【文档说明】山东省济南市2023届高三三模数学试题 含解析.docx，共(28)页，4.385 MB，由小赞的店铺上传

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高考针对性训练数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4,5,6,1,2,3,3,6UAB===，则图中阴影部分代表的集合为（）A.1,2B.3,

4C.4,5D.2,3,5【答案】C【解析】【分析】根据Venn图，由集合运算可解.【详解】由题意1,2,3,6AB=，而阴影部分为()4,5UAB=ð.故选：C2.已知复数12,zz是关于x的方程2230xx−+=的两根，则12zz的值为（）A.-3B.-2

C.2D.3【答案】D【解析】【分析】解方程可得1z与2z，利用乘法运算直接计算，或者利用韦达定理即可.【详解】解法一：由2230xx−+=，得112iz=+，212iz=−，所以12(12i)(12i)=3zz=+−；解法二：方程2230xx−+=，由韦

达定理可得123==31zz.故选：D3.若2023220230122023(12)xaaxaxax−=++++，则20231222023222aaa+++的值为（）A.-1B.0C.12D.1【答案】A【

解析】【分析】利用赋值法可得：令0x=可得01a=；令12x=可得：2023120220230222aaaa++++=，即可得出结果.【详解】因为2023220230122023(12)xaaxaxax−=++++，令0x=可得01a=；令12x=可得：20232

0231202202311202222aaaa++++=−=；故20231202202301222aaaa+++=−=−L.故选：A4.在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端

头M（开始时与圆盘上点()1,0A重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当2rad=时，点M与点O之间的距离为（）A.1cos1B.2sin1C.2D.5【答

案】D【解析】【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可.【详解】展开过程中：2,1BMABRBO====,225MOBMBO=+=,故选：D.5.已知函数()2(1),0,lg,0,xxfxxx+=若函数()()gxfx

b=−有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（）A.(0,1B.0,1C.()0,1D.()1,+【答案】A【解析】【分析】将函数()()gxfxb=−有四个不同的零点，转化为函数()yfx=与yb=

图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】依题意，函数()()gxfxb=−有四个不同的零点，即()fxb=有四个解，转化为函数()yfx=与yb=图象由四个交点，由函数函数()yfx=可知，当(),1x−−时，函数为单调递减函数，)0,y+；当(1

,0x−时，函数为单调递增函数，(0,1y；当()0,1x时，函数为单调递减函数，()0,y+；当)1,x+时，函数为单调递增函数，)0,y+；结合图象，可知实数b的取值范围为(0,1.故选：A6.在数列na中,若1223322

1223232323233nnnnnnnna−−−−−=+++++++,则2023a=（）A.2023202332−B.20232024323−C.2024202432−D.20232024232−【答案】C【解析】【分析】将na转化为na233321222nn=++++

,再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】因为12233221223232323233nnnnnnnna−−−−−=+++++++233321222nn=++++131122312nn+−

=−1132nn++=−,所以2023a=2024202432−.故选:C.7.如图，正四面体ABCD的棱AB与平面平行，且正四面体内的所有点在平面内的射影构成图形面积的最小值是24，则该正四面体的棱长为（）A.22B.1C.2D.2【答案】B【解析】【分析】

根据题设，按不同的阶段，分析四面体绕AB旋转过程中在面内的投影形状，并确定面积的变化趋势，结合已知最小投影面积即可求棱长.【详解】由题图，当四面体绕AB旋转过程中，在面内的投影可能为三角形或四边形，若四面体的棱长为2

a，E、F为AB、CD中点，如下图，3CEDEa==，2EFa=，正四面体体高为263a，所以2221cos23DECECDCEDDECE+−==，故22sin3CED=，不妨以顺时针旋转过程为例：①从面//ABD面到面

ABC⊥面，四面体在面上的投影为三角形，以AB投影为底边，其对应的高h从△ABD的高变成DABC−的体高，所以h从3a逐渐变小为263a，则投影面积从23a逐渐变小为2263a；②从面ABC⊥面到//CD面，四面体在面上

的投影从三角形变成四边形，将AB平移至面内，起止位置如下图示，若面ABD与面的夹角为，注意ππ21π22CEDCED++，面ABC与面的夹角为π()CED−+，所以，垂直

