【文档说明】黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，3.507 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2dc658b8531bddd57f48d139b6996630.html

以下为本文档部分文字说明：

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高二理科数学试题一.选择题1.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被

抽到的概率都是15．其中说法正确的为（）A.①②③B.②③C.②③④D.③④【答案】A【解析】【分析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时

，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.【详解】①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；第二步确定分段间隔3065k==；第三步在第一段用简单随机抽样确

定第一个个体编号(10)ll；第四步将编号为6(04)lkk+依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明

显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率212010=；女生被抽到的概

率310=，故“本次抽样中每个人被抽到的概率都是15”这个说法是错误的．因此④不正确．故选A．【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．2.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、

2、3表示没有击中目标，4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）75270

293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55【答案】A【解析】【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的

次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.【详解】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共8次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为80.420=.故选：A【点睛】本

小题主要考查随机数法求事件的概率，属于基础题.3.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（）A.1127510CCCB.1127510CCAC.4441275CCC−−D.112112756464()CCCCCC++【答案】C【解析】【

分析】先计算出任选4人的方法数，然后减去其中全部为男生或全部为女生的方法数，由此选出正确选项.【详解】任选4人的方法数为412C，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数4475CC+，故选法总数应为4441275CCC−−.故选：C【点睛】本小题主要考查组合数的计算，属于基础题.4.下列说法错

误的是（）A.若直线a∥平面，直线b∥平面，则直线a不一定平行于直线bB.若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C.若平面⊥平面，则内一定不存在直线平行于平面D.若平面⊥平面，平面⊥平面，l=，则l一定垂

直于平面【答案】C【解析】【分析】结合空间线线、线面和面面位置关系，对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.【详解】若直线a∥平面，直线b∥平面，则a与b平行、相交或异面，则直线a不一定平行于直线b，故A中说法正确；若内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理得⊥，这

与平面不垂直于平面矛盾，故若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面，故B中说法正确；若平面⊥平面，则当内的直线与两平面的交线平行时，该直线与平面平行，故C中说法错误；若平面⊥平面v，平面⊥平面v，l=，则根据面面垂直的性质得

l一定垂直于平面v，故D中说法正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系的判断，属于基础题.5.已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.142B.132C.122D.112【答案】D【解

析】【分析】以展开式中第5项与第9项的二项式系数，列方程，解方程求得n的值，进而求得奇数项的二项式系数和.【详解】依题意，展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，所以48nnCC=，解得12n=，故奇数项的二项式系数和为

112.故选：D【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数，考查奇数项的二项式系数和，属于基础题.6.已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A.1B.3C.2D.2【答

案】B【解析】【分析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径.【详解】设圆锥的底面半径为r，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr=，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r

r+=，解得3r=.故选：B【点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7.已知抛物线2:Cyx=的焦点为F，()00,Axy是C上一点，若09||8AFx=，则0x等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得0x的值.【详解】抛

物线2:Cyx=，焦点为1,04，准线为14x=−，由于09||8AFx=，根据抛物线的定义有009||82pAFxx==+，所以00,4282xpxp===.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.8.已知双曲线一条渐近线方

程为34yx=，则双曲线方程可以是（）A.22134yx−=B.22134xy−=C.221169yx−=D.221169xy−=【答案】D【解析】【分析】分别求得四个选项中双曲线的渐近线，由此得出正确选项.【详解】对

于A选项，双曲线的渐近线方程为32yx=，不符合题意；对于B选项，双曲线的渐近线方程为233yx=，不符合题意；对于C选项，双曲线的渐近线方程为43yx=，不符合题意；对于D选项，双曲线的渐近线方程为34y

x=?，符合题意；故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线，属于基础题.9.设随机变量2~(1,)XN，其正态分布密度曲线如图所示，且(13)0.9544PX−=，那么向正方形OABC中随机投掷40000个点，则落

入阴影部分的点的个数的估计值为（）（附：若随机变量2~(1,)XN，则(22)0.9544PX−+=(PX−)0.6826+=)A.26348B.28112C.24152D.30156【答案】A【解析】【分析】根据(13)0.9544PX−

