【文档说明】四川省广安遂宁资阳等七市2020届高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(23)页，2.041 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23100Axxx=−−，2,nBxxnN==，则AB=（）A.1,1,2−B.1,2C.1,2,4D

.0,1,2,4【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A,集合B中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,【详解】因为23100Axxx=−−{|25}xx=−,所以{1,2,4}AB=.故选:C【

点睛】本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.2.已知i为虚数单位，复数()()12zii=++，则其共轭复数z=（）A.13i+B.13i−C.13i−+D.13i−−【答案】B【解析】【分析】先根据复数的乘法计算出z，然后再根据共轭复数的概念直接写出z即可.【详解】由()

()1213ziii=++=+，所以其共轭复数13zi=−.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.3.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点44sin,cos33P，则()cos+=（）A.32B.12C.1

2−D.32−【答案】A【解析】【分析】先计算出P点坐标，然后即可知cos的值，利用诱导公式即可求解出()cos+的值.【详解】因为角的终边经过点31,22P−−，所以3cos2=−，所以()3coscos2+=−=.故选：A.

【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用，难度较易.角(非轴线角)的终边经过点(),Pxy，则2222cos,sin,tanxyyxxyxy===++.4.已知椭圆()222210xyabab+=的左顶点为A，上顶点为B

，且3OAOB=（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A.233B.63C.22D.33【答案】B【解析】【分析】根据题意得3ab=以及222abc=+,消去b,结合离心率的定义可得答案.【详解】依题意可知3ab=,即33ba=,又222236()33cabaaa=−=−=,所以该

椭圆的离心率63cea==.故选:B【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,关键是由3OAOB=得到3ab=,属于基础题.5.函数()21xxfxe=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数值恒大于0,排除A,根据函数不是偶函数,排除C,根据x趋近于正无穷时,函数值趋

近于0,排除D,故选:B.【详解】因为()21xxfxe=−0,所以A不正确;函数()21xxfxe=−不是偶函数,图象不关于y轴对称,所以C不正确;当0x时,2()01xxfxe=−,当x趋近于正无穷时,2x和e1x−都趋近于正无穷,但是e1x−增大的速度大于2x增大的

速度,所以()21xxfxe=−趋近于0,故D不正确.故选:B【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.6.执行如图所示的程序框图，若输入x的值分别为2−，19，输出y的值分别为a，b，则ab

+=（）A.4−B.2−C.74−D.14【答案】C【解析】【分析】根据程序框图得到14a=,2b=−,再相加即可得到答案.【详解】由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值当2x=−时,2124y−==,所以14a=,当19x=时,31log29y==−

,所以2b=−,所以17244ab+=−=−.故选:C【点睛】本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.7.如图，已知ABC中，D为AB的中点，13AEAC=，

若DEABBC=+，则+=（）A.56−B.16−C.16D.56【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算将DE用,ABAC表示，由此即可得到,的值，从而可求+的值.【详解】因为1123DEDAAEBAAC=+=+()111111236363B

ABCBABABCABBC=+−=+=−+，所以16=−，13=.故16+=.故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8.圆222220xyxy

++−−=上到直线:20lxy++=的距离为1的点共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.【详解】圆222220xyxy++−−=可化为22(1)(1)4

xy++−=,所以圆心为(1,1)−,半径r为2,圆心(1,1)−到直线:20lxy++=的距离为:|112|111d−++==+,所以12dr=,所以圆222220xyxy++−−=上到直线:20lxy++=的距离为1的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查

了点到直线的距离公式,属于基础题.9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的

统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若

在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.928B.1928C.2764D.3764【答案】C【解析】【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.【详解】依题意可得:图

①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34,图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916,归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764,所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则

此点取自阴影部分的概率为2764.故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.10.关于函数()()3sin213fxxxR=−+有下述四个结论：①若()()121

fxfx==，则()12xxkkZ−=；②()yfx=的图象关于点2,13对称；③函数()yfx=在0,2上单调递增；④()yfx=的图象向右平移12个单位长度后所得图象关于y轴对称.其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.①②C.③④D.②④【答案】D【

解析】【分析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据sinyx=的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.【详解】①由()()121fxfx==知()1,1x，()2,1x是()3sin213fxx=−+

