【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 选择性必修一 复习参考题 2直线和圆的方程 Word版含解析.docx，共(15)页，554.782 KB，由小赞的店铺上传

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复习参考题2一.选择题.1.直线3210xy+−=的一个方向向量是（）A.()2,3−B.()2,3C.()3,2−D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210xy+−=的斜

率为32−，所以直线的一个方向向量为31,2−，又因为()2,3−与31,2−共线，所以3210xy+−=的一个方向向量可以是()2,3−，故选：A.2.设直线l的方程为x−ysin+2=0，

则直线l的倾斜角的范围是（）A.[0,]B.,42C.3,44D.,423,24【答案】C【解析】【分析】分sin0=和sin0两种情况讨论，当sin0=时，2=；当sin0时，结合sin的范

围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围.【详解】直线l的方程为sin20xy−+=，当sin0=时直线方程为2x=−，倾斜角2=当sin0时，直线方程化为12sinsinyx=+，斜率in1s

k=，因为)(sin1,00,1−，所以(),11,k−−+，即(][)tan,11,??+?，又因为)0,，所以3,,4224综上可得3,44故选：

C3.与直线3450xy−+=关于x轴对称的直线的方程为（）A.3450xy+−=B.3450xy++=C.3450xy−+=D.3450xy−−=【答案】B【解析】【分析】把方程中y换成y−，整理即得．【详解】直线3

450xy−+=关于x轴对称的直线的方程为34()50xy−−+=，即3450xy++=．故选：B．4.已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求a的值：（1）23xya+=，4630xy+−=；（2）210xay+−=，(

31)10axay−−−=；（3）(1)2xaya++=−，2416axy+=−．【答案】（1）32a；（2）0a=或16a=；（3）1a=【解析】【分析】（1）根据平行得出23463a=可求；（2）可得0a=满足，0a时，311121a

aa−−−=−；（3）可得0a=不满足，0a时，1122416aaa+−=−.【详解】（1）若方程23xya+=，4630xy+−=表示的直线平行，则23463a=，解得32a；（2）当0a=时，方程210xay+−=化为1x=，方程(31)10axay−−

−=化为1x=−，此时两直线平行，符合题意；当0a时，要使直线平行，则满足311121aaa−−−=−，解得16a=，这是0a=或16a=；（3）当0a=时，方程(1)2xaya++=−化为20xy

+−=，方程2416axy+=−化为4y=−，此时两直线不平行，不符合题意；当0a时，要使直线平行，则满足1122416aaa+−=−，解得1a=，综上，1a=.5.已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直．求a的值（1）41axy+=，(1)

1axy−+=−；（2）22xay+=，21axy+=；（3）(32)(14)80axay++−+=，(52)(4)70axay−++−=．【答案】（1）222a=；（2）0a=；（3）0a=或1a=.【解析】【分析】当直线以一般方程形式给出时，两直线垂直，可利用公式12120A

ABB+=，求实数a的取值.【详解】（1）因为两直线垂直，所以()41110aa−+=，即24410aa−−=，解得：222a=；（2）由条件可知，220aa+=，得0a=；（3）由条件可知，()(

)()()32521440aaaa+−+−+=，即20aa−=，解得：0a=或1a=.6.求平行于直线20xy−−=，且与它的距离为22的直线的方程．【答案】20,60xyxy−+=−−=【解析】【分析】设该直线为0xyc−+

=,利用平行线间的距离公式可得结果.【详解】因为所求直线平行于直线20xy−−=，所以可设该直线为0xyc−+=，又因为所求直线与直线20xy−−=的距离为22，所以2222211c+=+，可得24c+

=，解得2,6cc==−，所以平行于直线20xy−−=，且与它的距离为22的直线的方程为：20,60xyxy−+=−−=.【点睛】本题主要考查直线平行的性质以及平行线间的距离公式，意在考查对所学知识的掌握与应用，属于基础题./7.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，，且它的对角线的交点是M

（3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】【详解】试题分析：依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再

结合对角线的交点是M（3，3），可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,解得x=−34,y=74，所以平行四边形ABCD的顶点A（−34,74）,设C（x0，y0），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，∴x

0−34=6,y0+74=6，解得x0=274,y0=174，∴C（274,174）,由已知，直线AD的斜率kAD=3．∵直线BC∥AD，∴直线BC的方程为3x-y-16=0,由已知，直线AB的斜率kAB=-1,∵直线CD∥AB，∴直线CD的方程为x

+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．考点：1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.8.求下列各圆的方程：（1）圆心为()5,3M−且过点()8,1A−−；（2）过()2,4A−，()1,3B，()2,6C三点；（3）圆心在直线

350xy+−=上，且经过原点和点()3,1−.【答案】（1）()()225325xy++−=（2）()2255xy+−=（3）2252539xy−+=【解析】【分析】（1）根据圆心为()5,3M

−且过点()8,1A−−，求得半径即可；（2）设圆的方程为：()()222xaybr−+−=，将()2,4A−，()1,3B，()2,6C，代入求解；（3）先求得以原点和点()3,1−为端点的线段的垂直平分线，再与350xy+−=联立，求得圆心

