【文档说明】《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第4讲 平行四边形的性质及判定（解析版）.doc，共(26)页，593.500 KB，由管理员店铺上传

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1第4讲平行四边形的性质与判定【学习目标】了解平行四边形的性质与判定利用平行四边的性质与判定证明【基础知识】考点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.考点诠释：平

行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.考点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；考点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相

等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.考点三、平行四边

形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形

.考点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.2考点四、平行线间的

距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【考点剖析】考点一：平

行四边形的性质与判定例1．如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD

＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF3又∵AE∥C

F∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两

组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF•∥AB，•通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB

＝DE＋DF，理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵等腰△ABC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE2、完成下列各题：（1）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，A

B＝3，求四边形ABCD的周长．（2）已知：如图2，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．求证：AB＝AC．4【思路】（1）首先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质和周长公式计算即可；（2）由已知条

件证明△ADE≌△ADC可得到∠E＝∠C，又∠E＝∠B，所以∠B＝∠C，进而证明AB＝AC．【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，又∵∠B＝∠D，∴∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC

，∴ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝6，∴四边形ABCD的周长＝2×6＋2×3＝18；（2）证明：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ADC，又DE＝DC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴∠E＝∠C，又∠E＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．【总结

】（1）本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的性质以及求平行四边形的周长；（2）本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质以及等腰三角形的证明．举一反三：【变式】如图，已知口ABCD中，F是BC边的

中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．【答案】5证明：∵F是BC边的中点，∴BF＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，∵在△CDF和△BEF中CFBECDFECFBF=

==∴△CDF≌△BEF（AAS），∴BE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝BE．例3、如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分

别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平

行四边形（四边形AGHD除外）．【思路】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的

四边形是平行四边形即可得到结论．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，6在△OAE与△OCF中，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，同理OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有

口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，GH∥BC，∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，∵EF过点O，GH过点O，∵OE=OF，OG=OH，∴口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EG

FH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积，∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．例

4、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．【思路】（1）根据三角形的中位线

平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；7（2）先判断出∠BOC=90°，再利

用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【答案】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，

DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．【总结】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形

的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．【真题演练】1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC⊥BD【答案】D；82．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多

边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C；【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n－2）＝1080，解得：n＝8．3.一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形【答案】C；【解析】外角的度数是：18

0°－108°＝72°，则这个多边形的边数是：360°÷72°＝5．4.如图，□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长等于（）A.2cmB.1cmC.1.5cmD.3cm【答案】B；5．如图

，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．0个B

．1个C．2个D．3个【答案】B；【解析】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选B．6.如图所示，口ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，则△DCE的

周长为()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm9【答案】C；【解析】因为口ABCD的周长为16cm，AD＝BC，AB＝CD，所以AD＋CD＝12×16＝8(cm)．因为O为AC的中点，又因为OE⊥AC于点O，所以AE＝EC，所以△D

CE的周长为DC＋DE＋CE＝DC＋DE＋AE＝DC＋AD＝8(cm).7.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．18B．28C．36D．46【答案

】C；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∵△OCD的周长为23，∴OD＋OC＝23－5＝18，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2（DO＋OC）＝3

6.8.如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．5.5B．5C．4.5D．4【答案】A；【解析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于8，原三角形的周长大于10小于16

，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于8，看哪个符合就可以了．二.填空题9.如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_______.【答案】6；【解析】这个正多边形

的边数：360°÷60°＝6．10．如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．【答案】45°；1012.如图，在□ABCD中，已知AB=2，BC=3，AE平分∠BAD交

BC于点E，若∠B=60°，则四边形AECD的周长是．【答案】8；【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB=3，AD∥BC，AB=CD=2，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=AB=2，CE=BC-BE=1，又∵∠B=6

0°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=2，∴四边形AECD的周长是：AD+AE+CE+DC=3+2+1+2=8．故答案为：8．13.如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是_____度．【答案】45；【解