图象的两个对称中心，则12xx−是22T=的整数倍（T是函数()fx的最小正周期），即()122kxxkZ−=，所以结论①错误；②因为23sin113f=+=，所以2,13是(

)fx的对称中心，所以结论②正确；③由()222232kxkk−−+Z剟解得()51212kxkk−+Z剟，当0k=时，()fx在5,1212−上单调递增，则()fx在50,12上单调递增，在5,122上单调递减，所以结论

③错误；④()yfx=的图象向右平移12个单位长度后所得图象对应的函数为3sin213cos21123yxx=−−+=−+，是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以结论④正确.故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用

，难度一般.(1)()()sinfxAx=+的对称中心对应的函数值为0，对称轴对应的函数值为A；(2)分析()()sinfxAx=+的单调性，可令x+满足sinyx=的单调区间，从而可求()fx的单调区间.11.四面体PABC−的四个顶点坐标

为()002P,,，()0,0,0A，()0,23,0B，()3,3,0C，则该四面体外接球的体积为（）A.323B.2053C.20D.6423【答案】B【解析】【分析】计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根

据球心求解出球的半径即可求解出外接球的体积.【详解】由题意知2,4,4,23,23,23PAPBPCABACBC======，所以222222,PAABPBPAACPC+=+=，所以,PAABPAAC⊥⊥，所以该四面体侧棱PA⊥底面ABC，且底面

是边长为23的正三角形，侧棱2PA=，所以底面正三角形的外接圆半径为2322sin60=，球心必在过PA中点且平行于底面的平面上，所以球半径22215R=+=，所以球的体积为()34205533=.故选：B.【点睛】本题考查空间几

何体的外接球体积计算，难度一般.求解空间几何体的外接球的问题，首先要确定出球心所在的位置，然后根据线段长度求解出外接球的半径，最后即可求解出球的体积或表面积.12.已知直线2yx=与曲线()()lnfxaxb=+相切，则ab的最大值为（）A.4eB.2

eC.eD.2e【答案】C【解析】【分析】根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函数值，得到b关于a等式，由此将ab表示成关于a的函数形式，构造新函数分析ab的最大值.【详解】设切点()()00,lnxaxb+，则由()002afxaxb==+得()0102ax

baa+=，又由()00ln2axbx+=，得()0011lnln222axaxb=+=，则0ln2222aaaabax=−=−，有()2211ln0222aabaaa=−，令()2211ln222agaaa=−，则()1ln22agaa=−

，故当02ea时()0ga；当2ea时()0ga，故当2ea=时()ga取得极大值也即最大值()2gee=.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义以及构造函数求解最值，难度较难.(1)分析导数的切线问题，注意

两个点：切线的斜率等于切点处曲线的导数值、切线对应的y值等于曲线对应的函数值；(2)构造函数求解最值时，注意分析新函数的单调性以及定义域，然后分析最值即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆柱的底面半径

为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD（如图）.若底面圆的弦AB所对的圆心角为3，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为______.【答案】1033+【解析】【分析】据题意：较大部分的底面积可以看成是一个三角形加上圆的53，且两

部分柱体同高，因此可求解出较大部分的底面积，然后直接柱体体积公式求解即可.【详解】因为弦AB所对的圆心角为3，所以圆柱截掉后剩余部分的底面面积为2215122s1033in2323++=，所以剩余部分的体积为103310333

V=+=+.故答案为：1033+.【点睛】本题考查柱体体积的计算，难度较易.对于被切割的几何体体积或者表面积的计算，注意借助未切割之前几何体的几何特征去分析.14.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进人了男

子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为23，则由此估计甲获得冠军的概率为______.【答案】2027【解析】【分析】分析甲获胜的方式：(1)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲

获得冠军的概率.【详解】因为甲获胜的方式有2:0和2:1两种，所以甲获得冠军的概率212221220333327PC=+=.故答案为：2027.【点睛】本题考查独立事件的概率计算，对问题分析的能力要求较高，难度一般.若事件,AB

互相独立，则()()()PABPAPB=.15.已知函数()2xfxexe=+−，则满足不等式()21fm−的m取值范围是______．【答案】13m【解析】【分析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得()(||)fxfx=,再利用.0

x时,函数为增函数,可将不等式化为|2|1m−,从而可解得结果.【详解】因为()2xfxexe=+−,所以||2||2()()()xxfxexeexefx−−=+−−=+−=,所以()fx为偶函数,所以()(||)fxfx=,当0x时,2()xfxexe=+−为增函数,所以()2