于AB投影的投影长为coscos[π()]DECECED+−+23coscos()(2sincos)3DECECEDa=−+=+，所以投影面积从2263a逐渐变大为22sin()a+且tan22φ=；③从//

CD面到面//ABC面，四面体在面上的投影从四边形变成三角形，由上分析知：过程变化刚好是①②的逆过程，即投影面积先变小后变大，所以投影面积从22sin()a+且tan22φ=先变小为2263a，再变大为23a；④从面//ABC面到CD⊥面，四面体在面上的投影为三角形

，以AB投影为底边，其对应的高h从△ABC的高变成异面直线,ABCD的距离EF，所以，投影面积从23a逐渐变小为22a；⑤从CD⊥面到面//ABD面，变化过程与④刚好相反，即面积在变大；上述5个过程，对应投影面积变化的一个周期，其中面积最小2224a=，即12a=，所以四面体的棱长为21

a=.故选：B8.在ABC中，若2,3+=+=ABACBCBA，则ABC面积的最大值为（）A.38B.34C.1D.52【答案】C【解析】【分析】延长BA至D点，使得BAAD=，延长AB至E点，使得ABBE=，可得2+==ABACDC，3+==BCBAEC，再由

111sin332ABCECDSSDCECDCE==创?可得答案.【详解】如图，延长BA至D点，使得BAAD=，延长AB至E点，使得ABBE=，若2,3+=+=ABACBCBA，则22+=+−=−==ABACABBCBABCBADC，23+=−+=−==BCBAACA

BBAACABEC，所以11111sin133232ABCECDSSDCECDCEDCEC==创校创=，则ABC面积的最大值为1.故选：C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（）

A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法【答案】AC【解析】【分析】根据图表所给出的数据，分别计算出5个

社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求解.【详解】由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为10%，所以高一年级的总人数为1210%120=，英文剧场的人数12035%42==，辩论的人数=30，无人机

=数学建模=()120423012218−−−=，占高一年级人数的比例是18100%15%120=，故A正确，B错误，分层抽样20人，无人机应派出2015%3=（人），C正确，甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种

选法，共有35125=种报名方法，D错误；故选：AC.10.抛物线22(0)ypxp=的准线为l，焦点为F，且经过点()1,2A，点A关于直线l的对称点为点M，设抛物线上一动点P到直线2x=−的距离为d，则（）A.4p=B.PMd+的最

小值为251+C.直线AF与抛物线相交所得弦的长度为4D.过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条【答案】BC【解析】【分析】A选项，代入坐标即可求出p；B选项，利用抛物线的定义和三角形三边关系

求解即可；C选项，注意到AF⊥x轴，根据对称性，所求弦长为2AF；D选项，0k=是符合的直线，然后设出直线方程和抛物线联立求解.【详解】A选项，()1,2A代入抛物线方程，解得2p=，故A错误；D选项，由A知，此时抛物线方程为24yx=，故准线为=1

x−，由题意(3,2)M−，于是2y=过M点且和抛物线只有一个交点，过M斜率不存在的线显然和抛物线不相交，故设2(3)ykx−=+，和抛物线联立得到2234yyk−=+，整理得241280kyyk−++=，由164(128)0kk=−+=，解得1k=−或13k=，于是=1yx−

−，33xy=+是抛物线的两条切线，综上，过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有三条，D选项错误；C选项，注意到(1,2),(1,0)AF，故AF⊥x轴，设直线AF与抛物线相交所得弦为AB，根据对称性，24ABAF==，C选项正

确；B选项，设PQ⊥准线，垂足为Q，由题意，1PMdPMPQ+=++，根据抛物线的性质，PQPF=，于是2211(31)21251PMdPMPFMF+=+++=−−++=+，当P落在线段MF上取等号，故B选项正确.故选：BC11.如图，圆锥的轴截

面是边长为2的正三角形，圆锥的内接圆柱的底面半径为r，圆柱的体积为()Vr，则（）A.圆锥的表面积为3πB.圆柱的体积最大值为43π27C.圆锥的外接球体积为323π27D.()()()121212,0