析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠EDF＝∠EBF＝45°．14.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_____.（添加一个条件即

可，不添加其它的点和线）．【答案】AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等（不唯一）15.如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝____.11【答案】3；【解析】∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠BAC，∴AB

∥DC，又∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，又∵∠1＝∠2，∴AD＝DC＝3，∴BC＝3．16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______.【答案】8；【解析】∵将△A

BC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，∴AD∥BE，AD＝BE＝2，∴四边形ABED是平行四边形，∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝2×4＝8．三.解答题17.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：BF＝DE．【解析】证明：连接BD，∵四

边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵BE∥FD，∴∠BEO＝∠DFO，在△BOE和△DOF中，12∠BEO＝∠DFO，∠BOE＝∠DOF，BO＝OD∴△BOE≌△DOF（AAS），∴EO＝OF,∴四边形BEDF是平行四边形，∴ED=BF．18.如图，在△ABC中

，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．（1）求∠EDB的度数；（2）求DE的长．【解析】解：（1）∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝12∠AB

C＝40°．（2）∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点，∵DE∥BC，∴E为AB的中点，∴DE＝12BC＝6cm．19.如图，在▱ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，AF与EH交于

点M，FG与CH交于点N．（1）求证：四边形MFNH为平行四边形；（2）求证：△AMH≌△CNF．13【解析】证明：（1）连接BD，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH∥B

D．同理FG∥BD．∴EH∥FG，在▱ABCD中，∴ADBC，∵H为AD的中点AH=AD，∵F为BC的中点FC=BC，∴AHFC，∴四边形AFCH为平行四边形，∴AF∥CH，又∵EH∥FG∴四边形MFNH为平行四边形；（2）∵四边形AFCH为平行四边

形∴∠FAD=∠HCB，∵EH∥FG，∴∠AMH=∠AFN，∵AF∥CH，∴∠AFN=∠CNF，∴∠AMH=∠CNF，在△AMH和△CNF中14∵∴△AMH≌△CNF（AAS）．20.如图，在口ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的

延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD

∥CF，∴∠1＝∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE．∵在△ADE与△BFE中，12DEAFEBAEBE===，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE＝FE，即点E是DF的中点，∠1

＝∠2．15∵DF平分∠ADC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴CD＝CF，∴CE⊥DF．【过关检测】1.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为（）A．120°B．180°C．240°D．300°【答案

】C；【解析】根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°－60°＝120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1＋∠2＝360°－120°＝240°．2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）

A．4AOBABCDSS=△平行四边形B．AC＝BDC．AC⊥BDD．口ABCD是轴对称图形【答案】A；3.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是（）A．120°B．150°C．135°D

．140°16【答案】A；【解析】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠

PEF=30°，∴∠PEF=∠PFE=30°，∴∠EPF=120°．故选A．4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有口ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B；【解析】由平行四边形的对角线互

相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．5.平行四边形的一边长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm【答案】D；6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BA

D的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（）A.23B.43C.4D.817【答案】B；7.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A

．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【答案】D；【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．8.如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB

＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A．3：4B.13:25C.13:26D.23:13【答案】D；【解析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角

形的面积和平行四边形的面积得出12DECDFASSS==△△平行四边形ABCD，求出AF×DP＝CE×DQ，设AB＝3a，BC＝2a，则BF＝a，BE＝2a，BN＝12a，BM＝a，FN＝32a，CM＝3a，求出AF＝13a，CE＝23a，代入求出即可．18二.填

空题9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝___________.【答案】225°【解析】∵∠A＝45°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°－∠A＝360°－45°＝315°，∴∠1＋∠2

＋∠B＋∠C＋∠D＝（5－2）•180°，解得∠1＋∠2＝225°．10.已知任意直线l把口ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在位置需满足的条件是________.【答案】经过对角线的交点；【解析】由于平

行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，因而过对角线的交点的直线就能把平行四边形分成全等的两部分，这两部分的面积也就相等了．11.如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝12

CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1＋S3＝10，则S＝_______.【答案】4；【解析】根据正三角形的性质，△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，∵F、G分别是BC、CE的中点∴B

F＝MF＝12AC＝12BC，CP＝PF＝12AB＝12BC∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，19∴S1＝12S，S3＝2S，∵S1＋S3＝10∴12S＋2S＝10∴S＝4．12.如图所示，在口ABCD

中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝13AC；③DN＝2NF；④12AMBABCSS=△△．其中正确的结论是________．(只

填序号)【答案】①②③；【解析】易证四边形BEDF是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴①正确．由口BEDF可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF，又AE＝CF∴△AME≌△CN

F，∴AM＝CN．由FN∥BM，FC＝BF，得CN＝MN，∴CN＝MN＝AM，AM＝13AC．∴②正确．∵AM＝13AC，∴13AMBABCSS=△△，∴④不正确．FN为△BMC的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则BM＝DN，

∴DN＝2NF，∴③正确．13.如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝________厘米．【答案】3；20【解析】根据AC＋BD＝24厘

米，可得出出OA＋OB＝12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．14.如图，在口ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD’E处，AD’与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE=20°，则∠FED’的大小为_____．【答

案】36°；【解析】∵平行四边形ABCD，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠性质得∴∠D＝∠D’=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠E

AD′-∠D′=108°，∴∠FED′=108°-72°=36°．15.如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________．【答案】7；【解析】∵四边形

ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD．又∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折到△FBE的位置，∴AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴BC＋AB－FC＝8．①又∵BF＋BC＋FC＝22，即AB＋

BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．16.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有．①CF=c﹣a；②A

E=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）21【答案】①③；【解析】解：延长AE交BC的延长线与点M．∵CE⊥AE，CE平分∠ACB，∴△ACM是等腰三角形，∴AE=EM，AC═CM=b，同理，AB=BF=c，AD=DF，AE=EM．∴DE=FM，∵C

F=c﹣a，∴FM=b﹣（c﹣a）=a+b﹣c．∴DE=（a+b﹣c）．故①③正确．故答案是：①③．三.解答题17.如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB＝AC．（1）求证：△BAD≌△AEC；（2）若∠B＝30°，∠ADC

＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积．22【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．又∵四边形ABDE是平行四边形∴AE∥BD，AE＝BD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠B，在△DBA和△AEC中ABACBEA

CBDAE===，∴△DBA≌△AEC（SAS）；（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G．设AG＝x，在Rt△AGD中，∵∠ADC＝45°，∴AG＝DG＝x，在Rt△AGB中，∵∠B＝30°，∴BG＝3x，又∵BD＝10．∴BG－DG＝BD，即3x−x＝10，解得AG＝x＝10

31−＝53＋5，∴ABDES平行四边形＝BD•AG＝10×（53＋5）＝503＋50．18.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3（1）求证：BN

＝DN；（2）求△ABC的周长．23【解析】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12ANANANBAND===∴△ABN≌△ADN，∴BN＝DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，DN＝NB，又∵点M是BC中点，∴MN是

△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，故△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41．19.如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若A

B=8，AC=4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC=2DM．【解析】解：（1）直角△ABE中，AE=AB=4，24在直角△ACD中，AD=AC=2，则DE=AE﹣AD=4﹣2=2；（2）延长CD交AB于点F．在△ADF和△ADC中，，∴△A

DF≌△ADC（ASA），∴AC=AF，CD=DF，又∵M是BC的中点，∴DM是△CBF的中位线，∴DM=BF=（AB﹣AF）=（AB﹣AC），∴AB﹣AC=2DM．20.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点

O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点

H，I．求证：EI＝FG．【解析】25证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2，∵在△AOE和△COF中，1234OAOC===，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF；（2）∵

四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，由（1）得AE＝CF，由折叠的性质可得：AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4

，∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A1IE与△CGF中，1156ACAECF===，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI＝FG．26