【文档说明】湖南省重点中学2020-2021学年高二下学期3月联考数学试题含答案.docx，共(13)页，951.880 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

湖南省高二年级联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效

。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版必修一至必修五，选修2-1、2-2、2-3。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知

()RAB=ð，则下面选项中一定成立的是A.ABA=B.ABB=C.ABB=D.AB=R2.函数()34xxxxfxee−−=+的部分图像大致为ABCD3.将函数()sinfxx=的图像上所有点的横坐标变为原来的1（0），纵坐标不变，得到函数()gx的图像，若函数()gx的最小正周期

为6，则A.13=B.6=C.16=D.3=4.已知点P在抛物线216yx=上，F为焦点，点()2,1A，则PAPF+的最小值为A.3B.4C.5D.65.某招聘网站通过对企业一年内发布的所有招聘信息中的工资数据来分析该企业的待遇

情况.已知某上市企业近一年发布的招聘信息中的月工资（单位：千元）数据都在5,35之间，根据这些数据将其分为)5,10，)10,15，)15,20，)20,25，)25,30，30,356组，绘制出频率分布直方图如图所示，则该企业员工的月平均工资约为

（提示：同组数据用该数据的中点值代替）A.17千元B.17.5千元C.17.25千元D.17.75千元6.经过点()2,0作曲线2exyx=的切线有A.1条B.2条C.3条D.4条7.已知等比数列n

a的前n项和为nS，则“1nnSS+”是“na单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必条件8.若定义在()0,+上的函数()fx满足()()lnfxxfxxx+，则不等式()ln1fx

xx+≥的解集为A.(0,1B.)1,+C.),e+D.1,e+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()20212320210123

202112xaaxaxaxax−=+++++，则A.展开式中所有项的二项式系数为20212B.展开式中所有奇次系数和为2021312−C.展开式中所有偶次项系数和为2021312−D.320211223202112222a

aaa++++=−10.若直线112yx=−与双曲线221xym−=有且只有一个公共点，则m的值可能为A.2B.4C.8D.1011.设1z，2z为复数，且12zz，下列命题中正确的是A.若12zz=，则12zz=B.若12ziz=，则1z的实部与2z的虚部互为相反数C.若12zz+为纯虚数，

则12zz−为实数D.若1z，2zR，则1z，2z在复平面内对应的点不可能在同一象限12.在梯形ABCD中，222ABADDCCB===，将BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E，F

分别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中A.DC与平面ABD所成角的最大值为6B.F在以E为圆心的一个定圆上C.若BH⊥平面ADC，则3DHCH=D.若AD⊥平面BDC，四面体CABD的体积取得最大值三、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.13.一条与直线230xy−+=平行且距离大于5的直线方程为.14.设随机变量()~2,1，若()()315PmPm+=−，则m=.15.若向量a，b满足4a=，22b=

，()8aba+=，则a，b的夹角为，ab+=.（第一空3分，第二空2分）16.某班需要选班长、学习委员、体育委员各2名，其中体育委员中必有男生，现有4名男生4名女生参加竞选，若不考虑其他因素，则不同的选择方案种数为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在平面四边形ABCD中，ADCD⊥，34BAD=，24ABBD==.（1）求cosADB；（2）若22BC=，求CD.18.（12分）已知数列na满足22a=，()()1111nnnnannana−+

+−=−，*nN，1n.（1）求数列na的前3项和3S；（2）若20202020a=，求数列na的前2021项和2021S.19.（12分）如图，在四棱锥ABCED−中，底面BCED为直角梯形，DECB∥，BCEC⊥，ADBDCD==2BC==

，90AED=.（1）证明：平面ABC⊥平面ACE.（2）若6AC=，求二面角BADE−−的余弦值.20.（12分）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其

中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望.21.（12分）已知椭圆C：22221xyab+=（

0ab）的离心率为32，椭圆C与抛物线2312yx=交于M，N两点（M在x轴上方），椭圆C的右焦点在直线MN上，O为坐标原点，A，B，E分别为椭圆C的左、右、上顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）设D为椭圆C上一点（异于顶点），直线DE与x轴交于点P，

直线AD上有一点Q满足4OPOQ=，证明直线BE经过点Q.22.（12分）已知函数()()lnxxefxaxx=−+.（1）当0a=时，讨论()fx的单调性.（2）若()fx在0xx=处取得极小值，且()00fx，证明：()

()0021fxax−.湖南省高二年级联考数学试卷参考答案1.B因为()RAB=ð，所以BA，则ABB=.2.D因为()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数，其图像关于原点对称，故排除B.易知()fx有3个零点2−，0，2.当()0,2x时，()0fx；当(

