【文档说明】广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三上学期第二次诊断考试数学试题 Word版含答案.docx，共(9)页，601.030 KB，由envi的店铺上传

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深圳市高级中学2025届高三第二次诊断考试数学2024.11（本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合2111,024AxxBxx=−=−，则AB=（）A

.1,12−B.11,2C.1122xx−D.112xx2.直线3450xy+−=的倾斜角为，则sin=（）A.35B.35−C.45D.45−3.已知圆锥的侧面展开

图是圆心角为π2且弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为（）A.4π3B.23π3C.15π3D.32π34.已知公差不为0的等差数列na中，123aaa+=且132aaa=，则1210aaa+++=（）A

.30B.1003C.1103D.405.已知()11sin,cossin34+==，则tantan=（）A.13B.3C.34D.46.在三棱锥ABCD−中，2,2ABADBDBCCD=====，平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥ABCD−外接球表面积为（）A.16π3

B.8π3C.163π3D.3π7.已知,ab都是正实数，24abab++=，则ab+的最小值为（）A.2B.62−C.263−D.61−8.已知函数()fx的定义域为(),21Rfx+为奇函数，()()()221fxfxf++=，

则（）A.()fx为奇函数B.()fx的图象关于直线3x=对称C.()2fx的最小正周期为4D.()2fx的图象关于点1,02对称二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方体1111ABCDABCD−棱长为1，下列结论正确的是（）A.直线BC与1CD所成角为π4B.直线1BC到平面11ACD的距离是33C.点B到直线

1AC的距离为63D.平面11ABC与平面1DBC所成角的余弦值为1310.已知na为等差数列，nb为等比数列，na的公差为,ndb的公比为q，110ab=，下列结论正确的是（）A.若0d，则na为递增数列B.若0q，则nb为递减数列C.若

10qd，则nnab为递增数列D.若10qd，则nnba为递增数列11.在锐角三角形ABC中，π1,,3ACAABC==外接圆的半径为R，则（）A.122ABB.102ABC.112RD.132

2322BCAB−−−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若()1i1iz+=−，i为虚数单位，则z=__________.13.nS是等比数列na的前n项和，已知33336,3aSSa+==，则2a=__________.14.在三棱锥PABC−中，AB与PC中点分别

为,MN，点G为MN中点.若D在PA上满足2,3PDPAE=在PB上满足34PEPB=，平面DEG交PC于点F，且PFPC=，则=__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写

出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,,abcABC的面积为S.若222433Sabc=−+，（1）求B；（2）若sinsin1AC+=，求πsin6A

+的值.16.（15分）我们知道关于,xy的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如220xy−=表示的就是0xy+=和0xy−=两条直线.（1）求方程()()2210xyxy−+++=表示的直线与y

轴围成的面积；（2）若方程22210xyaxy−++−=表示的是两条直线，求a.17.（15分）四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，2,,ABPBADPAB=⊥为锐角.（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PD与平面ABCD所成角为π,26

3PB=，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.18.（17分）已知函数()lnfxxxa=−有两个零点()1212,xxxx，（1）求()fx的单调区间和极值；（2）当(0,1x时，()()21f

xkxa−−恒成立，求实数k的最小值；（3）证明：2221e124axxa−+−.19.（17分）设集合()1,2,3,,iAii+=N，对于集合iA到集合iA的函数:iifAA→，记其中满足()()ffxx=的函数为“回函数”.对于任意给定的集

合iA，“回函数”的个数记为ia.数列na的第i项为ia.例如11A=，“回函数”仅有一个，即()1fx=，满足()()()111fff==，所以121;1,2aA==，“回函数”有两个，即()11,12,2x

fxx===和()22,11,2xfxx===，这两个函数都能满足()()ffxx=，所以22a=.（1）求3a；（2）当2n时，给出1,nnaa+和1na−之间的关系式并证明；（3）证明：2n时，()()1223nnnna−−+

.深圳市高级中学2025届高三第二次诊断考试数学参考答案18−DACCAACD9.BCD10.AC11.AC12.113.32或3−14.6714.解答：1111122444PGPMPNPAPBPC=+=++G在平面DEF上,,x

yzR，使得PGxPDyPEzPF=++，其中1xyz++=2321311,,3434444PGxPAyPBzPCxyz=++===3111834++=，得67=15.（1）1sin2SacB=22223

sin2cos3acBacbacB=+−=得()tan3,0,πBB=，得π3B=（2）()sinsinsinsinACAAB+=++πsinsin3AA=++13sinsincos22AAA=++π3sin16A=+=π

3sin63A+=16.（1）()()2210xyxy−+++=表示的直线为20xy−+=和210xy++=，联立20210xyxy−+=++=，得两直线交点为()1,1−，两直线与y轴交点分别为()