即可.【小问1详解】解：因为圆心为()5,3M−且过点()8,1A−−，所以圆的半径为()()2285135r=−++−−=，所以圆的方程为：()()225325xy++−=；【小问2详解】设圆的方程

为：()()222xaybr−+−=，因为过()2,4A−，()1,3B，()2,6C三点，所以()()()()()()222222222241326abrabrabr++−=−+−=−+−=，解得2055abr===，所以圆的方程为：()2255xy+−=；【

小问3详解】以原点和点()3,1−为端点的线段的垂直平分线为：350xy−−=，又圆心在直线350xy+−=上，由350350xyxy−−=+−=，解得530xy==，所以圆心为5,03，半径为53r=，所以圆的方程为：2252539xy−+=.9.

m为何值时，方程222422210xyxmymm+−++−+=表示圆？并求半径最大时圆的方程．【答案】当()1,3m−时，方程表示圆，当半径最大时，圆的方程为()()22214xy−++=.【解析】【分析】根据方程表示圆可得出关于

实数m的不等式，可解出实数m的取值范围，求出圆的半径的表达式，利用二次函数的基本性质可求得圆的半径的最大值，求得此时m的值，即可得出圆的方程.【详解】若方程222422210xyxmymm+−++−+=

表示圆，则()()222244422148120mmmmm−+−−+=−++，整理得2230mm−−，解得13m−.设圆222422210xyxmymm+−++−+=的半径为r，则()2224812231422mmrmmm−++==−++=−−+，所以，当1m=时，圆2224222

10xyxmymm+−++−+=的半径取最大值，此时，圆的方程为224210xyxy+−++=，即()()22214xy−++=.10.判断圆2264120xyxy+−++=与圆22142140xyxy+−−+=是否相切．【答案】是，两圆内切【解

析】【分析】求出两圆圆心及半径，判断圆心距与半径和与差的关系来确定两圆的位置关系.【详解】2264120xyxy+−++=，即22(3)(2)1xy−++=，圆心为(3,2)−，半径为1；22142140xyxy+−−+=，即22(

7)(1)36xy−+−=，圆心为(7,1)，半径为6；圆心距为22(37)(21)1695d=−+−−=+=，半径之和为7，之差为5，故两圆内切.11.若函数()yfx=在xa=及xb=之间的一段图象可以近似地看作线段，且acb，求证：

()()()()cafcfafbfaba−+−−【答案】证明见详解．【解析】【分析】作图利用三角形相似，得比例CEAEBFAF=即可证明．【详解】证明：设()()()()()(),,,,,,AafaBbfbCcfc作AFBF⊥如图所示：在AFB△中，有CEAE

BFAF=，则()()()()fcfacafbfaba−−−−所以()()()()cafcfafbfaba−+−−12.求点()2,1P−−到直线:(13)(1)240lxy+++−−=（为任意实数）的距离的最大

值．【答案】13【解析】【分析】将直线方程变形为()()2340xyxy+−++−=，得直线系恒过点()1,1A，由此得到P到直线l的最远距离为PA，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线:

(13)(1)240lxy+++−−=，∴可将直线方程变形为()()2340xyxy+−++−=，∴20340xyxy+−=+−=，解得11xy==，由此可得直线系恒过点()1,1A则

P到直线l的最近距离为A，此时直线过P．P到直线l的最远距离为PA，此时直线垂直于PA．∴22max(21)(11)13dPA==−−+−−=．13.过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0间的线段AB恰

好被点P平分，求此直线的方程．【答案】8240xy−−=【解析】【分析】根据题意，设出直线l1上的一点P1，求出P1关于点P的对称点P2；由P2在直线l2上，求出点P1，即得所求的直线方程．【详解】方

法一：若直线AB无斜率，则其方程为x＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P，不合题意．所以直线AB必有斜率，设为k(k≠2且k≠－1)，则直线AB的方程为y＝k(x－3)．由3,220,ykxxy=−−−

=解得y1＝42kk−,由3,30,ykxxy=−++=解得y2＝61kk−+.据题意122yy+＝0，即42kk−＋61kk−+＝0，解得k＝0或8.当k＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)

，这两点的中点并不是点P，不符合题意，舍去．当k＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P，符合题意．∴直线AB的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.方法二：()()()20000,3,3

,06-3lMxxMPNxx−−+在直线上任取一点点关于的对称点，在直线1l上，把()006-3Nxx+点，代入1l方程220xy−−=，解得073x=716,33M−，16038733lk−−==−，即直线

1l方程为：824yx=−.14.已知直线:280lxy−−=和(2,0)A−，()2,4B两点，若直线l上存在点P使得PAPB+最小，求点P的坐标．【答案】(2,3)−【解析】【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求A关于直线的对称点得解【详解】因为(208)(28

8)0−−−−−，所以,AB在直线同侧，设点(2,0)A−关于直线280xy−−=对称的点坐标为(,)Aab，则280222abba−−−==−+，即(2,8)A−，可知PAPBAB+，即三点,,APB共线时，|

|||PAPB+最小，连接AB交直线于点P，点P即为所求，AB直线方程2x=，联立求得P点坐标(2,3)−.15.求圆2210100xyxy+−−=与圆2262400xyxy+−+−=的公共弦长．【答案】

