【文档说明】重庆市第七中学2024届高三上学期12月月考数学试题 含解析.docx，共(27)页，1.945 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市第七中学校2023-2024学年度上期高2024级12月考试数学试题（满分150分考试时间120分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设

集合*2N4Axxx=，3Bxyx==−，则RAB=ð（）A.0,3B.1,3C.1,2D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.【

详解】由题意可得：)1,2,3,43A,B,==+∞，所以()R3B,=−∞ð，故R1,2AB=Ið.故选：C2.若复数2i5iim−+−为纯虚数，则m=（）A.5B.5−C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】

先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.【详解】2i5i2i5i53iimmm−+−=−−+−=−−，所以50m−=，解得5m=，故选：A.3.在数列na中，若11a=，22a=，21nnnaaa++=−，则2024a=（）A.

1−B.2−C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据数列递推式求出数列的前面一些项，推出数列的周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知数列na中，若11a=，22a=，21nnnaaa++=−，故3211aaa=−=，4321aaa=-=-，5432aaa=−=−，6541

aaa=−=−，7658761,2aaaaaa=−==−=，则na为周期为6的周期数列，故20243376222aaa+===，故选：C4.甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都

没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（）A.27种B.72种C.36种D.54种【答案】C【解析】【分析】根据题意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列数的计算，即可得到结果.【详解】根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，先排甲乙，再排剩下三人，则5人的

名次排列种数为2333AA36=种.故选：C5.如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如

图②所示的圆锥模型，已知5dmSA=，直线SA与圆锥底面所成角的余弦值为55，则该圆锥的侧面积为（）A.23πdmB.235πdm2C.25πdmD.25πdm2【答案】C【解析】【分析】利用圆锥的侧面

积公式求解即可.【详解】依题意直线SA与圆锥底面所成角为SAO，则5cos55AOAOSAOSA===，得1OA=(dm)，所以该圆锥的侧面积为π155π=(2dm)．故选：C．6.已知0.09251log3,log4,22abc−===，则下列结论正

确的是（）A.abcB.bacC.cbaD.bca【答案】C【解析】【分析】使用基本不等式证明1ab，从而得ab，使用2e1,(0)xxxx+证明0.91c，再证明0.9b可得cba.【详解】由题知2451log3log3,log4,2

aba===、b均在0和1之间，222444444log3log5log15log3log5()()(log15)122ab+===，于是ab，当0x时，21ex，所以2exx.当0x时

，令()e1xfxx=−−，则()e10xfx=−，所以0x时，()fx为减函数，故()()00fxf=，故e1xx+，所以0.090.0920.091091e.c−−=+=−，99455555228log42log22log2log512log50.

9999b=====，于是cb.所以cba.故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题首先用均值不等式放缩，比较a和b，也可用换底公式；比较b和c需要构造函数和运用对数运算性质.7.已知12,FF分别为双曲线2

2221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若213PFPF=，则双曲线的离心率为（）A.3B.5C.3D.2【答案】C【解析】【分析】设过2F与双曲线的一条渐近线byxa=平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可得1||3

PFa=，2||PFa=，12||2FFc=，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F与双曲线的一条渐近线byxa=平行的直线交双曲线于点P，由双曲线定义可得12||||2PFPFa−=，由12

||3||PFPF=，可得1||3PFa=，2||PFa=，12||2FFc=，由12tanbFFPa=可得12221cos1aFFPcba==+，在三角形12PFF中，由余弦定理可得：222121221212||||

||2||||cosPFPFFFPFFFFFP=+−，即有2229422aaacacc=+−，化简可得223ca=，所以双曲线的离心率3==cea．故选：C．8.已知函数()lnxfxx=，()exxgx=，若存在()10,x+，2Rx，使得()()12(0)fxgxkk==

成立，则下列结论正确的是（）A.121xx+B.()21lnxx−=−C.221ekxx的最大值为24eD.221ekxx的最大值为21e【答案】C【解析】【分析】由()()12(0)fxgxkk==，得2121e0lnxxxx−−=−，

