【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.786 MB，由小赞的店铺上传

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2020年上期衡阳市八中高二年级期中考试数学试卷时量：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合13AxNx=−，1,0,2,3B=−，则AB=（）A.0,2

B.1,0,2−C.2D.0,2,3【答案】A【解析】【分析】化简集合A，然后直接利用交集运算得答案.【详解】解：∵130,1,2AxNx=−=，0,2AB=故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题.

2.命题“1,2x，20xa−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.4aB.5aC.3aD.5a【答案】B【解析】【分析】先找出命题为真命题的充要条件4aa，从集合的角度充分不必要条件应为4aa的真子集

，由选项不难得出答案.【详解】解：1,2x，214x，∴要使20xa−恒成立，则2ax恒成立，即4a，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B符合.故选：B.【点睛】本题考查全称量词的意义与充分、必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题.3.设向量(),1ax=

，()4,bx=，且a，b方向相反，则x的值是（）A.2B.2−C.2D.0【答案】B【解析】【分析】由a，b方向相反，可得λab=，0，即(,1)x=(4,)x，由此求得x的值．【详解】解：向量(),1ax=r，()4,bx=，且a，b方向相反，则λab=，0

，即(,1)x=(4,)x，41xx==解得122x=−=−或122x==（舍去）故2x=−，故选：B．【点睛】本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题．4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20B.24C.28

D.32【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．5.在ABC中，,,abc分别为,,ABC的对边，60,1A

b==，这个三角形的面积为3，则a=（）A.2B.10C.23D.13【答案】D【解析】依题意11sin1sin60322SbcAc===，解得4c=，由余弦定理得2214214cos6013a=+−=.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余

弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出AB边的长，再用余弦定理即可求得BC边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.6.已知m=1(2)2aaa+−，n=221()(0)2xx−，则

m，n之间的大小关系是（）A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n【答案】A【解析】试题分析：由于m=111(2)2222(2)4222aaaaaaa+=−+++−=−−−，当a-2=1时取得等号，即a=3取得．而n=222222111()(0)220()()4222xxxx−−−−

−=，结合指数函数的性质可知其范围(0,4),那么可知m>n,选A考点：本试题主要考查了均值不等式的运用，求解最值．点评：解决该试题的关键是理解不等式中求解最值时，要满足的条件是一正二定三相等得到最值的求解．7.已知函数()fx是定义域为R的偶函数，且1(1)()

fxfx+=，若()fx在1,0−上是减函数，记0.5(log2)af=，2(log4)bf=，0.5(2)cf=，则（）A.acbB.abcC.bcaD.bac【答案】A【解析】【详解】∵()

()11fxfx+=，∴()()2fxfx+=，∴函数是周期为2的周期函数；∵()fx为偶函数，()fx在1,0−上是减函数，∴()fx在01，上单调递增，并且()()()0.5log211afff==−=，()()()2log420bfff===，()0.52c

f=，∵()()()0.522220221fff=−−=，∴acb，故选A.点睛：本题主要考查偶函数的定义，函数的单调性，首先根据()()11fxfx+=得函数为周期函数，偶函数在其对称区间内单调性相反，对于偶函数比较函数值大小的方法就

是将自变量的值变到区间01，上，根据单调性去比较函数值大小.8.已知函数()fx是定义域为R的奇函数，且当0x时，22log,02147,22()fxxxxxx−+=„，若函数()(01)yfxaa=−有六个零点，分别记为123456,,,,,xxxxxx，则12345

6xxxxxx+++++的取值范围是（）.A.52,2B.2110,2C.(2,4)D.103,3【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象

六个零点，和函数的对称性，即可求解．【详解】由题意，函数()fx是定义域为R的奇函数，且当0x时，22log,02()147,22xxfxxxx=−+„，所以当0x时，22log(),

20()147,22xxfxxxx−−−=−−−−„，因为函数()(01)yfxaa=−有六个零点，所以函数()yfx=与函数ya=的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设123456xxxxxx，由图知1

2,xx关于直线4x=−对称，56,xx关于直线4x=对称，所以12560xxxx+++=，而2324log,logxaxa=−=，所以2324234logloglog0xxxx+==，所以341xx=，所以343422xxxx+=…，取等号的条件

为34xx=，因为等号取不到，所以342xx+，又当1a=时，341,22xx==，所以3415222xx++=，所以12345652,2xxxxxx+++++.故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数()yfxa=−有六个

零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.已知660a

，1518b，则下列正确的是（）A.1,43abB.()221,78ab+C.()12,45ab−−D.7,56abb+【答案】AC【解析】【分析】通过特殊值，排除错误选项