1fm−等价于(|2|)1(1)fmf−=,所以|2|1m−,所以13m,故答案为:13m【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用()(||)fxfx=将不等式化为(|2

|)1(1)fmf−=是解题的关键,属于中档题.16.某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费

用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______元.【答案】2560【解析】【分析】根据题意设出关于车辆数的未知数，得到对应的不等式组，由此作出可行域，利用平

移直线法分析运送费用的最小值.【详解】设安排甲型车x辆，乙型车y辆，由题意有46310180,08,04,,,xyxyxy+N…剟剟即4530,08,04,,,xyxyxy+N…剟剟，目标函数320504zxy=+，作出不等式组

4530,08,04,,,xyxyxy+N…剟剟所表示的平面区域为四点()2.5,4，()8,4，()8,0，()7.5,0围成的梯形及其内部，如下图所示：包含的整点有()8,0，()7,1，()

8,1，()5,2，()6,2，()7,2，()8,2，()4,3，()5,3，()6,3，()7,3，()8,3，()3,4，()4,4，()5,4，()6,4，()7,4，()8,4.作直线3205040xy+=并平移，分析可得当直线过点()8,0时z最小，即min83

202560z==（元）.故答案为：2560.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，难度一般.计算线性目标函数的最值，采用平移直线法，将目标函数的最值与直线的斜率联系在一起，从而利用可行域解决问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17

~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列na的前n项和为nS，首项为1a，且4，na，nS成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若22nbna=，求数列nb

的前n项和nT．【答案】（1）()12nnanN+=；（2）23nTnn=+.【解析】【分析】(1)根据4，na，nS成等差数列,可得24nnaS=+,再利用1nnnaSS−=−可得12nnaa−=,从而可得数列na是以4为首项，2

为公比的等比数列,由此可得数列na的通项公式;(2)由22nbna=可得22=+nbn,再根据等差数列的前n项和公式可得结果.【详解】（1）由题意有24nnaS=+,当1n=时，1124aa=+，所以14a=,当2n时，24nnSa=−，1124nnSa−−=−，

两式相减得1122nnnnnaSSaa−−=−=−，整理得12nnaa−=，所以数列na是以4为首项，2为公比的等比数列,所以数列na的通项公式()11422nnnanN−+==．（2）由22222nbnna+==，所以22=+nbn，所以数列nb是以4为首项，2为公差的等差

数列,所以()214232nnnTnnn−=+=+．【点睛】本题考查了等差中项的应用,考查了用na和nS的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和的公式,属于中档题.18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且1co

s2aCcb+=.（1）求角A的大小；（2）若3a=，求bc+的最大值.【答案】（1）3A=；（2）23【解析】【分析】(1)利用正弦定理完成边化角，然后根据ABC++=得出对应的等式，从而计算出

A的值；(2)根据正弦定理sinsinsinabcABC==，将,bc表示为sin,sinBC的形式，然后根据BC+的结果将bc+表示为关于C的三角函数，根据C的范围求解出bc+的最大值即可.另解：根据余弦定理以及基本不等式求解出bc+的最大值，注

意取等号的条件.【详解】（1）由1cos2aCcb+=，根据正弦定理有：1sincossinsin2ACCB+=.所以()1sincossinsinsincoscossin2ACCACACAC+=+=+，所以1sincossin2CAC=.

因为C为三角形内角，所以sin0C，所以1cos2A=，因为A为三角形内角，所以3A=.（2）由3a=，3A=，根据正弦定理有：2sinsinsinbcaBCA===，所以2sinbB=，2sincC=.所以22sin2si

n2sin2sin3bcBCCC+=+=−+3cos3sinCC=+23sin236C=+„.当3C=时，等号成立.所以bc+的最大值为23.另解：（2）由3a=，3A=，根据余弦定理有：()22232cos3bcbc=+−

，即223bcbc=+−.因为()2223bcbcbcbc+−=+−()()222324bcbcbc+++−=…，所以()234bc+….即23bc+„，当且仅当3bc==时，等号成立.所以bc+的最大值为23.【点睛】本题考查解三角形的综合问题，难