结合函数lnyxx=+的单调性可得12lnxx=，进而可得2221eekkxkx=，构造函数2()e(0)khkkk=，应用导数求其最值即可.【详解】由()()12(0)fxgxkk==，得21210lenxxxx−=，的所以1201,0xx，则121xx

+，A错误；则2121e0lnxxxx−−=−，两边同时取对数可得：()()1122lnlnlnlnxxxx−−=−−，又函数lnyxx=+在(0,)+单调递增，12lnxx−=−，即12lnxx=，故B错误；所以2111lnxxkxx==，故2221eekkxkx=

，设2()e(0)khkkk=，则2()2)(ekhkkk=+，由()2e20,0kkkk+，可得2k−，故()hk在(,2)−−单调递增，由()2e20,0kkkk+，可得20k−，故()hk在(2,0)−单调递减，故max24()(2)ehkh=−=，因此

221ekxx的最大值为24e，故C正确，D错误.故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键是将()()12(0)fxgxkk==转化为2121e0lnxxxx−−=−，结合lnyxx=+的单调

性求解，2221eekkxkx=需构造函数2()e(0)khkkk=，结合导数分析即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分.9.下列四个命题，其中说法正确的是（）A.“lnlnab”是“22ab”的充分不必要条件B.命题“01x，()0ln10x−”的否定是“1x，()ln10x−”C.9,2a

k=，(),8bk=，若//ab，则6k=D.若向量()1,1a=−，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为2a【答案】AD【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用向量

共线的坐标表示计算判断C；求出投影向量判断D.【详解】对于A，22lnln0ababab，而22ab，不一定有0ab，如2,1ab=−=，因此“lnlnab”是“22ab”的充分不必要条件，A正确；对于B，命题“01x，()0ln10x−”的否定是“1

x，()ln10x−”，B错误；对于C，由//ab，得236k=，解得6k=，C错误；对于D，1ab=，||2a=，因此向量b在向量a上的投影向量为2||||abaaaa=，D正确.故选：AD10.下列说法中，正确的是（）A.一组数据5，8，8，9，12，

13，15，16，20，22的第80百分位数为18B.若随机变量()23,N，且()60.84P=，则()360.34P=．C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记

事件A=第一次抽到的是白球，事件B=第二次抽到的是白球，则()13|PBA=D.设随机事件A，B，已知()0.4PA=，()|0.3PBA=，()0.2PBA=，则()0.24PB=．【答案】ABD【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可判断选项A；根据正态分布

的性质计算即可判断选项B；根据条件概率的计算方法求解即可判断选项C；根据条件概率与对立事件的计算公式计算即可判断选项D.【详解】对于A，共有10个数，1080%8=，所以数据的第80百分位数为16和

20的平均数，即为18，故A正确．对于B，因为()23,N，且()60.84P=，所以()30.5P=，则()()()463630.3PPP−==，故B正确．对于C，因为()1216C1C3PA==，所以()

1115C113C15PAB==，则()()()1|5PABPBAPA==，故C错误．对于D，因为()0.4PA=，()|0.3PBA=，所以()()()|0.12PABPAPBA==，又因为()0.4PA=，所以()10.40.6PA=−=，则(

)()()|0.60.20.12PBAPAPBA===，所以()()()0.120.12PBPABPAB=+=+=0.24，故D正确．故选：ABD.11.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别

为12,FF，左､右顶点分别为12,MM，离心率为e，点()00,Axy在C上，则（）A.若12AFF△的面积为23b，则123tan4FAF=B.若直线12,AMAM的斜率之积为，则21e−=C.若33e=，则以12FF为直径的圆O与C无交点D.若12AFb，则e的最大值为3

5【答案】BCD【解析】【分析】对于A，结合解三角形中的余弦定理和三角形面积公式即可求解；对于B，先根据斜率公式求出，再检验21e−=是否成立；对于C，根据离心率，得出椭圆中b和c的大小关系即可求解；对于D，根据12AFb，转化为1max2AFb，列出不等式，即可求出离心率的最大值