)2,x+时，()0fx.所以排除A，C，故选D.3.A由题意可知()singxx=，因为()gx的最小正周期为6，所以26T==，得.13=.4.D因为抛物线方程216yx=，所以其

准线方程是4x=−.过P作PM垂直于准线，垂足为M，则PFPM=，所以PAPFPAPM+=+.当A，P，M三点共线时，PAPM+最小，最小值()246−−=，故PAPF+的最小值为6.5.A由图可知，该企业员工的月平均工资约为7.50.1512.5

0.3017.50.2522.50.1527.5++++0.1032.50.0517+=千克.6.C因为()22xyxxe=+，所以曲线2xyxe=在点()0200,xxxe处的切线方程为()00220002xxyxxxee−=+()0xx−.将()2,0代入

，得()0200040xxexx−−=.因为0，所以方程240xx−−=有两个不同的根，且根不为0，所以方程()0200040xxexx−−=共有3个不同的根，即经过点()2,0作曲线2xyxe=的切线有3条.7.D设na的公比为q，若1nnSS+，则11

10nnnnaSSaq++=−=，所以可能10a，1q或10a，01q；若10a，()0,1q，则na单调递增，但110nnaaa+，1nnSS+，故选D.8.B由题意知()()ln10fxfxxx+−.令()()ln

1gxfxxx=−+，则()()()ln1fxgxfxxx=+−，所以()gx在()0,+上单调递增，且()10g=.不等式()ln1fxxxx−+≥，等价于()()1gxg≥，故1x≥.9.ACD由二项式定理可知，()nab+的展开式中所有项的二项式系数

和为2n，故A正确.令1x=，得()20210123202111aaaaa+++++=−=−，①令1x=−，得2021012320213aaaaa−+−+−=，②①−②得20211342021312aaaa+++++=−，故B不正确.①+②得20210242020312

aaaa−++++=，故C正确.令0x=，得01a=，令12x=，得2202101220211110222aaaa=++++，所以2202112202101111222aaaa+++=−=−，故D正确.10.BC由题

知0m，双曲线的渐近方程为1yxm=.当直线与双曲线相交于一点时，直线112yx=−与渐近线平行，则112m=，此时4m=；当直线与双曲线相切于一点时，联立221121yxxym=−−=，可得2112

04xxm−+−=，由0=，解得8m=.综上可知，当4m=或8m=时，直线112yx=−与双曲线221xym−=有且只有一个公共点.11.BD若12zz=，则1z，2z不一定共轭；若12zz+为线虚数，则1z，2z的实

部互为相反数，而虚部不一定相等，所以12zz−不一定为实数，故A，C错误；令1zabi=+，2zcdi=+，a，b，c，dR，若12ziz=，则()12zabizicdiicid=+==+=−，所以ad=−，故B正

确；若()()12zzabicdi=++()()acbdbcadi=−++，则0bcad+=.如果1z，2z在复平面内对应的点在同一象限，那么bc，ad同号，不可能使0bcad+=，故D正确.12.ACD如图，在梯形ABCD中，

因为ABCD∥，222ABADDCCB===，所以易得ADDB⊥，3DAB=，6BDCDBC==.在将BDC沿BD翻折至BDC的过程中，BDC与DBC的大小保持不变，由线面角的定义可知，DC与平面ABD所成角的最大值为6，故A正

确；因为DBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的镀面圆周上，而EF是ABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E，故B不正确；当BH⊥平面ADC时，BHDH⊥.因为3HCB=，所以2DCBCC

H==，所以3DHCH=，故C正确；在翻折的过程中，BCD的面积不变，显然当AD⊥平面BDC时，四面体CABD的体积取得最大值，故D正确.13.20xyc−+=（8c或2c−）（写出符合条件的一条

直线方程即可）设与直线230xy−+=平行的直线方程为20xyc−+=，由223512c−+，得8c或2c−.14.2根据正态分布的特征，可得3154mm++−=，解得2m=.15.34；22设a，b的夹角为，因为()28abaaab+=

+=，且4a=，所以8ab=−.因为4a=，22b=，所以82cos2422abab−===−，故，34=，22228ababab+=++=，22ab+=.16.1980根据题意，分3步：①体育委员在8人中任选2人，至少一名男生有2

284CC22−=种方案；②班长在剩下的6人中任选2人，有26C15=种方案；③学习委员在剩下的4人中任选2人，有24C6=种方案.故共有221561980=种方案.17.解：（1）在ABD中，由正弦

定理得sinsinBDABBADADB=，所以2sin4ADB=.因为2ADB，所以14cos4ADB=.（2）因为2sin4ADB=，且2ADC=，所以2cossin4BDCADB==.在B