,1,22VrVrrrrrV++【答案】ABC【解析】【分析】根据圆锥的截面确定底面半径和母线，代入圆锥表面积公式计算可判断A，利用相似找到圆柱的底面半径和高的关系，求出圆柱体积的解析式，利用导数法求解最大值可判断B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半径

，求出体积即可判断C，作差变形，判断符号即可判断D.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，圆锥的高22213−=，所以圆锥的表面积为2π12π12ππ3πS=+=+=，故选项A正确；设圆柱的高为h，如图则313rh−=，解得()31hr=−，

则圆柱的体积为()()22π3π1Vrrhrr==−，令()()()2101frrrr=−<<，则()()23frrr=−，当203r<<时，()0fr，()fr单调递增，当213r<<时，()0fr，()fr单调递减，所以()2max2143327fr==，

所以圆柱的体积最大值为max443π()3π2727Vr==，故选项B正确；如图，设圆锥的外接球球O的半径为R，则由ABC是正三角形可得11BO=，13AO=,在1BOO中，222(3)1RR=−+，解得233R=，所以圆锥的外接球体积为334423323ππR

π33327V===球，故选项C正确；因为()()23π1Vrrr=−，所以()()()()22232312112211223π13π13π(+)222VrVrrrrrrrrr+−+−−−==，22312121212123π13π[]22222rrrrrrrrrrV

+++++=−=−，所以()()23232312121212112223π[+22]222rrrrrrVrVrVrrrr++++−=−−−+()()212123π3[1]22rrrr=−

−+，由于()1232rr+与1的关系无法判断，所以()()122VrVr+与122rrV+大小关系不确定，故选项D错误.故选：ABC.12.若()fx为函数()fx的导函数，数列nx满足()()1nnnnfxxxfx+=−，则称nx为“牛顿

数列”.已知函数()21fxx=−，数列nx为“牛顿数列”，其中13x=，则（）A.()2*112nnnxxnx+−=NB.数列nx是单调递减数列C.21221nnxxx−D.关于n的不等式2023112nx−的解有无限个【答案】BCD【解析】【分析】对函数求导

，得出数列递推关系，构造等比数列，求出通项，根据数列的函数性质及不等式证明逐一判断各选项.【详解】对于A，由()21fxx=−得()2fxx=，所以2211122nnnnnnxxxxxx+−+=−=，故A错误；对于B，由13x=得22111

022+−+=−=nnnnnnxxxxxx，()22211112110222+−−−−−−=−−==−−nnnnnnnnnxxxxxxxxx，所以1nnxx+，数列nx是单调递减数列，故B正确；对于C，()21112nnnxxx+−−=，(

)21112nnnxxx+++=，由13x=，得10−nx，所以2111111++=−+−+nnnnxxxx，所以111111ln2ln++−−=++nnnnxxxx，令1ln1nnnxax−=+，则12nnaa+=，所以数列na是公比为2的等比数

列，又13x=，13lnln2311+=−−=a，所以()1ln22−=−nna，即()1l1ln22n1−−−=+nnnxx，所以12121−+−=nnnxx，12121−+−=nnnxx，即11122221221211−−−=+=

+−−nnnnx.对于C，，下面用数学归纳法证明：21221nnxxx−.当1n=时，21213==−x，命题成立；假设当()*nkkN=时，命题成立，即21221kkxxx−；当1nk=+时，即()221212221121221++−=+−kkkk

kkxxxx，()()()()()1222222221222222110,2又+−−−−+=−=++kkkkkkk*N，命题成立；所以1121221212++−+kkkkxxxx命题成立；综上21221nnxxx−成立.对于D，120

232221112−−−=nnx，因为12210−−n，所以120242122−+n，即122024−n，()12nn*N，所以不等式的解有无限个,故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键是由()21112n

nnxxx+−−=和()21112nnnxxx+++=，构造等比数列1ln1nnnxax−=+，考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于偏难题目.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正数,xy满足42xyxy+=，则2xy+的

最小值为___________.【答案】18【解析】【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为42xyxy+=，则42421+=+=xyxyyx，又x，y是正数，所以()()4