=求得的值，由此求得(01)0.3413PX=，进而求得落入阴影部分的点的个数的估计值【详解】由(13)0.9544(1212)PXPX−==−+，所以2=，所以(PX−)0.6826

+=，即(02)0.6826PX=，所以(01)0.3413PX=.所以落入阴影部分的点的个数的估计值为()4000010.341326348−=.故选：A【点睛】本小题主要考查正态分布计算，考查

几何概型，属于基础题.10.()()622321xxx−−−的展开式中，含3x项的系数为（）A.348B.88C.232−D.612−【答案】A【解析】【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式，计算出含3x项的系数.【详解】()

()662112xx−=−，所以含3x项的系数为()()()()()12312366622232CCC−+−−+−−121202420348=−−+=.故选：A【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.11.已知四面体ABCD外接球的球心O恰好在AD上，等腰

直角三角形ABC的斜边AC为2，23DC=，则这个球的表面积为（）A.254B.8C.12D.16【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得球的直径AD的长，进而求得球的半径，从而求得球的表面积.【详解】由于四面体ABCD外接球

的球心O恰好在AD上，所以AD是球O的直径，所以三角形ACD为直角三角形，所以224ADACCD=+=，所以球的半径为2，表面积为24π216π=.故选：D【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.12.小赵、小钱、小孙、

小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点彼此互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则(|)PAB=（）A.59B.49C.13D.29【答案】D【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4个

人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为33327=种所以小赵独自去一个景点的可能性为427108=种因为4个人

去的景点不相同的可能性为432124=种，所以242|.1089PAB==（）．故选D．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．二.填空题13.设随机变量X服从二项分布，且期望()3EX=，其中13p=，则方差()3+5DX=______．【答案】18

【解析】【分析】根据()EX和p的值求得n，由此求得DX，进而求得()3+5DX.【详解】由于()13,93EXnpnn====，所以()1219233DXnpp=−==，所以()23+539218DXDX===.故答案为：18【点睛】本小题

主要考查二项分布期望和方差的有关计算，考查方差的运算公式，属于基础题.14.某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．【答案】8【解析】【分析】根据三视图还原为原图，根据原图的空间结构，计算出几何体的体积

.【详解】根据三视图可知，该几何体的原图如下图：11ABCCB−为四棱锥，故其体积为111111111122212222383332ABCABCAABCABCABCABCVVVSBB−−−−====.故答案为：

8【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.15.已知点P是椭圆()222210xyabab+=上的一点，F1，F2分别为椭圆的左.右焦点，已知∠F1PF2=60°，且

|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为______．【答案】74【解析】【分析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.【详解】由213PFPF=，结合椭圆的定义和余弦定理有：()121222212123222cos60PFPFPFPFacPFPFPF

PF=+==+−，化简得2277,164cceaa===.故答案为：74【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.如图，三棱柱111ABCA

BC−中，侧棱1AA⊥底面ABC，12AA=，2ABBC==，90ABC=，外接球的球心为O，点E是侧棱1BB上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线1CE是异面直线；②1AE一定不垂直于1AC；③三棱锥1EAAO−的体积为定值；④1AEEC+的最小值为23．其中正确的序号是______

．【答案】①③④【解析】【分析】对四个判断逐一分析，由此确定正确判断的序号.【详解】对于①，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以①正确.对于②，过1A作11AEAB⊥，交1BB于E.由于1,BCABBCAA⊥⊥，所以BC

⊥平面11ABBA，而11//BCBC，所以11BC⊥平面11ABBA.所以111BCAE⊥，所以1AE⊥平面11ABC，所以11AEAC⊥，所以②错误.对于③，由于1,,BCBABB两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为1

AC（或1AC），也即球心在1AC与1AC的交点处.由于11//BBAA,所以1//BB平面1AAO，所以动点E到平面1AAO的距离为定值，而三角形1AAO面积为定值，所以三棱锥1EAAO−的体积为定值，所以③正确.对于④，将两个半平面11BBAA与11BBCC展开成矩形