0,2和()0,1−两直线与y轴围成的三角形面积为()1312122−−=（2）若方程22210xyaxy−++−=表示两条直线，则该方程必能表示为两个二元一次方程的乘积，()()2221xyaxyxymxyn−++−=++−+则()()222221xyaxyxymnxnmymn−+

+−=−+++−+21nmmn−==−，解得11mn=−=0amn=+=17（1）四边形ABCD为正方形ADAB⊥，又ADPB⊥，且APABA=AD⊥平面PABAD平面ABCD平面PAB⊥平面ABCD（2）以A为原点ABAD､分别为xy､轴，过A作平面ABCD

的垂线，以该垂线为z轴由（1）可知z轴在平面PAB内由题意可得()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,2,0ABDC()()(),0,,,2,,2,0,PxzDPxzBPxz=−=−则易知

平面ABCD的法向量为()0,0,1n=πsin326DPnDPnBP==，得2222312420xzxxz+=−+=，解得2x=或1x=−PAB为锐角，2,26xz==()()2,2,

26,2,0,0DPDC=−=，设平面PCD的法向量为()1,,mxyz=1200DPmDCm==，得2226020xyzx−+==，取1z=，得()10,6,1m=易得平面PAB的法向量为()20,1,0m=，设平面PAB与平面PCD

夹角为，则1242coscos,7mm==.综上，平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为427.18.（1）()ln1fxx=+令()0fx=，得1ex=10,ex时，()()0,fxfx单调递减，1,ex+

时，()()0,fxfx单调递增，()fx的极小值为11eefa=−−，无极大值（2）()()21fxkxa−−，即()2ln10xxkx−−，令()()()2ln1,10gxxxkxg=−−=0k时，()0,1x时，()210kx−，

而ln0xx，不合题意；0k时，()()ln12,112gxxkxgk=+−=−()12gxkx=−，显然()"gx为减函数当12k=，即()"1120gk=−=时，则(()()0,1,0,xg

xgx单调递增且()1120gk=−=，(0,1x时，()()0,gxgx单调递减()()10gxg=当102k时，()"1120gk=−(0,1x时，()()0,g

xgx单调递增且()121120,0eekgkg=−=−01,1ex使得()00gx=，且()00,xx时，()()0,gxgx单调递减，()0,1xx时，(

)()0,gxgx单调递增()()()0,1,10xxgxg=，不合题意.综上k的最小值为12.（3）当()0,1x时，ln0xx，若0a，则()0fx，则()fx在()0,1没有零点，又()fx在)1,+上单调递增，所以()fx最多只有1个零点，不合题意0a，又111

0,0eeefaa=−−−()21110,0,1eefafx=−由（2）可知()()2221012fxxa=−−，解得212xa+欲证2221e124axxa−

+−，即证221e4ax，即证11242eexax−=−()1110,lnfxaxx==即证1112lnexxx−，即证112ln0exx+令()()123322211e1ln,eeexxxxxxxx−==

=+−得()x的最小值为210e=，即()0x，易知1111212,lneexxxx−221e4ax，综上2221e124axxa−+−19.（1）34a=分别是()()()()12341,12,13,11,12,2,1,2,2,2

,3,23,33,31,32,3xxxxfxxfxxfxxfxxxxxx=================（2）2n时，111,,nnnnnaanaaa+−−=+分别

表示集合1,nnAA−中“回函数”个数1nA+中“回函数”的个数计算分两种情况：i.若()11fnn+=+，则其他元素不可能对应到1n+，否则通过两次对应后不可能到达自身，即其他n个元素之间只能在内部对应

，所以这种情况的“回函数”的个数为na；ii.若()()11,2,3,,fnmmn+==，由于一个元素经过两次对应必须回到自身，所以必有()1fmn=+，而除m和1n+之外的元素也不能对应m或1n+，即其他1n−个元素只能在它们内部对应，所以“回函数”的个数为1na−，又m有

n种选择，所以这种情况的“回函数”个数为1nna−.综上，112,nnnnaana+−=+（3）易知0na2n时，11nnnaana+−=+，即110,nnnnaanaa+−−=单调递增11112,1nnnnaanaanan+−==++

11,naan=3n时，()()()()()11232231122nnnnnnaaaaaananaa−−−−−−+−++−=−+−++()()()()122321nnnn−−+−−++()()()()()(

)()112121233nnnnnnnn−−=−−−−−−()()()()()()121223213nnnnnnn−−−−+−−++=()()1223nnnna−−+，且22a=满足不等

式综上，2n时，()()1223nnnna−−+.