.【详解】对于A，椭圆2222:1(0)xyCabab+=中，122FFc=，122AFAFa+=，在12AFF△中，由12222212121212242cosAFAFacFFAFAFAFAFFAF+=

==+−，解得2121221cosbAFAFFAF=+，所以221212121212sin1sintan21cos2ABCbFAFFAFSAFAFFAFbFAF===+，又因为23ABCSb=，所以12tan32FAF=，所以121222122tan2332

tan1341tan2FAFFAFFAF===−−−，故选项A错误；对于B，椭圆左右顶点分别为()1,0Ma−，()2,0Ma，所以()12200002000AMAMyyykkxaxaxaxa===+

−−，又因为点()00,Axy在C上，所以2200221xyab+=，即2222002bybxa=−，所以2222202022200bbxybaxaxaa−===−−−，因为cea=，所以222222221cbcbeaaa+−=−−==，故选项B正

确；对于C，根据33e=，可得2bcc=，所以圆O与y轴的交点之间的距离22PQcb=，可得以12FF为直径的圆O与C无交点，故选项C正确；对于D，因为()1,0Fc−，所以()20210AxcyF=++，又因为点()00,Axy在C上，所以220

0221xyab+=，即2222002bybxa=−，所以()22220221002002202cccAFxcxaxabbxxaaacxaa=++=+−=+=++，因为0axa−，所以当0xa=时，1maxAFac=+，又因为12AFb，所以1m

ax2AFacb=+，又因为222abc=+，所以225230caca+−，即25230ee+−，解得305e，所以e的最大值为35，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决离心率的取值范围

的关键是根据焦半径的最大值将题干条件转化为含有,,abc的齐次不等式求解，还要注意与椭圆本身离心率01e相结合.12.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A.异面直线1DD与1BF所成角的余弦值为255B.点P为正方形11

11DCBA内一点，当//DP平面1BEF时，DP的最大值为322C.过点1D，E，F的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面周长为2132+D.当三棱锥1BBEF−所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为6π【答案】A

CD【解析】【分析】对于A：根据正方体的性质得出在1RtBBF中1BBF即为异面直线1DD与1BF所成的角，即可判定；对于B：取11AD的中点11,MDC的中点N，连接MN，DM，DN，得到1//DMBF，1

//DNBE，即可证明面//DMN面1BEF，则根据已知得出P轨迹为线段MN，则过D作DPMN⊥，此时DP取得最小值，即可判定；对于C：过点1DEF、、的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面图形为五边形1DMEFN，得出1//DMNF，1//DN

ME，设AMm=，CNn=，以D为原点，分别以1DADCDD、、方向为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz−，得出ME，1DN，1DM，NF的坐标，则可根据1//DMNF，1//DNME列式得出AM，

CN，即可得出1AM，1CN，在11RtDAM中得出1DM，同理得出1DN，在RtMAE△中得出ME，同理得出FN，在RtEBF△中得出EF，即可得出五边形1DMEFN的周长，即过点1DEF、、的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的的截面周长，即可判定；对于D：取EF的中点1O，则11

1OEOFOB==，过1O作11//OOBB，且使得11112OOBB==，则O为三棱锥1BBEF−的外接球的球心，则OE为外接球的半径，计算得出半径即可求出球O的表面积，即可判定.【详解】对于A选项，11//DDBB，

在1RtBBF中1BBF即为异面直线1DD与1BF所成的角，11221225cos512BBBBFBF===+，异面直线1DD与1BF所成的角的余弦值为255．故A正确；对于B选项，取11AD的中点11,MDC的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，1,,DNASSF

，1111//,,//SFABABSFABAB==四边形11ABFS为平行四边形，11//SABF，1//ASDM，1//MDBF，同理可得1//DNBE，又DM面1BEF，1BF面1BEF，DN面1BEF，1BE