度一般.(1)解三角形时注意隐含条件ABC++=的使用；(2)利用正弦定理求解边之和的最值，主要利用三角函数的有界性进行计算；利用余弦定理计算边之和的最值，主要利用余弦定理以及基本不等式进行计算.19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度

有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y（个）和温度x（C）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程bxaye+=来拟合，令lnzy=，结合样本数据可知z与温度x可用线

性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：xyz()721iixx=−()721iizz=−()()71iiixxzz=−−27743.53718211.946.418表中lniizy=，7117iizz==．（1）求z和温度x的

回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36CC之间（包括26Co与36C），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：3.28227e，3.79244e，5.832341e，6.087440e，6.342

568e．）附：对于一组数据()11,v，()22,v，…，(),nnv，其回归直线ˆˆˆv=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniiiniivv==−−=−．【答案】（1）ˆ0.2553.348zx=−；（2）0.2553.3

48xye−=，27.341.【解析】【分析】(1)根据公式计算出ˆb和ˆa,可得ˆ0.2553.348zx=−;(2)根据lnzy=可得ln0.2553.348yx=−,再根据函数0.2553.348xye−=为增函数可得答案.【详解】（1）因为z

与温度x可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆzabx=+．()()()7172146.418ˆ0.255182iiiiixxzzbxx==−−===−，所以ˆˆ3.5370.255273.348azbx=−=−=−，故z关于x的线性回归方程为ˆ0.2553.348

zx=−．（2）由（1）可得ln0.2553.348yx=−，于是产卵数y关于温度x的回归方程为0.2553.348xye−=,当26x=时，0.255263.3483.28227yee−==；当36x=时，0.255363.3485.8323

41yee−==；因为函数0.2553.348xye−=为增函数，所以，气温在26~36CC之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是27.341内的正整数．【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20.如图，在

四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PAAB=，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）.（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）求二面角BAFE−−的余弦值的

取值范围.【答案】（1）平面AEF⊥平面PBC，理由见解析；（2）30,3【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PBC，根据线面关系即可证明平面AEF与平面PBC垂直；(2)建立空间直角坐标系，根据平面BAF与平面AEF法

向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角BAFE−−的余弦值的取值范围.【详解】（1）因为PAAB=，E为线段PB的中点.所以AEPB⊥.因为PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPA⊥，又因为底面ABCD为正方形，所以BCAB⊥，PAABA=，所以BC⊥平面PAB，因为AE平面PA

B，所以AEBC⊥.因为PBBCB=，所以AE⊥平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.（2）由题意，以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系如图所示，令2PA=，则()0,

0,0A，()2,0,0B，()1,0,1E，()2,,0Ft（其中02t„）.易知平面BAF的一个法向量()0,0,1m=.设平面AEF的法向量(),,nxyz=，由0,0.nAFnAE==即20,0.xtyxz

+=+=令1z=，则21,,1nt=−是平面AEF的一个法向量.()222211cos,42211mnmnmntt===+−++，由02t„，所以)2423,t++，

所以2130,342t+.故若F为线段BC上的动点（不含B），二面角BAFE−−的余弦值的取值范围是30,3.【点睛】本题考查空间中的面面垂直关系的证明以及二面角余弦值的取值范围.(1)面面垂直的证明可通过线面垂直的证明来完成；(2

)利用空间向量计算二面角的余弦值时，可根据平面法向量的夹角余弦值以及几何图形中面与面夹角是钝角还是锐角，确定出二面角的余弦值大小.21.已知函数()elnexfxxaxaxa=−−+−.（1）若()fx为单调递增函数，求a的取值范围；（2）若函数()fx仅一个零

点，求a的取值范围.【答案】（1）(,0−；（2）0a„或ea=.【解析】【分析】（1）对()fx求导得()fx，因为()fx为单调函数，故()0fx…或()0fx恒成立，（2）因为()10f=，所以1是()fx的一个零点，由（1）可知，当0a„时，(

)fx为(0,)+上的增函数，所以()fx仅有一个零点，满足题意，当0a时，令()0fx=得0xxea−=，由（1）可知，()xuxxe=在(0,)+上为单调递增，且()(0ux，)+，故存在唯一的0x，使得0xxea−=成立，即00xa

xe=，故最小值点就是零点．【详解】解：（1）由()()elne0xfxxaxaxax=−−+−，得()()()()()e1e11xxxaaxfxxxxx−+=+−=+，因为()fx为单调递增函数，所以当0x时()0fx…，由于11x+，于是只需exax„对