（平面图形）,则1AEEC+的最小值为2211111223ACAAAC=+==.故④正确.故答案为：①③④【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系，考查锥体体积计算，考查空间距离和的最小值的求法，考查

空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三.解答题17.40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数（保留小数点后两位数字）和众数；（3）从成绩在)50,70的学生中任选3人，求

这3人的成绩都在)60,70中的概率．【答案】（1）0.005a=；（2）77.14，75；（3）16【解析】【分析】（1）根据频率之和为1列方程，解方程求得a的值.（2）根据率分布直方图求中位数和众数的方法，求得中位数和众数.（3）利用古典概型概率计算方法，计算出所求的概率.【详解】（1）

依题意()23762101aaaaa++++=，解得0.005a=.（2）最高的小长方形的中点为75，故众数的估计值为75.由于()2310500.25aaa+==，()23710700.6aaaa++==，设中位数为70x+，则0.2570.5ax+=，解得7.14

x，故中位数为7077.14x+=.（3）)50,70的人数为()40231010aa+=人，)50,60与)60,70人数的比例为2:32:3aa=，即)50,60中有4人，)60,70中有6人，从中任选3人，这3人的成绩都在)60,70中的概率为363102011206CC=

=.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算参数的值，考查根据频率分布直方图计算中位数和众数，考查古典概型的概率计算，属于基础题.18.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的

概率是13．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）12,23（2）分布列见解析，23()12EX=【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得乙、丙二人各自击中目标的概率.（2）

根据相互独立事件概率计算方法，计算出X的分布列和数学期望.【详解】（1）依题意设甲、乙、丙各自击中目标的概率为123,,PPP，所以()132334311141213PPPP=−−==

，解得2312,23PP==.（2）X的可能取值为0,1,2,3.()1111042324PX===；()3111111121423423423PX==++3121=244++=;()3113121123621124234234232424PX++==++==;(

)312134234PX===.故X的分布列为X0123P12414112414数学期望为11111222446230123244244242412EX+=+++===.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属

于基础题.19.在三棱锥ABCD−中，AB⊥平面BCD，2BCDC==，90BCD=，,EF分别ACAD，上的动点，且EF//平面BCD，二面角BCDA−−为60．（1）求证：EF⊥平面ABC；（2）若BEAC⊥，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）277【

解析】【分析】（1）通过证明CD⊥平面ABC，且//EFCD，由此证得EF⊥平面ABC.（2）证得EFB是直线BF与平面ACD所成角，解直角三角形求得直线BF与平面ACD所成角的正弦值.【详解】（1）由于AB⊥平面BCD，所以

ABCD⊥，由于,CDBCBCABB⊥=，所以CD⊥平面ABC，由于//EF平面BCD，EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD=，所以//EFCD，所以EF⊥平面ABC.（2）由（1）可知EFB

E⊥，而,BEACACEFE⊥=，所以BE⊥平面ACD，所以EFB是直线BF与平面ACD所成角.由（1）知：,CDACCDBC⊥⊥，由面面角的概念可知60ACB=，所以在RtABC中，2,4,23BCACAB===,由面积法得11

22ACBEBCAB=，所以22334BCABBEAC===.所以22431CEBCBE=−=−=，3AEACCE=−=，所以33,42AEEFEFACCD===.，在RtBEF中，22921342BFBEEF=+=+=.所以327sin7212BEEFBB

F===.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数

（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该

社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望和方差．【答案】（1）分布列见解析，6()5EX=（2）618(),()525ED==【解析】【分析】（1）利用超几何分布计算出X的分布列和数学期望.（2）利用二项分布的知识计算出

的数学期望和方差.【详解】（1）由茎叶图可知，10个人中，极幸福的人有4个.X的可能取值为0,1,2,3，由超几何分布概率计算公式得，X的分布列为：X0123P034631016CCC=124631012CCC=21463103

