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边

相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC

于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平

分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．90°)1

2BC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中

线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．知识点5：三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.细节剖析（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活

中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形

状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．考点1：三角形【例1】（2020春•淮阳区期末）下列说法：（1）一个等边三角形

一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原命题是真命题；（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三

角形，原命题是假命题；（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原命题是假命题；（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；故选：A．【变式1-1】（2018春•道外区期末）如图，以AB为边的三角形共有（）个．A．5B．4C．3D．2【解答】解：以AB为边的三角形共有3

个，它们是△ABC，△ABE，△ABD．故选：C．【变式1-2】（2020春•江都区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形共有个．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．

故答案为：6【变式1-3】（2018春•泌阳县期末）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有对．【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．

故答案为：3．【变式1-4】（2016秋•西青区期末）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…（1）完成下表：连接个数出现三角形个数（2）若

出现了45个三角形，则共连接了多少个点？（3）若一直连接到An，则图中共有个三角形．【解答】解：（1）连接个数123456出现三角形个数3610152128（2）8个点；（3）1+2+3+…+（n+1）[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]

（n+1）（n+2）．故答案为（n+1）（n+2）．考点2：三角形的角平分线、中线和高【例2】（2020秋•涪城区校级期末）下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（）A．B．C．D．【解答】解：BE不是△ABC的高线的图是C，故选：C．【变

式2-1】（2020秋•建华区期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这

个三角形是直角三角形．故选：C．【变式2-2】（（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有个．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有

6个．故答案为：6【变式2-3】（（2018秋•兴义市期末）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC的．（填“中线”或“角平分线”）【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△C

FD（AAS），∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线．故答案为中线．【变式2-4】（（2019春•洛宁县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13

cm，求AC的长．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD＝BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．∴AC﹣AB＝5cm．又∵AB+AC＝13cm，∴AC＝9cm．即AC的长度是9cm．

【变式2-5】（（2017秋•东湖区月考）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，求AC的长．【解答】解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm，∴BD＝15﹣6﹣5＝4cm，∵A

D是BC边上的中线，∴BC＝8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC＝21﹣6﹣8＝7cm．故AC长为7cm．考点3：三角形的稳定性【例3】（（2020秋•新宾县期末）如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框ABCD不变形，常用木条EF将其固定，

这种做法的依据是（）A．两点之间线段最短B．长方形的对称性C．四边形具有不稳定性D．三角形具有稳定性【解答】解：常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．故选：D．【变式3-1】（（2020秋•黄陂区期中）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在

窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：A．【变式3-2】（2017秋•鼓楼区期末）如图，自

行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有．【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．【变式3-3】（2016秋•孝义市期中）在建筑工地上，我们经常可以看见如图所示的用木条EF固定长方形ABCD门框的情形

，这种做法的根据是．【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【变式3-4】如图，由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的，请你再用三条钢管连接使之稳固（方法很多，请提供四种不同连接方法）【解答】解：

如图所示．．【变式3-5】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？【解答】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；五边形木架，至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；六边形木架，至少要

再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使多边形变成（n﹣2）个三角形．考点4：三角形三边关系【例4】（2020秋•五常市期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．4，5，10B．7，6，8C．3.3，1.2，1.

1D．4，2，6【解答】解：A、4+5＜10，不能组成三角形；B、6+7＞8，能够组成三角形；C、1.2+1.1＜3.3，不能组成三角形；D、2+4＝6，不能组成三角形．故选：B．【变式4-1】（2020秋•抚顺县期末）四组木条（每组3根）的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（）A．

B．C．D．【解答】解：A、2+2＜5，不能构成三角形；B、2+2＝4，不能构成三角形；C、2+3＝5，不能组成三角形；D、3+2＞4，能够组成三角形．故选：D．【变式4-2】（2020春•泰州月考）三角形的三边长为4，a，7，则a的取值范围是．【解答】解：∵

三角形三边长为4，a，7，∴a的取值范围是：3＜a＜11．故答案为3＜a＜11．【变式4-3】（2020秋•防城区期中）三角形的三边长分别为3、7、a，且a为偶数，则这个三角形的周长为．【解答】解：∵7﹣3＜a＜7+3，∴4＜a＜10，又∵第三边是偶数，∴a的值：6或8；∴三角形的

周长为：3+6+7＝16或3+8+7＝18．故答案为：16或18．【变式4-4】（2020秋•开州区校级月考）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一

条边长的3倍少2米．①用含m的式子表示第三条边长；②第一条边长能否为10米？为什么？③若第一条边长最短，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵第二条边长为（3m﹣2）米，∴第三条边长为50﹣m﹣（3m﹣2）＝（52﹣4m

）米；（2）当m＝10时，三边长分别为10，28，12，由于10+12＜28，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米；（3）由题意，得，解得m＜9．【变式4-5】（2019秋•瑶海区期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△A

BC的形状；（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c＝

4，5，6，∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．