【文档说明】重庆市长寿川维中学校2022届高三上学期8月适应性考试（二）数学试题 含答案.doc，共(9)页，993.500 KB，由小赞的店铺上传

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数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合1,25,5Ax=，21,Bx=，若ABA=，则实数x的值为（）A.0B.5−C.0或5−D.0或52.已知复数1i1iz−=+，则zz

+在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数()1ln5fxxx=−−的零点为0x，则不等式02xx−的最小整数解为（）A.3B.4C.5D.64.函数()3cossin42xxfxx=+在2,2−上的图象大致为（）A.B.C.D.5.为了衡量星

星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念.星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天

体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lglgmmEE−=−，其中星等为km的星的亮度为kE（1,2k=）.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当

x较小时，21012.32.7xxx++）A.1.27B.1.26C.1.23D.1.226.已知a，b为正实数，直线2yxa=−与曲线()lnyxb=+相切，则12ab+的最小值是（）A.6B.42C.8D.227.已知e是自然对数的底数，关于x的

方程2xex−=有两个不同的解1x，2x（12xx），则（）A.11x，23xB.11x，23xC.212xxeD.121142xx+8.已知偶函数()fx，当0x时，()()2ln1fxxx=+−，若()2log3af=−，()32log2bf=

，54cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.acbC.cabD.cba二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分。9.下列命题为真命题的是（）A.xR，不等式sincos2xx+B.若0x，且1x，则lglog102xx+C.命题“若0ab，且0c，则ccab的逆否命题”D.若命题“pq”为假命题，则p，q均为假命

题10.已知函数()xxfxeex−=++，则下列结论正确的是（）A.()fx是奇函数B.()fx在)0,+上单调递增C.若0x，则212fxex++D.若()()11fxf−−，则02x11.已知函数()1xfxx=−+，则函数具有下列性质（）A.函数()f

x的图象关于点()1,1−−对称B.函数()fx在定义域内是减函数C.函数()fx的图象关于直线1x=−对称D.函数()fx的值域为()()1,,1−−−+12.若函数()fx的定义域为R，且存在非零常数T，对任意的xR，都有()

()fxTfxT+=+，则称()fx为类周期函数，T为()fx的类周期.则（）A.函数()fxx=−为类周期函数B.函数()2xfx=为类周期函数C.若函数()fx为类周期函数，则函数()()Fxfxx=

−为周期函数D.若函数()sinfxxkx=+为类周期函数，则常数1k=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知幂函数()()233afxaax=−−在()0,+为增函数，则实数a的值为______.14.请写出一个同时满足下列三个条件的函数()f

x：______.①()fx是偶函数：②()fx在()0,+上单调递减；③()fx的值域是()0,+.15.已知()()ln2fxx=−，把()fx的图象向左平移2个单位，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）得到函数()

gx的图象，则()gx=______.16.已知函数()212axaxfxxe+=+−（0a）.若存在01x，使得()02fxa，则实数a的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（1

0分）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足10a，212nnaaS+=（*nN）.（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nb满足：2lognnba=，求数列nb的前

n项和.18.（12分）在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.已知37a=，3b=，120A=.（1）求ABC△的面积；（2）A的角平分线交边BC于点D，求AD的长.19.（12分）随着城市规模的扩大和

人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20

152015~2020时间变量ix12345纯增数量iy（单位：万辆）3691527其中1,2,3,i=，时间变量ix对应的机动车纯增数据为iy，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y（单位：万辆）具

有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量y（单位：万辆）关于时间变量x的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程ybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()(

)1122211nniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx====−−−==−−；aybx=−.（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进

行了统计，得到如下的22列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车8515100有私家车7525100合计16040200根据上面的列联表判断，能否有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.附：()()()()()22nadbcKabcd

acbd−=++++，nabcd=+++.()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）如图，正方体1111A

BCDABCD−的棱长为2，点F在棱1CC上，点E在棱1AA上.（1）若1AECF=（如图1），求证：B、F、1D、E四点共面；（2）若E为1AA的中点，过B、E、F三点的平面记为，平面与棱1DD相交

于G点（如图2），平面将正方体分割所成的上下两个部分的体积分别为1V、2V，若1253VV=，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.图1图221.（12分）设椭圆22221xyab+=（0ab）上的任意一点动点M，上顶

