【文档说明】安徽省马鞍山市2022届高三下学期第二次教学质量监测（二模） 数学（理）答案.docx，共(4)页，404.951 KB，由小赞的店铺上传

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2022年高三第二次教学质量监测理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B．2．A．3．D．4．C．5．C．6．A．7．B．8．A．9．C．10．D．11．B．12．D．二、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．e．14．180．15．78613+．16．(0,2]．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题

，考生根据要求做答。17．【解析】（1）成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为110．（1分）所以成绩为“良好”的抽取130310=人，成绩为“优秀”的抽取120210=人．（3分）所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的

概率为2225110CPC==．（5分）（2）由题意知，X的可能取值0,1,2,3．（6分）由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为12011005P==，竞赛得分不是“优秀”的概率为21141155PP=−=−=．若以频率估计概率

，则X服从二项分布1(3,)5B．（7分）00331464(0)C()()55125PX===；11231448(1)C()()55125PX===；22131412(2)C()()55125PX===；3303141(3)()()55125PXC===．所以X的分布列为X0123

P271255412536125812513()355EX==．（12分）18．【解析】选①：（1）因为332ACCB=−，所以33cos(π)2abC−=−，又7a=，3b=，所以11cos14C=，所以53sin1

4C=，所以1153sin24ABCSabC==△．（6分）（2）由余弦定理可得，2222cos25cbaabC=+−=，所以5c=．所以2221cos22bcaA+−==−，由(0,π)A，所以2π3A=．因为11153sinsin22224ABCAASbADc

AD=+=△，所以158AD=．（12分）选②：（1）因为7a=，3b=，所以由正弦定理可得12cos7sin2cos13sinAaABbB−===−，所以sin2sincos2sincossinBBAABA−=−，sinsin2sincos2sincos2sinABBAABC+=+=

，由正弦定理可得2abc+=，所以5c=，由余弦定理可得，2221cos22bcaA+−==−，由(0,π)A，所以2π3A=，所以1153sin24ABCSbcA==△．（6分）（2）因为11153sinsi

n22224ABCAASbADcAD=+=△，所以158AD=．（12分）选③：（1）因为2sin23cos2AA=，所以22sincos23cos222AAA=，由(0,π)A，cos02A，所以tan32A=，2π3A=．由余弦定理可得，2221cos22bcaA+−==−，5

c=．所以1153sin24ABCSbcA==△．（6分）（2）因为11153sinsin22224ABCAASbADcAD=+=△，所以158AD=．（12分）19．【解析】（1）取AD中点N，连接,NENC．因为ADE△是等腰三角形，所以ENAD⊥，2723EN=

−=．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADEI平面ABCDAD=，所以EN⊥平面ABCD，又因为CF⊥平面ABCD，所以ENCF∥，又ENCF=，所以四边形ENCF是平行四边形，所以EFNC∥，又NC平

面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．（6分）（2）连接BD交AC于O，取AF中点M，连接OM，所以OMCF∥．因为CF⊥平面ABCD，所以OM⊥平面ABCD，因为,OAOB平面ABCD，所以OM

OA⊥，OMOB⊥，又因为四边形ABCD是菱形，所以OAOB⊥，所以,,OAOBOM两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则(23,0,0)A，(0,2,0)B，(23,0,0)C−，(0,2,0)D−，(3,1,0)N−，(3,1,3)E−，(23,0,3)F−，(4

3,0,3)AF=−uuur，(3,1,3)AE=−−uuur．设平面AEF的法向量为(,,)mxyz=ur，则4330330AFmxzAEmxyz=−+==−−+=uuururuuurur，令1x=，得(1,33,4)

m=ur，又平面AFC的法向量为(0,1,0)n=r．设二面角EAFC−−的大小为，则||333cos22||||mnmn==urrurr，2187sin1cos22=−=．所以二面角EAFC−−的正弦值为1

8722．（12分）NMzyxOABCDFE20．【解析】（1）联立直线:240lxy++=与抛物线2:2(0)Cypxp=的方程得2480ypyp++=，由题意，2(4)480pp=−=，解得2p=，所以抛物线C的