面1BEF，DM//面1BEF，DN//面1BEF，又DMDND=，DMDN,面DMN，面DMN//面1BEF，又DP//面1BEF，P面1111DCBA，P轨迹为线段MN，在DMN中，过D作DPMN⊥，此时DP取得最小值，在1RtDDM△中，

11DM=，12DD=，5DM=，在1RtDDN中，11DN=，12DD=，5DN=，在1RtMDN中，11DN=，11DM=，2MN=，如图，在RtDPN中，221325222MNDPDN=−=−=，即DP的最小值为322，而DP的最大值为

5．故B错误；对于C选项，过点1DEF、、的平面截正方体1111ABCDABCD−，平面11AADD//平面11BBCC，则过点1DEF、、的平面必与1AA与1CC交于两点，设过点1DEF、、的平面必与1AA与1CC分别交于M、N，过点1DEF、、的平面与平面11AADD和

平面11BBCC分别交于1DM与FN，1//DMNF，同理可得1//DNME，如图过点1DEF、、的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面图形为五边形1DMEFN，如图以D为原点，分别以1D

ADCDD、、方向为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz−，设AMm=，CNn=，则()2,0,Mm，()0,2,Nn，()2,1,0E，()1,2,0F，()10,0,2D，()0,1,MEm=−，()10,2,2DNn=−，()12,0,2DMm=−，()1,0,NFn=

−，1//DMNF，1//DNME，2222mnnm−=−−=−，解得2323mn==，23AM=，23CN=，143AM=，143CN=，在11RtDAM中，112DA=，143AM=，12133DM=，同

理：12133DN=，在RtMAE△中，23AM=，1AE=，133ME=，同理：133FN=在RtEBF△中，1BEBF==，2EF=，1121313222213233DMDNMEFNEF++++=++=+，即过点

1DEF、、的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面周长为2132+．故C正确；对于D选项，如图所示，取EF的中点1O，则111OEOFOB==，过1O作11//OOBB，且使得11112OOBB=

=，则O为三棱锥1BBEF−的外接球的球心，所以OE为外接球的半径，在RtEBF△中，2EF=，2222221231222EFROEOO==+=+=，24π6πSR==球．故D项正确，故选：ACD．【点睛】关键点睛：通过证明面面平行得到动点的轨迹

，利用空间向量法确定点的位置是B、C的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2exfxx=的图象在0x=处的切线斜率为________.【答案】2yx=【解析】【分析】根

据切点处切线的斜率等于切点处函数的导数即可求解.【详解】由题意可得：()()21exfxx+=，则()02f=，()00f=，∴函数()2exfxx=在0x=处的切线方程为2yx=.故答案为:2yx=.14.若()2023220230122023(1)1(1)(1

)xmaaxaxax−+=+−+−++−，且()()2220230220221320233aaaaaa+++−+++=LL，则实数m的值为________.【答案】2【解析】【分析】根据()2023220230122023(1)1(1)

(1)xmaaxaxax−+=+−+−++−，分别令0x=，2x=，得到20230122023(1)maaaa−−−−=+，20230122023(1)maaaa++++=+求解.【详解】解：因为()20232202

30122023(1)1(1)(1)xmaaxaxax−+=+−+−++−，令0x=，得20230122023(1)maaaa−−−−=+，令2x=，得20230122023(1)maaaa++++=+，所以()()22022022132023aaaaaa+++−+++LL，()()012320

221232023aaaaaaaaa=++++++++−−LL，则20232023220232023(1)(1)(1)3mmm==−+−，所以213m−=，解得2m=，故答案为：215.已知圆22:20Cxyx+−=与直线:20(0)lmxymm−

+=，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值为________.【答案】255##255【解析】【分析】设π02ACP=，则2sinAB=，则由题意可求得π3=，从而可得min||2CP=，而CP的

最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.【详解】圆22:20Cxyx+−=的圆心()1,0C，半径1r=，设π02ACP=，则2sinAB=，因为min||3AB=，所以()min3sin2=