2444422121010218+=+=++=+++=xyxyxyxyxyyxyxyx，当44xyyx=取得等号，即6x=且6y=时取等号，所以2xy+最小值为18，故答案为：18.14.已知随机变量,X

Y，其中()()()216,,,,,(2)0.33XBYNEXEYPY==，则(6)PY=___________.【答案】0.2【解析】【分析】由,XY服从的分布类型可直接求出()EX，()EY，

从而求出，再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为16,3XB，所以()1623EX==，因为()2,YN，所以()EY=，又因为()()EXEY=，所以2=，因为()2,YN

，所以(2)0.5PY=，且(6)(2)PYPY=−，又因为(2)0.3PY=，所以(2)0.2PY−=，所以(6)0.2PY=.故答案为：0.2.15.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地

形吻合矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为7

5°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.的的【答案】10015【解析】【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【详解】由题意，30,60DCBC

DB==，所以90CBD=，所以在RtCBD△中，13002BDCD==，330032BCCD==，又75,45DCACDA==，所以60CAD=o，在ACD中，由正弦定理得，sin45sin60ACCD=，所以60022

006232AC==，在ABC中，753045ACBACDBCD=−=−=，由余弦定理得，2222cosABACBCACBCACB=+−222(2006)(3003)2200630031500002=+−=，所以100

15AB=.故答案为：1001516.已知函数()()()e1lne1xxfxxxxx=++−+，()exgxxk=+，当实数0x满足()00fx时，不等式()00ln20gxx++恒成立，则实数k的取值范围为______.【答案】22ek−【解析】【分析】同构

，对函数多次求导，研究函数的单调性，根据()00fx求得00t，从而把不等式恒成立问题转化为exxk−在2x上恒成立，构造函数，利用导数求出函数最值即可求解.【详解】()()()()()lnlne1lne1e1lne1xxxxxxfxxxxxxx++=+

+−+=++−+，令()lntxxx=+，易知函数()lntxxx=+在(0,)+上单调递增，则()()e1e1ttftt=+−+，有()e1tftt=+，记()e1thtt=+，则()(1)ethtt=+，1t−时，

()0ht，1t−时，()0ht，所以()e1thtt=+在(1,)−+上单调递增，在(,1)−−上单调递减，所以1()(1)e10hth−−=−+，即e10tyt=+，所以函数()()e1e1ttftt=+−+单

调递增，且()00(0)e10e10f=+−+=，由题意()00fx，所以()00ft，所以00t，不等式()00ln20gxx++恒成立即()020gt+恒成立，所以2x时，()e0xgxxk=+恒成立，即e

xxk−在2x上恒成立，记()(2)exxmxx=−，则min()kmx，因为1()0exxmx−=，所以()exxmx=−在[2,)+上单调递增，所以min22()(2)emxm==−，故22ek−.

故答案为：22ek−【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分

离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程

或演算步骤.17.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足135715,49aaaS++==.（1）求na的通项公式；（2）若数列nb满足3nnnba=，求nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−（2）()

1133nnTn+=−+【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式计算可得答案；（2）由题意可知()213nnbn=−，利用错位相减求和可得答案.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，因为135715

,49aaaS++==.所以11361572149adad+=+=，所以11a=，2d=，所以()11221nann=+−=−；【小问2详解】由题意可知()213nnbn=−，所以()23133353213nnTn=++++−①，()234131

33353213nnTn+=++++−②，①−②得，()1234121323232323213nnnTn+−=+++++−−，()21232332321313nnnTn+−−=+−−−，()122236nnTn+−=

−+−，()1133nnTn+=−+.18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，2,ABFAFC==，且60DABDBF==.（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求AD与平面ABF所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，易证ACBD⊥、ACFO⊥，应用线面垂直判定证结论；（2）连接DF，求证,,OAOBOF两两垂直，构建空间之间坐标系，向量法求线面角的正弦值.【小问1详

解】设AC与BD相交于点O，连接FO.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD⊥，且O为AC中点，因为FAFC=，所以ACFO⊥，又FOBDO=，,FOBD面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.【小问2详解】连