方程为24yx=．（4分）（2）依题意设直线:20ABxyt++=，与抛物线2:4Cyx=的方程联立，得2840yyt++=．由64160t=−得4t，由韦达定理可知，线段AB的中点M的纵坐标42ABMyyy+==−，横坐标28MMxytt=−−=−．由于点N在x轴上且2MPMN=，所以N

为线段PM的中点，故4PMyy=−=，从而点P的坐标为(4,4)，点N的横坐标1222MPNxxtx+−==．于是，OPM△的面积1||||2422OPMPMSONyyt=−=−△，因为4t，所以OPM△面积的取值范围是(16,)+．（

12分）21．【解析】（1）21(1)()(1)1(1)1mxmfxxxxx−−=−=−+++，令()0fx=得1xm=−．因为0m，所以11m−−，当(1,1)xm−−时，()0fx；当(

1,)xm−+时，()0fx．故函数()fx的单调增区间为(1,1)m−−，单调减区间为(1,)m−+．（4分）（2）（i）法一：因为{}na各项均为正整数，即1na，故112nnaa+．于是2111121(2)2112

nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa+++++−=−−++，又2112112nnnnaaaa+++−+，所以121nnaa+−，由题意12nnaa+−为整数，因此只能120nnaa+−=，即12nnaa+=．（8分）（i）

法二：由题，22111122111111212122222nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa+++++−−−−−+++，因为{}na各项均为正整数，即1na，故11022na，于是11(1,0)22na−−−且11(0,1)22na+．由题意12nnaa+

−为整数，因此只能120nnaa+−=，即12nnaa+=．（8分）（ii）法一：由12a=，得2nna=，11112nnnba=−=−．原不等式532111115(1)(1)(1)eln(1)22223

nnkk−=−−−−−．由（1）知1m=时，ln(1)(1)1xxxx+−+，取12kx=−得11ln(1)221kk−−−．因此只需证：11115ln(1)2213nnkkkk==−−−−，即证明115213nnkkS==−．记121kkc=−，则+1

+1+1+1212111212222kkkkkkkkcccc−−==−−．1513S=；215133S=+；当3n时，1122222211(1)11153211222312nnnSccccc−−−+++++=+−．故原不等式

成立．（12分）（ii）法二：由12a=，得2nna=，11112nnnba=−=−．原不等式532111115(1)(1)(1)eln(1)22223nnkk−=−−−−−．由（1）知1m=时，ln(1)(1)1xxxx+−+，取12kx=−得1

1ln(1)221kk−−−．因此只需证：11115ln(1)2213nnkkkk==−−−−，即证明115213nnkkS==−．1513S=；215133S=+；当3k时，24k，故4(21)32kk−，即141213

2kk−．当3n时，223311(1)414414451582132133233332312nnnnkknkkS−−==−=++=+=−−−．故原不等式成立．（12分）（其它合理证明方法，请酌情给分）22．【解析】（1）曲线C的极坐标方程：4sin6cos

=−，得：24sin6cos=−，由222sin,cos,yxxy===+，得曲线C的直角坐标方程：22(3)(2)13xy++−=．由直线l：(32)(3)250mxmym++−++=，得：(32)2350xymxy+++−+=，

联立3202350xyxy++=−+=，解得：1,1xy=−=，所以定点的极坐标为3π(2,)4．（5分）（2）由（1）得，曲线C：22(3)(2)13xy++−=，圆心(3,2)−，半径13r=，由||6MN=，得圆心C到直线l的距离2d=．当直线l的斜率不存在时，l:1x=−，经检验满

足题意；当直线l的斜率存在时，设:1(1)lykx−=+，即：10kxyk−++=.2|321|32,41kkkk−−++==+，直线l的方程为:3470xy−+=．所以，直线l的方程：1x=−或3470xy−+=．（10分）23．

【解析】（1）21,1()1,1325,3xxfxxxx−−−=−−，故()3fx解得，24x−，所以不等式的解集[2,4]M=−．（5分）（2）由（1）1m=，1111111114()(11)(2)(22)1131131133baabababab+++=+++

+=+++=++++++，当且仅当1111baab++=++时，即12ab==时取等号．（10分）