，又π02，所以ππ32，又1||cosCP=，所以min1||2πcos3CP==，即2|2|21mmm+=+，又0m，所以255m=．故答案为：255．16.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出

的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则APBC的取值范围是________.【答案】[0,442]+【解析】【分析】将正八边形放在平面直角坐标系中，用点的坐标表示出APBC的解析

式，再利用线性规划知识进行平移，求出截距的范围即得.【详解】如图，因AFAB⊥,故可以点A为坐标原点，分别以,ABAF所在直线为,xy轴，建立平面直角坐标系.在正八边形ABCDEFGH中，(82)180135,8HAB−==则(0,0),

(2,0),(22,2),(2,222),ABCE++设点(,)Pxy，则(,),(2,2),APxyBC==2()APBCxy=+，不妨设zxy=+，则yxz=−+，故要求APBC的取值范围，即求z的取值范围.由线性规划知，可将直线

yxz=−+进行平行移动，当直线过点,AH时，min0z=，当直线过点,DE时，max224.z=+即z的取值范围是[0,224]+，从而APBC的取值范围是[0,442]+.故答案为：[0,442]+.【点睛】方法点睛：本题主要考查平面向量点乘的范围，属于较

难题.求解平面向量点乘的范围问题的方法主要有：（1）直接法，运用向量点乘的定义计算求解；（2）基向量表示法，选设平面的基底，运用基底表示向量计算求解；（3）坐标表示法，选择适当坐标系，运用向量坐标计算求

解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、，若coscos2sinbCcBbA+=，且sinsinAB．（1

）求角B的值；（2）若cossin0CB+=，且ABC的面积为43，求BC边上的中线AM的长．【答案】（1）π6（2）27【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得1sin2B=，判断角的范围，确定答案;（

2）由条件可推得ba=，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案.【小问1详解】因为coscos2sinbCcBbA+=由正弦定理得()sincossincos2sinsinsinsinBCCBBABCA+==+=的所以1sin2B=，π6B=或5π6又因为sinsinAB，则

π5π,66A，故π6B=故答案为：π6B=【小问2详解】由（1）知π6B=，又cossin0CB+=，所以12πcos,23CC=−=，则ππ3ABC=−−=，所以ba=.又2112πsinsin43223ABCSbaCa

===△，所以4a=，ABM中，122CMa==，由余弦定理得2222π2cos1648283AMACCMACCM=+−=++=，所以27AM=.故答案为：2718.已知na是正项等比数列.124aa+=，且221210aa+=，（1）求aa的通项公式；（2）

当na为递增数列，设100nnca=−，求数列nc前n项和nT.【答案】（1）13nna−=或213nna−=（2）31100,6231100758,62nnnnnTnn−−+=−−+【解析】【分析】（1）根据题意建立方程组，求出

1,aq，写出通项公式即可；（2）表示出数列100nnca=−，在求数列{}nc的前n项和nT时，进行分类讨论即可.【小问1详解】设正项等比数列na的公比0q，因为124aa+=，且221210aa+=，，在的则1122211410aaqaaq+=+=，解

得113aq==或1313aq==，所以na的通项公式为：13nna−=或213nna−=.【小问2详解】因为na为递增数列，则13nna−=，结合题意:13100nna−=，得到6n，所以100,6100100,6nnnnancaan−=

−=−，当6n时，()()()12312100100100nnnTccccaaa=++++=−+−++−，()()()121331100100100100100132nnnnTaaann−−=−+−++−=−=−+−;当6n时，()()()()()()1231256710010010

0100100100nnnTccccaaaaaa=++++=−+−++−+−+−++−，()()()()()()121251001001002100100100nnTaaaaaa=−+−++−+−+−++−，13311002379100758132n

nnTnn−−=−+=−+−，综上所述：31100,6231100758,62nnnnnTnn−−+=−−+.19.在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，ADF△是正三角形，四