接DF，因为四边形BDEF为菱形，且60DBF=，所以DBF为等边三角形，因为O为BD中点，所以FOBD⊥，又,ACFOBDACO⊥=，,ACBD面ABCD，所以FO⊥平面ABCD.所以,,OAOBOF两两垂直，如图所示，建立空间直角坐标系

Oxyz−，因为四边形ABCD为菱形，60,2DABAB==，所以2,23BDAC==.因为DBF为等边三角形，所以3OF=，所以()()()()3,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,3ABDF−，所以()3

,1,0AD=−−，()()3,0,3,3,1,0AFAB=−=−，设平面ABF的法向量为(),,nxyz=r，则33030AFnxzABnxy=−+==−+=，取1x=，得()1,3,1n=，设直线AD与平面ABF所成

角为，则||15sin|cos,|5||||ADnADnADn===.19.已知()sin(0)fxx=，其图象相邻对称轴间的距离为π2，若将其图象向左平移5π12个单位得到函数()ygx=的图象.（1）求函数()ygx=的解析式及图象的对称中心

；（2）在钝角ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若π226=−BAfg，求25coscbA+的取值范围.【答案】（1）()5πsin26=+gxx，对称中心为()5ππ,0122kk−+Z（2）)43,52【

解析】【分析】（1）根据()fx的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出，再根据图像平移得到()ygx=，由对称中心公式求得结果；（2）由π226=−BAfg得出,,ABC三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简25coscbA+

，再利用导数求函数单调区间得出结果.【小问1详解】已知()fx的图象相邻对称轴间的距离为π2，则πT=.由周期公式得，2ππ,0T==，所以()2,sin2fxx==，()5π5πsin2sin2126

=+=+gxxx，令5π2π6+=xk，所以5ππ122=−+kx，故函数()ygx=的对称中心为()5ππ,0122kk−+Z【小问2详解】由题意得，sin2=

BfB，ππ5ππsin2sin262662−=−+=+AAgA，所以πsinsin2=+BA.所以π2BA=+或π2AB+=（舍），所以π2

2=−CA.因为在钝角ABC中，所以ππ0,022AC，所以π04A，则252sin5cossincoscCbABA+=+()222cos152cos2534coscoscoscoscosAAAAAAA−+=+==+令()32cos,4,,12tAtttt==+

，()234=−tt，当2322x时，()0t；当312x时，()0t；可得()t在23,22单调递减，在3,12单调递增.所以当32t=，即π6A=时，()t有最小值43

；()252,172==，所以()52t故)2543,52coscbA+.20.某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.（1）下表为某10位同学预

赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩上四分位数（第75百分位数）和平均数；（2）决赛共有编号为,,,,ABCDE的5道题，学生甲按照,,,,ABCDE的顺序依次作答，答对的概率依次为21111

,,,,32233，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）上四分位数：96，平均数：95（2）分布列答案见解析，数学期望：671

8【解析】【分析】（1）直接利用百分位数求解步骤即可求出上四分位数，再利用平均数的计算公式即可计算平均数；（2）找出X的所有可能取值，然后分别求出其概率，即可列出分布列，进而求出数学期望.【小问1详解】因为100.757.5=，所以上四分位数为第八个成绩，为96；平均数为93

29429539697989510+++++=.【小问2详解】由题意可知X的取值为2,3,4,5，所以()1112326PX===，()111211313322322124PX==+==，()11122112211210

543223322332233618PX==++==，的的()211111112111211121121153223322332233223322336PX==++++=，所以X的分布列

为：X2345P1614518113611511()2345641836EX=+++134673618==.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，圆22:1Mxy+=与x轴的交点恰为C的焦点，且C上的点到焦点距离的最大值为2b.（1）求C的标准方程；（2）不

过原点的动直线l与C交于,AB两点，平面上一点D满足OAAD=，连接BD交C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若25EABOABSS=，试判断直线l与圆M的位置关系，并说明理由.【答案】（1）22143xy+=（2

）直线l与圆M相离，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意列出椭圆中的a，b，c的关系解方程组即可求解；（2）需判断圆心M到直线l的距离与圆M的半径的大小系，重视设而不求的思想方法.小问1详解】由题意，圆