，结合不等式性质即可解答.【详解】A中，11115181815bb，又660a，所以根据不等式的性质可得1111660418153aabb，故A正确；B中，30236b，36296ab+，故B错误；C中，1815b−−−，1245ab

−−，故C正确；D中，41,53ababb+=+，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，属于基础题.10.将曲线()23sin3sinsin2yxxx=−−+上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标

不变)，得到()gx的图象，则下列说法正确的是（）A.()gx的图象关于直线23x=对称B.()gx在0,上的值域为30,2C.()gx的图象关于点,06对称D.()gx的图象可由1cos2yx=+的图象向右平移23个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利

用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得1sin262yx=−+，根据三角函数伸缩变换可知()1sin62xgx=−+，采用代入检验的方式可依次判断,,ABC的正误；根据三角函数平移变换可判断D的正误.【详解】()231cos2sin3sinsin3si

ncos22xyxxxxx−=−−+=+3111sin2cos2sin222262xxx=−+=−+.()1sin62gxx=−+，对于A，当23x=时，62x−=，()gx关于直线23x=对称，A正确；对于B，当

0,x时，7,666x−−，1sin,162x−−，()30,2gx，B正确；对于C，当6x=时，06x−=，162g=，()gx关于点1,62对称，C错误；对于D，1cos2

yx=+向右平移23个单位得：21cos32yx=−+=cos62x−−()11sin262xgx+=−+=，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴

、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.11.给出下列命题，其中是错误命题的是（）A.若函数()fx的定义域为0,2，则函数()2fx的定义域为0,4；B.函数()1fxx=的单调递减区间是()(),00,

−+；C.若定义在R上的函数()fx在区间(,0−上是单调增函数，在区间()0,+上也是单调增函数，则()fx在R上是单调增函数；D.1x，2x是()fx定义域内的任意的两个值，且12xx，若()()12fxfx，则()fx是减函数.【答案】AB

C【解析】【分析】根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.【详解】解：对于A，若函数()fx的定义域为0,2，则函数()2fx的定义域为0,1，故A错误；对于B，函数()1fxx=的单调递减区间是(),0−和()

0,+，故B错误；对于C，若定义在R上的函数()fx在区间(,0−上是单调增函数，在区间()0,+上也是单调增函数，则()fx在R上不一定为单调增函数，故C错误；对于D，为单调性的定义，正确.故答案为：ABC.【点睛】本题主要考查函数定义域

和单调性的概念，属于基础题.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为1BB，CD的中点，则（）A.直线1AD与BD的夹角为60B.平面AED⊥平面11AFDC.点1C到平面11ABD的距离为32D.若正方体每条棱所在直线与平面所成

的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】【分析】对A：通过平移使直线1AD与BD共面来求解；对B：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对C：利用体积法求点到面的距离；对D：作出截面可判断.【详解】解：对A，连结111,DBAB，则11ADB为直线1AD与BD，明

显11ADB为等边三角形，故A正确；对B，易得11,DFADDFAE⊥⊥，所以1DF⊥面AED，所以平面AED⊥平面11AFD，故B正确；对C，1111111111313111322CABCDABCD

BABCABDVVV−−−=−=−=，又1113322222ABDS==，所以点1C到平面11ABD的距离为1111332332ABDABDCVS−==，故C错误；对D，，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面

垂直，考查空间想象能力和计算能力，是中档题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.1sin63−=，则cos23−的值是______【答案】79【解析】【分析】设6=−，则()cos2cos23−=−

，利用诱导公式及二倍角公式即可求出.【详解】设6=−，则6=−，且1sin3=，则cos2cos2363−=−−()2cos2cos212sin

=−==−171299=−=故答案为：79【点睛】本题考查了诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查利用换元法求值问题，属于基础题.14.若xy，满足约束条件402400xyxyxy+−−−−

，则2zxy=+的最小值为_____【答案】6【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z＝2x+y为y

＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立4yxyx=−+=得A（2,2），故z的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知0x，0y，且

211xy+=，若227xymm+−恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】()1,8−【解析】【分析】根据()214224yxxyxyxyxy+=++=++，利用基本不等式得出28xy+，即278mm−，求

解即可得到得出m的范围.【详解】因为211xy+=，所以()2144224428yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=（当且仅当4yxxy=时等号成立），因为227xymm+−恒成立，所以278m

m−，解得：18m−.故答案为：()1,8−【点睛】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.16.已知函数22()()()fxxxxaxb=−++的图象关于直线2x=对

称，则ab+=______；函数()yfx=的最小值为_________.【答案】(1).5(2).94−【解析】【分析】根据函数图像的对称性可得(2)(2)fxfx+=−,可对x进行赋值,求,ab,构造函数，根据二次函数的性质，即可得