边形ABCD为菱形，2π3ABC=，//EF平面ABCD，22ABEF==，点M为BC中点.（1）在直线CD上是否存在一点G，使得平面//EMG平面BDF，请说明理由；（2）当1cos4BDF=，求平面BDF与平面BEC所成二面角的

正弦值.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）45.【解析】【分析】（1）由题意根据条件推出//EF平面,//ABCDGM平面BDF，再根据面面平行的判定定理证明结论.（2）求出BF，取AD中点N，连接,FNBN

，从而证明,BNADFNAD⊥⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的正弦值.【小问1详解】在直线CD上存在一点G，使得平面//EMG平面BDF，理由如下：取CD的中点G，连接,GMGE，由点M为BC中点，得//GMBD，GM平面BDF，BD平面BDF，则//GM平面BDF，又//EF

平面ABCD,EF平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，则//EFAB,四边形ABCD是菱形，则1////,2DGABEFDGABEF==，于是四边形DGEF是平行四边形，则//EGDF，EG平面BDF，DF平面BDF，则/

/EG平面BDF，而,,EGGMGEGGM=平面EMG，所以平面//EMG平面BDF.【小问2详解】四边形ABCD为菱形，2ππ,33ABCDAB==，则BAD为正三角形，2AB=，在BDFV中，12,cos4BDDFBDF===，由余弦定理知2212222264BF

=+−=，取AD中点N，连接,FNBN，而ADF△是正三角形，则3232BNFN===，显然2226BNFNBF+==，即BNFN⊥，又,BNADFNAD⊥⊥，即直线,,NANBNF两两垂直，以N为原点，直线,,NANBNF分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0

),(0,3,0),(2,3,0)ABC−，(0,0,3),(1,0,0)FD−，(1,3,0)AB=−，由12FEAB=，得13(3)22E−,,，则33(200)(322CBCE==−,,,,,)，(1,3,0),(1,0,3)BDDF=−−=，设平面BEC的法向量为(

,,)mxyz=，则20333022mCBxmCExyz===−+=，令1z=，得(0,2,1)m=，设平面BDF的法向量为(,,)nabc=，则3030nBDabnDFac=−−==+=，令3a=，得(3,1,1)n=−−，设平面BDF与平

面BEC所成二面角为，||213|cos||cos,|5||||55mnmnmn−−====−，所以平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值为24sin1cos5=−=.20.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成

的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.（1）当6n=时，求()2PX（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最Y，若其数学期望()EY和方差()DY均存在，

则对任意正实数a，有()()()21DYPYEYaa−−.根据该不等式可以对事件“()YEYa−”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.【答案】（1）1132（2）1250【解

析】【分析】（1）根据二项分布公式计算；（2）运用二项分布公式算出()EX和()DX，再根据题意求出()XEXa−中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【小问1详解】由已知16,2XB，所以()()()()2012PXPXPXP

X==+=+=652401266611111161511CCC2222264646432=++=++=；【小问2详解】由已知1,2XBn，所以()()0.5,0.25EXnDXn==，若0.40.6Xn，则

0.40.6nXn，即0.10.50.1nXnn−−，即0.50.1Xnn−.由切比雪夫不等式()20.250.50.11(0.1)nPXnnn−−，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则20.2510.98(0.1)nn−，解得125

0n，所以估计信号发射次数n的最小值为1250；综上，()11232PX=，估计信号发射次数n的最小值为1250.21.已知抛物线2:2Cyx=，点A为抛物线C上一点，过点A作AHy⊥轴，垂足为H，线段AH的中点为T（当A与H重合时，认为T也与H重合），设动

点T的轨迹为.（1）求的方程；（2）设,,PMN为曲线上不同的三点，且PMN的重心为()1,0G，求PMN面积的取值范围.【答案】（1）24yx=（2）30,62【解析】【分析】（1）设出()()00,,,AxyTxy两点的坐标，由T为线段AH的中点得到A的坐

