【文档说明】江苏省南京市金陵中学2022届高三上学期8月学情检测考前热身卷数学试题 含答案.docx，共(11)页，717.983 KB，由小赞的店铺上传

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金陵中学高三上学情检测考前热身卷数学一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．已知非零向量a，b，那么“a､b的夹角为钝角”是“0ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充

分也不必要条件2．设,UR=集合2320Axxx=−+，111Bxx=+，则()UAB=ð（）A．()()0,12,+B．((),12,−−+C．()()(),10,12,−−+D．(()(),10,12,−−+3．已知0x，0y，且113xy

yx+=−，则y的最大值为（）A．1B．12C．2D．134．某课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi=得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面

四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．yabx=+B．2yabx=+C．exyab=+D．lnyabx=+5．九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为()fn，(1

)()nafnfn=++，研究发现{an+1}是等比数列，已知(1)1,(2)2,(3)5fff===，则7a=（）A．127B．128C．255D．2566．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖

．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱

锥的侧面等腰三角形的顶角为2，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）．A．21sin−B．21cos−C．12sinD．12cos7．已知定义在R上的奇函数()fx满足()()2fxfx=−，当1,1x−时，()3fxx=，若函数()()()2g

xfxkx=−−的所有零点为()1,2,3,,ixin=，当号317k时，1niix−=（）A．6B．8C．10D．128．已知实数m，n满足()2251mn++=，则对于任意实数a，()()222aman−+−的最小值为（）A．4B．16C．17D．25二、多项选择题（本大题共

4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若函数()sin||cos2fxxx=−，则（）A．()fx是周期函数B．()fx在,−上有4个零点C．()fx在0,2上是增函数D．()fx的最小值为1−10．已知P为双曲线2213x

y−=上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是（）A．∠APB＝23B．k1k2＝13−C．mn＝34D．|AB|≥94

11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的

体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若()831mfxxnx=−，则（）A．()fx的展开式中的常数项是56B．()fx的展开式中的各项系数之和为0C．()fx的展开式中的二项式系数最大值是70D．()16fi=−，其中i为虚数

单位12．已知数列{}na满足：111,1nnnaaaa+=+=，设(n)lnnbanN=，数列nb的前n项和为nS，则下列选项正确的是ln20.693,ln3(9)1.09（）A．数列21n

a−单调递增，数列2na单调递减B．+1ln3nnbb+C．2020693SD．212nnbb−三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．()()10121xx−+的展开式中10x的系数为

_____.14．已知3sincos3−=，则sin2=___________.15．如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为___________．16．

已知函数3()fxxmxn=++，对任意的[2,2]x−，使得()2fx，则mn+=___________.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）在①数列na为递增的等比数列，37S=，且23a是13a+和34a+的等差中项，②21,nnSn=−

N这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．已知数列na的前n项和为nS，____，11nnnnabSS++=，设数列nb的前n项和为nT，是否存在实数k，使得nTk恒成立？18．（本题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对的边

分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足22243()Sabc=+−．（1）求角C的大小；（2）若边长2c=，求ABC的周长的取值范围．19．（本题满分12分）某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种

小麦的最佳播种日期，把一块地均分为A，B两块试验田（假设A，B两块试验田地质情况一致），10月10日在A试验田播种该新品种小麦，10月20日在B试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测

其千粒重（单位：g），按照[20，30)，[30，40)，[40，50]进行分组，得到如下表格．其中千粒重不低于40g的小麦视为饱满，否则为不饱满．[20，30)[30，40)[40，50]A试验田/份479B试验田/份7103（1）完成下面的22列联表，并判断是否有9

5%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；10月10日播种10月20日播种合计饱满不饱满合计（2）从A，B两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；（3）用样本估计

总体，从A试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为X，求数学期望()EX．参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．P（20Kk）0.150.100.050.0250.0100.0010k2.0722.7063.84

15.0246.63510.82820．（本题满分12分）如图，1O，2O分别是圆台上下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，122ABOO=，点P是下底面内以2AO为直径的圆上的一个动点（点P不在2AO上）.（Ⅰ）求证：平面1APO⊥平面12POO；（Ⅱ）若122OO=，PAB45=，求

二面角1APOB−−的余弦值.21．（本题满分12分）已知点()2,0B−，()2,0C，ABC的周长等于442+，点M满足2OAOM=.（1）求点M的轨迹E的方程；（2）是否存在过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，与圆()227:23Fxy−+=交于R，S两点（其中

点R在线段PQ上），且PRQS=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22．（本题满分12分）已知函数()2xfxxeaxa=−+()aR．（1）当0a=时，求()fx在22−,上的最值

；（2）设()22xgxeax=−，若()()()hxfxgx=−有两个零点，求a的取值范围．一、单项选择题12345678ADDDCACB二、多项选择题三、填空题13.409614.2315.5152−16.-3四、解答题17.解：若选①时，数列na为公比为q的递增的等比数列，37S=，且2

3a是13a+和34a+的等差中项，故()()1232137334aaaaaa++==+++，解得22a=，整理得2227qq++=，故2q=或12（舍去），所以12nna−=．所以()()11112112

1212121nnnnnnnnnabSS++++===−−−−−．所以11111111111337212121nnnnT++=−+−++−=−−−−，当1k³时，使得nTk恒成立，故k的最小值

为1．若选②时，21nnS=−，当1n=时，11a=所以112nnnnaSS−−=−=，（首项符合通项），9101112BCACBCABC所以()()111121121212121nnnnnnnnnabSS++++===−−−−−．所以11111111111337