10CCC=3046310130CCC=所以1131601236210305EX=+++=.（2）由于()3,0.4B，所以()630.41.25E===，()()1830.410.40.7225D=−==.【点睛】本小题主要考查

超几何分布、二项分布有关的概念和运算，属于中档题.21.在平面四边形ACPE中（图1），D为AC的中点，4,2ADDCPDAE====，且,AEACPDAC⊥⊥，现将此平面四边形沿PD折起，使得二面角APDC−−为直二面角，得到一个多面体，B为

平面ADC内一点，且ABCD为正方形（图2），,,FGH分别为PBEBPC，，的中点．（1）求证：平面FGH//平面ADPE；（2）在线段PC上是否存在一点M，使得平面FGM与平面PEB所成二面角的余弦值为306？若存在，求出线段PM的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析

；（2）存在，且2PM=【解析】【分析】（1）利用面面平行的判定定理，证明平面FGH//平面ADPE.（2）建立空间直角坐标系，设出M点坐标，利用平面FGM与平面PEB所成二面角的余弦值为306列方程，解方程求得M的坐标，由此判断符合题意的M点存在，以及求得PM的长.【

详解】（1）由于,,FGH分别为PBEBPC，，的中点，所以////,FHBCAD由线面平行的判定定理可得FH//平面ADPE.//GFPE可得FG//平面ADPE，而直线FH与直线FG相交，由面面平行的判定定理得平面FGH//平面ADPE.（

2）因为二面角APDC−−为直二面角，又,PDADPDCD⊥⊥，所以ADCD⊥，由此建立如图所示的空间直角坐标系.()()()0,0,4,4,0,2,4,4,0PEB，()2,2,2F，()4,2,1G，则()()4,0,2,4,4,4PEPB=−=−，设平

面PEB的法向量为()1111,,nxyz=，则11111114204440nPExznPBxyz=−==+−=，取11x=得()11,1,2n=.设()0,,4Mmm−，则()()2,0,1,2,2,2FGFMmm=−=−−−，设平面FGM的法向量为()2222,,

nxyz=uur，则()()2222222202220nFGxznFMxmymz=−==−+−+−=，取21x=得2221,,22mnm−=−.由平面FGM与平面PEB所成二面角的余弦值为30

6得122122214302622652mnnmnnmm−++−==−+−，解得1m=，所以()0,1,3M，22112PM=+=.所以存在点M，使得平面FGM与平面PEB所成二面角的余弦值为306，且2PM=【点睛】本题主要考查面面平行的证明，考查根据二面角的余弦值

求线段长，考查空间向量法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知椭圆()222210xyabab+=的离心率63，一个焦点在直线2yx=+上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程

．（2）若1213kk=−，试问OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2213xy+=；（2）是，32【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，求得,ab的值，进而求得椭圆离心率.（2）

计算出,,sinOPOQPOQ，由此列出OPQ的面积的表达式，化简求得结果.【详解】（1）依题意可知，椭圆焦点在x轴上，直线2yx=+与x轴的交点为()2,0−，故2c=.由于椭圆离心率为6332,3366ccaa

====，所以221bac=−=.所以椭圆方程为2213xy+=.（2）为定值，且定值为32，理由如下：由于直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k，且1213kk=−，不妨设10k，对应的倾斜角为，20k，对应的倾斜角为.直线OP的方程为1ykx=，由12213ykxxy=

+=，解得2221221133,1313PPkxykk==++，所以21213313kOPk+=+.同理可求得22223313kOQk+=+.πPOQ=−+，所以()()tantanπtanPOQ=−+=−()121212312kkk

kkk−==−+.所以()()()()1212222121233sin4923kkkkPOQkkkk−−==+−+−.所以2in1sOPQSOPOQPOQ=()()221212222121233333121

31349kkkkkkkk−++=+++−()()()222212122222121221099321827109kkkkkkkk++++=++++9132272==.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方

程的求法，考查椭圆中三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.