标，把A点的坐标代入2:2Cyx=整理得线段AH的中点T的轨迹;（2）设直线:MNxmyt=+，联立抛物线，借助重心公式找到,mt的关系，再表示出PMN面积，利用导数知识，找到面积的取值范围.【小问1详解】设()()00,,

,AxyTxy，则()00,Hy，由T为AH中点可得：000022xxyyy+=+=，故002xxyy==（*），因为A在抛物线21:2Cyx=上，故2002yx=，将()*代入上式可得：24y

x=，故的方程为24yx=.【小问2详解】由题知()1,0G，显然直线MN的斜率不为0，故可设直线:MNxmyt=+，()()()112200,,,,,MxyNxyPxy.224440yxymytxmyt=−−==+.()22Δ(4)16160m

tmt=−+=+，所以12124,4yymyyt+==−，()2121212242,xxmytmytmyytmt+=+++=++=+因为G是PMN的重心，故12012030xxxyyy++=++=，即()()01

20123xxxyyy=−+=−+，所以2003424xmtym=−−=−，因为P在Γ上，所以2004yx=，即：()22164342mmt=−−.化简得：2342tm=−.代入Δ0

可得：22316402mm+−，解得：212m.()22222121212114411MNmyymyyyymm=+−=++−=++.点G到直线MN的距离211tdm−=+.故2221621128122GMNSMNdmttmm==

+−=−−△令212nm=−，得(23660,1,344322GMNnSnnnn=−=−+△.令()(343,0,1fnnnn=−+，则()2111231222fnnnn=−+=−−+.所以()fn在10,2单调递

增，在1,12上单调递减，又1(0)0,1,(1)12fff===−.所以60,2GMMS△，所以330,62PMNGMNSS=△△.【点睛】方法点睛：求最值或范围问题的基本解法（1）几何法:

根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等).（2）代数法:建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.

22.已知函数()()ln11axfxxx=+−+.（1）当1a=时，求()fx的极值；（2）若()0fx，求a的值；（3）求证：()*111sinsinsinln2N122nnnn+++++.【答案】（1）()fx在0x=处取得极小值0，无极大值（2）

1a=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值；（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；（3）利用放缩法，由()sin0xxx，可知若证111sinsinsinln2122

nnn+++++，即证111ln2122nnn+++++，再根据11ln1nnn++，可得证.【小问1详解】当1a=时，()()ln11xfxxx=+−+，1x−，则()()()2211111xfxxxx+=−=++，当()1,0x−时，(

)0fx，()fx单调递减，当()0,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()fx在0x=处取得极小值0，无极大值；【小问2详解】由题意得()()()()2211111xaafxxxx−−=−=+++，①当0a时，()0fx¢>，所以()fx在

()1,−+上单调递增，所以当()1,0x−时，()()00fxf=，与()0fx矛盾；②当0a时，当()1,a1x−−时，()0fx，()fx单调递减，当()1,xa−+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()()()min1ln1fxfaaa=−=−−，因为()0

fx恒成立，所以()ln10aa−−，记()()ln1gaaa=−−，()111agaaa−=−=，当()0,1a时，()0ga，()ga单调递增，当()1,a+时，()0ga，()ga单调递减，所以()()max10gag==，

所以()ln10aa−−，又()ln10aa−−，所以()ln10aa−−=，所以1a=；【小问3详解】证明：先证()sin0xxx，设()()sin0hxxxx=−，则()cos10hxx=−，所以

()hx在区间()0,+上单调递减，所以()()00hxh=，即sinxx，所以111111sinsinsin122122nnnnnn++++++++++，再证11ln1nnn++，由（2）可知()ln11xxx++，当0x=时等号成

立，令()1Nxnn=，则11ln111nnn++，即()11lnln1ln1nnnnn+=+−+，所以()()1ln2ln12nnn+−++，，()()1ln2ln21nnnn−−+，累加可得()111ln2lnln2122nnnnn

+++−=++，所以111sinsinsinln2122nnn+++++.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式

证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com