410【解析】【分析】首先利用两圆相减，求公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解公共弦长.【详解】()()2222101005550xyxyxy+−−=−+−=，即圆心是()5,5，半径52r=，()()2222624003150xyxyxy+−+−=−+

+=，圆心()3,1−，半径52r=，两圆圆心距()()2253512105252−++=+，两圆相交，两圆相减得3100xy+−=，此直线是两圆相交公共弦所在直线方程，()()2222101005550xyx

yxy+−−==−+−=，即圆心是()5,5，半径52r=，圆心到直线3100xy+−=的距离22515101013d+−==+，所以公共弦长22225010410lrd=−=−=.16.已知圆224xy+=与圆

224440xyxy++−+=关于直线l对称，求直线l的方程．【答案】20xy−+=【解析】【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线l斜率，从而求得直线l的方程.【详解】解：圆221:4Cxy+=，圆心为1C()0

,0，半径12r=圆222:4440Cxyxy++−+=，经整理为()()22224xy++−=，其圆心为2C()2,2−，半径22r=；故12CC中点为()1,1C−，而1220120CCk−==−−−，由对称性知121lCCkk=−，1lk=:11lyx−=+即直线

l的方程为20xy−+=.17.求与圆C:22(2)(6)1xy++−=关于直线3𝑥−4𝑦+5=0对称的圆的方程.【答案】22(4)(2)1xy−++=.【解析】【分析】利用两圆圆心关于直线3450xy−+=对称求出对称圆的圆心即可得解.【详解】圆22:(2)(6)1Cx

y++−=的圆心的坐标是()2,6−，半径长1r=．设所求圆C的方程是22()()1xayb−+−=,由圆C与圆C关于直线3450xy−+=对称知，直线3450xy−+=是两圆连心线的垂直平分线．所以有642326345022baab−=−+−

+−+=,解此方程组，得4,2ab==−．所以与圆22:(2)(6)1Cxy++−=关于直线3450xy−+=对称的圆的方程是22(4)(2)1xy−++=.【点睛】关键点点睛：利用两圆圆心关于直线3450xy−+=对称求解是解题关键.18.求圆心在直线y＝－2x上，并且

经过点A(2,－1)，与直线x＋y＝1相切的圆的方程.【答案】圆的方程为：2(1)x−＋22(y)+＝2【解析】【详解】设圆心为S，则kSA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，和y＝－2x联立解

得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)∴r＝()()222112−+−+＝2,故所求圆的方程为：2(1)x−＋22(y)+＝2\19.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？

【答案】对角线互相垂直【解析】【分析】设有四边形ABCD，由条件得知2222ACBCDADB++=，则由向量的运算规律得0BDAC=．【详解】解：如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角

线互相垂直．证明如下：设有四边形ABCD，由条件得知2222ACBCDADB++=则()()2222ABADACACABAD+−−+=∴ADACABAC=，()0ADABAC−=∴0BDAC=．即B

DAC⊥20.求由曲线22xyxy+=+围成的图形的面积．【答案】2+【解析】【分析】先看当0x，0y≥时整理曲线的方程，表示出图形占整个图形的14，而22111()()222xy−+−=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二

者的面积，相加即可．【详解】解：当0x，0y≥时，22111()()222xy−+−=，表示的图形占整个图形的14，而22111()()222xy−+−=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆∴1114

112222S=+=+故围成的图形的面积为：2+21.一条光线从点()2,3A−射出，经x轴反射后，与圆22:(3)(2)1Cxy−+−=相切，求反射后光线所在直线的方程【答案】3460xy−−=或4310

xy−−=.【解析】【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程.【详解】点()2,3A−关于x轴的对称点为()2,3−−，设反射光线的斜率为k，则可得出反射光线为()32ykx+=+，即230kxyk−+−=，

因为反射光线与圆相切，则圆心()3,2到反射光线的距离dr=，即25511kk−=+，解得43k=或34，则反射直线的方程为3460xy−−=或4310xy−−=.22.已知圆22:(1)(2)25Cxy−+−=，直线:(21)(1)740lmxmym+++−−=．（1）

求证：直线l恒过定点．（2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．【答案】（1）证明见解析；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线lCP⊥时，直

线被圆截得的弦长最短，此时34m=−，最短弦长为45.【解析】【分析】（1）直线l的方程可化为(27)(4)0xymxy+−++−=，要使直线l恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得27040xyxy+−=+−=，易得定点；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长；当

直线lCP⊥时，直线被圆截得的弦长最短，即得解.【详解】（1）证明：直线l的方程可化为(27)(4)0xymxy+−++−=，联立27040xyxy+−=+−=解得31xy==.所以直线恒过定点P(3,1).（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l

CP⊥时，直线被圆截得的弦长最短，直线l的斜率为21121,1312CPmkkm+−=−==−+−由211()112mm+−−=−+解得34m=−此时直线l的方程是250xy−−=圆心(1,2)C到直线250xy−−=的距离为|225|55d−−

==，22||||25525APBPrd==−=−=，