DC中，根据余弦定理得2222cosBCBDCDBDCDBDC=+−，化简得()()22263220CDCDCDCD−−=−+=，故32CD=.18.解：（1）当2n=时，所以21321aaa

=−.因为22a=，所以131aa+=，故31233Saaa=++=.（2）由题知，111nnnaaann−+=−−，所以21321aaa=−，32432aaa=−，34543aaa=−，…，1212nnnaa

ann−−=−−−，以上式子相加，得331222434512324312nnnaaaaaaaaaaaann−−++++=−+−+−++−−−111naan−=−+−，所以11234521nnaaaaaaaan−++++++=+−，即121nnaSn−=+−，所以20202021232020

aS=+=.19.（1）证明：在直角梯形BCED中，BCEC⊥，DECB∥，则DEEC⊥.又90AED=，即AEDE⊥.因为AEECE=，所以DE⊥平面ACE，所以BC⊥平面ACE，因为BC平面ABC，所以平面ABC⊥

平面ACE.（2）解：在直角梯形BCED中，2BDCDBC===，则60BCDDBCBDCEDC====.在RtCDE中，112DECD==，所以3CE=.在RtADE中，2AD=，1DE=，所以3AE=.因为6

AC=，所以在ACE中，222AECEAC+=，则AECE⊥，所以AE，CE，DE两两垂直.以E为原点，AE，CE，DE分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()0,3,0A，()0,0,1D，()3,0,2B，所以()3,3,2AB=−，()0,3,1AD

=−.设平面ABD的法向量为(),,nxyz=，则332030ABxyzADnnyz=−+==−+=，令1y=，得()1,1,3n=−.因为平面ADE的一个法向量为()1,0,0m=，所以15cos,55mmmnmn−=

==−，由图可知二面角BADE−−为钝角，所以二面角BADE−−的余弦值55−.20.解：（1）设A表示事件“甲选排球”，B表示事件“乙选排球”，则()1223C2C3PA==，()2435C3C5PB==.因为事件A，B相互独立，所以甲选排球且乙未选排球的概率()()

()23413515PABPAPB==−=.（2）设C表示事件“丙选排球”，则()2435C3C5PC==，X的可能取值为0，1，2，3.()1224035575PX===；()2221321234135535535515PX==++=；(

)23222313311235535535525PX==++=；()2336335525PX===.所以X的分布列为X0123P4754151125625()441162801237515252515EX=+++=.21.（1）解：设

点M的坐标为(),Mcy，则2312Myc=，所以22222223121Mcyccabab+=+=①，又32ca=②，由①②，结合222abc=+，得213abc===，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）证明：设直线DE的方程为1yk

x=+，则1,0Pk−.联立方程组22114ykxxy=++=，得()224180kxkx++=，所以10x=，22841kxk=−+，即222814,4141kkDkk−−++.因为()2,0A−，所以直线AD的斜率为2

22142141842241kkkkkk−++=−−−++，所以直线AD的方程为()21242kyxk+=−+−.设点()0021,242kQxxk+−+−，由014OPOQxk=−=，可得04xk=−，所以()4,21Qk

k−+.因为直线BE的斜率为101022BEk−==−−，直线BQ的斜率为211422BQkkk+==−−−，所以直线BE经过点Q.22.（1）解：当ae=时，()xfxxe=，所以()()1xfxxe=+.因为0x

，所以10x+，则()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增.（2）证明：因为()()lnxfxxeaxx=−+，所以()()()1111xxxfxxeaxeaxx+=+−+=−.①当0a≤时，()0fx，即()fx在()0,+上单调递增，函数(

)fx无极小值，所以0a≤不符合题意；②当0a时，令()xhxxea=−，0x，()()10xhxxe=+，故函数()hx在()0,+上单调递增.因为()00ha=−，()()10ahaae=−，据零点存

在性定理可知，存在()00,xa，使得()00hx=，()00fx=.当00xx时，()0hx，()0fx，函数()fx在()00,x上单调递减；当0xx时，()0hx，()0fx，函数()fx在()0,x+上单调递增.所以()

fx在0xx=处取得极小值，所以0a符合题意.因为()00hx=，所以00xxea=.因为()00fx，即()00ln0aaxx−+，所以()001ln0axx−−.因为0a，所以001ln0xx−−，即00ln10xx+−.令()ln1mxxx=+−，因为(

)mx在()0,+上单调递增，且()10m=，()00mx，所以001x.令()ln1pxxx=−+，01x，因为()110pxx=−，所以()px在()0,1上单调递增，所以()()10pxp=，即ln1xx−，其中01x.因为()

()()()0000001ln1121fxaxxaxxax=−−−−−=−，结合001x，0a，所以可得()()0021fxax−.