于0x恒成立，令()exuxx=，则()()1exuxx=+，当0x时，()0ux，所以()exuxx=为增函数，所以()()00uxu=.当()0au„，即0a„时，exax„恒成立，所以，()fx为单调递增函数时

，a的取值范围是(,0−.（2）因为()10f=，所以1x=是()fx的一个零点.由（1）知，当0a时，()fx为()0,+的增函数，此时关于x的方程()0fx=仅一解1x=，即函数()fx仅一个零点，满足条件.当0a时，由()10f=得ae=，（ⅰ

）当ae=时，()eelnexfxxxx=−−，则()()()ee1xxfxxx−=+，令()eexvxx=−，易知()vx为()0,+的增函数，且()10v=，所以当01x时，()0vx，即()0fx，()fx

为减函数，当1x时，()0vx，即()0fx，()fx为增函数，所以()0fx…在()0,+上恒成立，且仅当()10f=，于是函数()fx仅一个零点.所以ae=满足条件.（ⅱ）当ae时，由于()xvxxea=−在()1,+为增函数，则()10vea

=−，当x→+时，()vx→+.则存在01x，使得()00vx=，即使得()00fx=，当()01,x时，()00fx，当()0,x+时，()00fx，所以()()010fxf=，且当x→+时，()fx→+.于是当

()0,x+时存在()0fx=的另一解，不符合题意，舍去.（ⅲ）当0ea时，则()exvxxa=−在()1,+为增函数，又()00va=−，()1e0va=−，所以存在001x，使得()00vx=，也就使得()00fx=，当(

)00,x时，()00fx，当()0,1x时，()00fx，所以()()010fxf=，且当0x→时，()fx→+.于是在()00,x时存在()0fx=的另一解，不符合题意，舍去.综上，a的取值范围为0a„或ea=.【点睛】本题考查了函数图象和性质，函数零点，导数在研究函数

中的应用等基本知识，属于综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.22.已知曲线C的参数方程为2cossinxy==（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方

程；（2）P，Q是曲线C上两点，若OPOQ⊥，求2222OPOQOPOQ+的值．【答案】（1）2214xy+=；（2）45.【解析】【分析】(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用cosx=，siny=将普通方程化

成极坐标方程即可得到;(2)设点P的极坐标为()1,，则点Q的极坐标为2π,2．将2222OPOQOPOQ+化成2212111+,利用2243sin1=+即可得到答案.【详解】（1）由2cossinxy==（为参数），得曲线的普通方

程为2214xy+=,将cosx=，siny=代入，得22224sincos4+=,即2243sin1=+,所以曲线C的极坐标方程为2243sin1=+.（2）由（1）知22131sin44=+,设点P的极坐标为()1,，因为OPOQ⊥，则点Q的极坐标为2π,

2,所以2222222212111111OPOQOPOQOPOQ==+++221143131315sincos444442===++++．【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,考查了直角坐标方程化极坐

标方程,考查了极坐标的几何意义,考查了同角公式,属于中档题.23.已知正实数a，b满足3ab+=．（1）求2121ab+++最大值；（2）若不等式1421xmxab+−−+对任意xR恒成立，求m的取值范围

．【答案】（1）4；（2）2,1−.【解析】【分析】(1)平方后用基本不等式即可得到答案;(2)利用基本不等式求得14ab+的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得21xmx+−−的最大值为|21|m+,然后将恒成立转化为|21|3m+,解绝对值不等式即

可得到答案.【详解】（1）因为()22121ab+++()()212122121abab=++++++()()()()()212121214116ababab+++++++=++=，当且仅当32a

b==时取等号．所以2121ab+++最大值为4．（2）因为()1411414145523333babaababababab+=++=+++=，当且仅当43baabab=+=，即1a=，2b=取等号，所以14ab+的最小值为3,又|21||

21||21|xmxxmxm+−−+−+=+,所以21|21|xmxm+−−+,所以不等式1421xmxab+−−+对任意xR恒成立，只需|21|3m+,所以3213m−+,解得21m−,即实数m的取

值范围是2,1−.【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值,和的最小值,考查了绝对值三角不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.