点为A.（1）当上顶点A坐标为()0,1，离心率32时，求MA的最大值；（2）过点M作圆2223bxy+=的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求EOF△面积的最小值.22.（12分）已知()

1ln12xxfxx−=−+.（1）求函数()fx的单调区间：（2）设0a，0b，ab，求证：lnln2abababab−+−.数学试题答案1-4CADA5-8BCDD9.ACD10.BCD11.AD12.CD13.414.()2fx

x−=、1x（答案不唯一）15.()ln2x−.16.212,0e−−17.解（1）21nan=−.（2）由（1）知212nnb−=，数列nb是首项为2，公比为4的等比数列，前n项和nT，所以()()214241143nnnT

−−==−.18.解：（1）2222cosAabcbc=+−，23793cc=+−，23280cc+−=，4c=，1sin332ABCSbcA==△.（2）法1：由11134sin1203sin604sin60222ABCSADAD==+△得127A

D=.法2：由三角形内角平分线定理，34BDABCDAC==，4377BD=，在三角形ABD中，根据余弦定理得22243742674cos0ADAD=+−，21924049ADAD−+=，解得127AD=或167（舍去）.19.解：（1）由年度

周期12345纯增数量（单位：万辆）3691527所以3x=，12y=，51132639415527237iiixy=+++=+=.()12222222212375312575.755451234553n

iiiniixynxybxnx==−−====−++++−−.因为ybxa=+过点(),xy，所以5.7yxa=+，5.1a=−，所以5.75.1yx=−.2025~2030年时，7x=，所以5.775.134.8y=−=

，所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（Ⅱ）根据列联表，由()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++得观测值为()22200253.12510085251575100160084K−=

==，3.1253.841，所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.20.解：（Ⅰ）在1BB上取点H，使1BHCF=，在正方形11BCCB中，四边形1BFCH是平行四边形，所以1//BFHC且1BFHC=，又因为11

AEBH=，可得11//EDHC且11EDHC=，所以1//EDBF且1EDBF=，所以B、F、1D、E四点共面.（Ⅱ）连接BG，BD，则2BCFGDBDGEAVVV−−=+，设CFt=，则1DGt=+，()2111112222

213232tttVt++++=+=+，所以()()8215213tt−+=+，解得12t=，如图，以B为坐标原点，分别以BC、BA、1BB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz−.则()0,0,0B，()0,2,1E），12,0,2F

.设平面BEGF法向量为(),,nxyz=，由00BEnBFn==得201202yzxz==令2z=，得1,1,22n=−−.又平面ABCD法向量为()0,0,1m=，所以22421cos,21111

42mnmnmn===++，所以平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为42121.21.（1）椭圆方程为2214xy+=，设(),Pxy，则()()22222211614121325333M

Axyyyyyyy=+−=−+−+=−−+=−++，当13y=−时，MA的最大值为433；（2）设()00,Mxy，()11,Pxy，()2,Qxy，由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以000x

y，则直线MP和MQ的方程分别为2113bxxyy+=，2223bxxyy+=.因为点M在MP和MQ上，所以有210103bxxyy+=，220203bxxyy+=，则P，Q两点的坐标满足方程2003bxxyy+=，所以直线PQ的方程为2003b

xxyy+=，可得20,03bEx和200,3bFy，所以4001218EOFbSOEOFxy==△，因为22222200bxayab+=，222200002bxayabxy+，所以002

abxy，所以4300189EOFbbSxya=△，当且仅当222222002abbxay==时取“=”，故EOF△面积的最小值为39ba.22.解：（1）定义域为()0,+，()()()()()()222111

102121xxxfxxxxx+−−−=−=−++恒成立，所以函数()fx在()0,+为减函数.（2）不妨设0ab.先证lnln2ababab−+−，只要证lnln2ababab−−+，即1ln21aabbab−+，即1ln021

aabbab−−+，令axb=，1x，则需证1ln012xxx−−+，由（1）知，()1ln12xxfxx−=−+在()0,+为减函数.当1x时，()()1ln112xxfxfx−=−+，又()10f=，所以1ln012xxx−−

+，即lnln2ababab−+−得证。下面再证lnlnababab−−，即证lnaabbba−，令atb=，1t，只要证12lnttt−，12ln0ttt−−.令()12lngt

ttt=−−，（1t），()()22212110tgtttt−=−−=−恒成立，()gt在()1,+为减函数，()()1gtg，即得12lnttt−，所以lnlnababab−−成立.