出结果.【详解】因为()yfx=图像关于直线2x=对称,所以(2)(2)fxfx+=−当1x=时,(3)(1)ff=得(93)(93)0ab−++=①当2x=时,(4)(0)ff=得(164)(164)0ab−++=②联立①②可得:7,12ab=−=,所以5ab+=；所以2222()(

)(712)(1)(3)(4)(4)(43)fxxxxxxxxxxxxx=−−+=−−−=−−+,令224(2)44txxx=−=−−−,则2()(3)3,4ftttttt=+=+−，因为2()3fttt=+是开口向上，对称轴为32t=−，所以函数2()3fttt=+在

34,2−−上单调递减，在3,2−+上单调递增，所以min39()24ftf=−=−.故答案为:94−【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，

属于常考题型.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设p：实数x满足()222300xaxaa−−，q：24x.（1）若1a=，且p，q都为真命题，求x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，

求实数a的取值范围.【答案】（1）23xx；（2）43aa.【解析】【分析】（1）由p为真时，得13x-<<，由p，q都为真命题，即可求出x的范围；（2）由充分不必要条件的定义，得243xxxaxa

−Ö，则2034aaa−解之即可.【详解】解：（1）若1a=，则22230xaxa−−可化为2230xx−−，得13x-<<.若q为真命题，则24x.∴p，q都为真命题时，x的取值范围是23xx.（2）由()2223

00xaxaa−−，得3axa−.q：24x，q是p的充分不必要条件，∴243xxxaxa−Ö，则2034aaa−，得43a.∴实数a的取值范围是43aa.【点睛】本题考查命题的真假和充分、必要条件

，考查推理能力和计算能力，属于一般题.18.已知等差数列na的前n项和为nS，2414aa+=，770S=.（1）求数列na的通项公式.（2）设248nnnbS=+，数列nb的最小项是第几项

？求出最小项的值.【答案】（1）32nan=−；（2）最小项是第4项，该项的值为23.【解析】【分析】（1）设公差为d，根据2414aa+=，770S=列出方程组求出首项与公差，进而可得通项公式；（2）由（1）可得4831nbnn=+−，利用基本不等式即可求解.

【详解】解：（1）设数列na的公差为d，则有11241472170adad+=+=，即1127310adad+=+=，解得113ad==.所以数列na的通项公式为32nan=−.（2）()2313

222nnnnSn−=+−=，所以234848483123123nnnbnnnnn−+==+−−=，当且仅当483nn=，即4n=时上式取等号，故数列nb的最小项是第4项，该项的值为23.【点睛】本题考查等差数列的

通项公式以及前n项和公式，考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于中档题.19.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是,,abc，向量m＝(a－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且mn.（1）

求B；（2）若b＝13，cos6A+＝33926，求a.【答案】(1)3；(2)1.【解析】【分析】（1）由mn∥，整理得222acbac+−=，结合余弦定理，即可求解；（2）由（1）得5(,)666A+，利用三角函数的基本关系式，求得513sin()626

A+=，进而得到39sin26A=，再利用正弦定理，即可求解.【详解】（1）由题意，因为mn∥，所以()()()aacbcbc−=+−，整理得222acbac+−=，由余弦定理可得2221cos222acbacBa

cac+−===，因为(0,)B，所以3B=.（2）由（1）可得2(0,)3A，则5(,)666A+，又由cos()6A+=33926，所以513sin()626A+=，所以39sinsin[()]6626AA=+−=，在ABC中，由正弦定

理可得sinsinabAB=，所以3913sin261sin32bAaB===.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解

本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.20.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，4,43,,ACBCABMN===分别为1,

ABCC的中点（1）求证：CM∥平面1BAN；（2）若11AMBC⊥，求平面1BAN与平面1BMC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)31010【解析】【分析】（1）取1AB的中点E，连接EM，EN，可得四边形

EMCN为平行四边形，得到CM∥NE．再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面1BAN；（2）由已知证明1AM⊥平面1BMC，以M为坐标原点，,,MBMCME为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系Mxyz−，求出平面1BAN的一个法向量n，由平面1BMC的法向量1

AM与n所成角的余弦值可得平面1BAN与平面1BMC所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）证明：取1AB的中点E，连接EM，EN，在△1ABB中，E，M分别是1AB，AB的中点，则EM∥1BB，且112EMBB=，又

N为1CC的中点，1CC∥1BB，∴NC∥1BB，112NCBB=，从而有EM∥NC且EM=NC，∴四边形EMCN为平行四边形，则CM∥NE．又∵CM⊄平面1BAN，NE⊂平面1BAN，∴CM∥平面1BAN；（2）∵AC=BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，直三棱柱111AB