22:1Mxy+=与x轴的交点为()1,0，可得1c=，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为2acb+=，又因为222abc=+，可得2a=，3b=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=【小问2详解】【如图所示，设()()112

2,,,AxyBxy，当直线l的斜率存在时，设直线():0lykxmm=+，与22143xy+=联立可得，()2224384120kxkmxm+++−=，且有21212228412,4343kmmxxxxkk−+

=−=++，()()()222Δ(8)4434120*kmkm=−+−()()()222212121212231243mkyykxmkxmkxxkmxxmk−=++=+++=+，由OAAD=可得点A为O

D中点，可得()112,2Dxy，且有25EABEABOABDABEBSSSSBD===，所以可得，1212234343,555555OEODOBxxyy=+=++，即点E的坐标为12124343,5555xxyy

++，将点E代入椭圆22143xy+=，可得2212121431431455355xxyy+++=，化简后，得222211221212169241254325432543xyxyxxyy+++++=

，由于点,AB分别满足222211221,14343xyxy+=+=，代入上式可得，1212043xxyy+=，即1212340xxyy+=.代入韦达定理可得，22243mk=+，满足()*式，点O到直线l的距离()2222223212211211kmmdkk

kk+====−++++，由于20k，可得()()2211212,0221kk++，所以()23122221k−+，所以有312dr=，所以直线l与圆M相离，当直线l的斜率不存在时，此时有1212,xxyy=

=−，代入1212340xxyy+=，可得2211340xy−=，又2211143xy+=，可得12x=，所以直线l的方程为2x=，也满足直线l与圆M相离.综上，直线l与圆M相离.22.已知函数()2ee2xxfxax=−+.（1）讨论()f

x的极值点个数；（2）若()fx有两个极值点12,xx，直线ykxb=+过点()()()()1122,,,xfxxfx.（i）证明：ln2akf；（ii）证明：12ba−.【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1

）求出函数的导函数，分0a、02a、2a三种情况讨论，分别求出函数的极值点的个数；（2）（i）由（1）知，2a，不妨设12xx，且12eexxa+=，12ee1xx=，依题意只需证明121212e1e12xxxx

xx−−−−+，令()e1,0e12tttgtt−=−+，利用导数说明函数的单调性，即可证明；（ii）依题意可得()()()1112121xfxxfxbfxxx−=+−，则只需证明()()12111222fxfxa+−，即证明122221ee1222xxa

a+−−，结合（i）的结论即可得证.【小问1详解】因为()2ee2xxfxax=−+定义域为R，且()2ee1xxfxa=−+，当0a时，()0fx¢>恒成立，()fx在(),−+上单调递增，极值点个数为

0；当02a时，对于函数21yxax=−+，()240a=−−，所以()0fx恒成立，所以()fx在(),−+上单调递增，极值点个数为0；当2a时，由()0fx=得，214ln2aax−−=或224ln2aax+−=，由()0fx¢

>得，1xx或2xx；由()0fx得，12xxx.所以单调递减区间为()12,xx，单调递增区间为()()12,,xx−+,.所以1x为极大值点，2x为极小值点，极值点个数为2.综上，当2a时，极值点个数为0；当2a时，极值点个数为2.【小问2详解】（i）由（1）知，2a，不

妨设12xx，则12eexxa+=，12ee1xx=，所以120xx+=，要证()()1212ln2fxfxafxx−−成立，只需证明121212eeee2xxxxxx−+−，只需证明121212e1e12xxxxxx−−−−+，令()e1,0e12tttgtt−

=−+，则()()()()222e12e102e12e1ttttgt−−=−=++，所以()gt在(),0−上单调递减，所以()()00gtg=，所以121212e1e12xxxxxx−−−−+成立.所以ln2akf

.（ii）由()()()()211121fxfxyfxxxxx−−=−−得()()()1112121xfxxfxbfxxx−=+−，要证12ba−成立，只需证明()()()111212112xfxxfxfxaxx−+−−，因为120xx+=，所以只需证

明()()12111222fxfxa+−，只需证明122221ee1222xxaa+−−，只需证明21111222aa−−−，即2(2)0a−，因为2(2)0a−成立，所以12ba−成立.【点睛】方法点睛：导函数中常

用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxu

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