212121nnnnT++=−+−++−=−−−−，当1k³时，使得nTk恒成立，故k的最小值为1．18.（1）ABC的面积S满足22243()Sabc=+−，由面积公式和余弦定理得14sin32cos2abCabC=，则sin3cosCC=，即tan3C=，又0C，所以3C

=．（2）因为2c=，3C=，所以由正弦定理得243sinsin332abAB===，则ABC的周长434343sinsin2(sinsin)2333abcABAB++=++=++43231[sinsin()]24(sincos)24sin()233226AAAAA=+−+=++=++

，由203A得5666A+，则1sin()126A+„，所以46abc++„，故ABC的周长的取值范围是(4，6]．19.（1）补全的22列联表如下：10月10日播种10月20日播种合计饱满9312不饱满

111728合计202040由表中的数据可得()22409171134.28620202812K−=，由于4.2863.841，所以有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关．（2）解法一：由（1）可得

，从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为920，从B试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为320，所以从A，B两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率939393213

11202020202020400P=−+−+=．解法二：由（1）可得，从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为920，从B试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为320，所以从A，B两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份

小麦中没有饱满小麦的概率193187112020400P=−−=，故所求概率118721311400400PP=−=−=．（3）因为从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱

满小麦的概率为920，所以9~502,0XB，故()94550202EX==．20.（1）由题意，12,OO分别是圆台上下底面的圆心，可得12OO⊥底面2O，因为AP底面2O，所以12APOO⊥，又由点P是下底面内以2AO为直

径的圆上的一个动点，可得2APOP⊥，又因为1222OOOPO=，且122,OOOP平面12POO，所以AP⊥平面12POO，因为AP平面1APO，所以平面1APO⊥平面12POO.（2）以2O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为122OO=，则12

24ABOO==，PAB45=，可得1(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)ABOP−−，所以1(1,1,0),(0,2,2)APAO==，设平面1APO的法向量为1111(,,

)nxyz=ur，则100nAPnAO==，即11110220xyyz+=+=，令11y=，可得121,1xz=−=−，所以1(1,1,1)n=−−，又由1(1,1,2),(1,3,0)POPB=−=−，设平面1APO的

法向量为2222(,,)nxyz=，则100nPOnPB==，即222222020xyzxy−++=−+=，令21y=，可得223,1xz==，所以2(3,1,1)n=，所以121212333cos,1131

1nnnnnn−===−，因为二面角1APOB−−为钝角，所以二面角1APOB−−的余弦值为3311−.21.解：（1）设(),Mxy，(),Axy，由2OAOM=得，2xx=，2yy=.已知点()2,0B−，()2,0C，ABC的周长等于442+，42ABACBC+=，则点A的

轨迹是以B，C为焦点的椭圆.242a=，2c=，所以，22a=，2b=.故点A的轨迹方程为22184xy+=（0y）.将2xx=，2yy=代入22184xy+=（0y）并化简得到点M的轨迹E的方程：2212xy+=（0y）.（2）当直线l

与x轴垂直时，求得，313PR=−，313QS=−，PRQS=，符合要求.此时直线l的方程为：0x=.当直线l存在斜率时，设直线l的方程为ykx=，()11,Pxy，()22,Qxy.由2222ykxxy=+=消去y整理得()22

12020kxx++−=，由韦达定理得120xx+=，122212xxk=−+，则()()222212121228111412kkxxkxxxQxPk+=+−=++−=+.圆心()2,0F到直线:0lkxy-=的距离221kdk=+，则()

2222727223131kkkkRS+=−=++.PRQSPRRQRQQSPQRS=====.()()222281721231PQRkkSkk=++=++，整理得()()224110kk+−=，21k=，即1k=.此时直线l的方程为yx=.综上，符合条

件的直线存在三条，其方程为0x=和yx=.22.（1）当0a=时，()xfxxe=，可得()()1xfxex=+．当1x−时，()0fx；当1x−时，()0fx．所以()fx在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增．因为()2

22fe−=−，()222fe=，()11fe−=−，所以()min1fxe=−，()2max2fxe=．（2）因为()()()()()221xhxfxgxxeax=−=−+−，可得：()()()12xhxxea=−

+．①当0a=时，()()2xhxxe=−，此时()hx只有一个零点，故不成立；②当0a时，()hx在(),1−上单调递减，在()1,+上单调递增．因为()10he=−，()20ha=，当2a时，()020ha=−+；当02a时，ln02a，2l

nlnln12ln3ln02222222aaaaaaahaa=−+−=−．()hx有两个不同的零点，成立；③当0a时，令()0hx=，得1x=或()ln2xa

=−．当2ea=−时，()()()1xhxxee=−−，()0hx恒成立，()hx在R上单调递增，至多有一个零点；当2ea−时，即()ln21a−．若()ln2xa−或1x，则()0hx；若()ln21ax

−，则()0hx．()hx在()(),ln2a−−和()1,+上单调递增，在()()ln2,1a−上单调递减．当2ea−时，即()ln21a−．若1x或()ln2xa−，则()0hx；若()1ln2xa−时，则()0hx．()hx在(),1−

和()()ln2,a−+上单调递增，在()()1,ln2a−上单调递减．当0a时，()10he=−，()()()()()()()22ln22ln22ln21ln2210haaaaaaa−=−−−+−−=−−+．()

hx仅有一个零点，不合题意．综上，()()()hxfxgx=−有两个零点，a的取值范围是()0,+．