CABC−中，由1AA⊥平面ABC，得1AA⊥CM，又∵AB∩1AA=A，∴CM⊥平面1ABB1A，从而1AMCM⊥又∵11AMBC⊥，1BCCMC=，∴1AM⊥平面1BMC，从而有11AMBM⊥，∵4,43,ACBCABAMMB====，∴123AAAM==．由（

1）知EM∥1BB，∴EM⊥平面ABC．以M为坐标原点，,,MBMCME为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz，则()()()1123,0,0,23,0,23,23,0,23AAB−−，C（0，2，

0），N（0，2，3）．∴()()()1123,0,23,43,0,23,23,2,3AMABAN=−==．设平面1BAN的法向量为n=（,,xyz），则14323023230nABxznANxyz=+==++=，取1x=，则n=（1，0，-2），平面1BMC的法向量

为()123,0,23AM=−，∴111310cos10||AMnAMnAMn==，，∴平面1BAN与平面1BMC所成锐二面角的余弦值为31010．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.已知函数()()4lo

g41xfxmx=++是偶函数，函数()42xxngx−=是奇函数.（1）求mn+的值；（2）设()()12hxfxx=+，若()()4log21gxha+对任意1x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）12mn+=；（

2）132aa−.【解析】【分析】（1）利用()gx是奇函数可得n的值，利用()fx是偶函数可得m的值，由此可得答案；（2）易得()41222xxxxgx−−==−在区间)1,+上是增函数，可得()gx的最小值，结合对数函数的性质可得32224220210aaa++

+，解不等式即可.【详解】（1）由于()gx为奇函数，且定义域为R，∴()00g=，即004012nn−==，经检验，1n=符合题意；∵()()4log41xfxmx=++，∴()()4log41xfxmx−−=+−()()4log411xmx=+−+∵()fx是偶函数，∴()

()fxfx−=，得()1mxmx=−+恒成立，故12m=−综上所述，可得12mn+=（2）∵()()()41log412xhxfxx=+=+，∴()()44log21log22haa+=+又∵()

41222xxxxgx−−==−在区间[1,)+上是增函数，∴当1x时，()()min312gxg==由题意，得32224122032210aaaa++−+，因此实数a的取值范围是：132aa−.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，不

等式的恒成立问题，属于中档题.22.已知向量()2sin,sincos=+m，(cos,2)nm=−−，函数()fmn=的最小值为()()gmmR（1）当1m=时，求()gm的值；（2）求()gm；（3）已知函数()hx为

定义在R上的增函数，且对任意的12,xx都满足1212()()()hxxhxhx+=+问：是否存在这样的实数m，使不等式(())hf4()sincosh−++(32)0hm+对所有[0,]2恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1

）132−；（2）2(2)21,22248()=,22222241(2)2,222mmmmgmmmm++−−++−−−−−+−；（3）见解析【解析】【分析】（1）把1m=，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；（2

）转化成二次函数问题，对对称轴的位置与区间[22]−，进行讨论；（3）利用函数()hx为定义在R上的函数，得到4[22]32hsinmsincoshmsincos−++−−−+（）（）＞（），然后，再根据函数的单调性，转

化成42232sinmsincosmsincos−++−−−+（）（）＞，最后，利用换元法sincost=+，转化成()()22222ttttmttt−+−=+−，求解函数()gt在1,2上的最大值为3，从而解决问题．【详

解】（1）()()()sin22sincosfm=−++令sincost=+，t[-2,2]，则2sin21t=−当1m=时，2ming(m)=(t31)132t−−=−（2）()()()221fFttmt==−+−，t[-2,2](

)()2221,22248g(m)=,2222224122,222mmmmmmm++−−++−−−−−+−（3）令120,0==xx，所以()()()()00000=+=ffff令12,xxxx==−，所以()()()0ffxfx=+−，所以()()fxfx=−−则()h

x为R上的奇函数要使()()()4sin22sincos320sincoshmhm−++−+++成立，只须()()4sin22sincossincoshm−++−+

()()3232hmhm−+=−−，又由()fx为单调增函数有()()4sin22sincos32sincosmm−++−−−+，令sincost=+，则2sin21t=−，0,,22sin1,24t

=+原命题等价于()2412320tmtmt−−+−++对1,2t恒成立；()24222tmttt−−+−，即()()22222ttttmttt−+−=+−.由双勾

函数知()gt在1,2上为减函数，3m时，原命题成立【点睛】本题综合考查了三角函数的公式、三角恒等变换公式、二次函数最值、三角函数的图象与性质等知识，对于恒成立问题，一般思路是分离参数法，本题属于

难题．