【文档说明】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期5月第三次适应性考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，609.194 KB，由小赞的店铺上传

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如皋市2021年新高考第三次适应性考试数学2021.5注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．1．121211iiii−++=+−（）A．1−B．i−C．1D．i2．已知随机变量()2~1,XN，若(0)0.6PX=，则(2)PX=（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.83．1943年深秋的一

个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的条

件．A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要4．已知1331311log5,,log26abc===，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．bacC．cbaD．cab5．()

5232xx++的展开式中2x的系数为（）A．625B．800C．750D．6006．已知正三角形ABC的边长为3，且2,2,2APPBBQQCCRRA===，则PQPR=（）A．32B．34C．33D．327．已知椭圆22211xya+=与双曲线22221xya−=有相同的焦点12

,?FF，设椭圆与双曲线的离心率分别为e21,ee，则（）A．121ee=B．22211ee−=C．222212122eeee+=D．212ee=8．已知四棱锥PABCD−的侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，且面PAD⊥面ABCD，若43,23PAAB==，则该

四棱锥内可以放置最大的球的半径为（）A．33B．22−C．233D．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知,,,abcdR，则下列不等式一定成立的是（）A．22

222abcdabcd+B．4433ababab+++C．()()22222()abcdacbd+++D．222222()()abcdacbd+++−+−10．已知圆22:4,(1,0),(4,0)+=OxyAC，点P在圆上且

在第一象限内，则下列结论正确的是（）A．2PCPA=B．6PCAC．2PACPCAD．2PACPCA11．已知正方体1111ABCDABCD−中，设与对角线AC，垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M，则关于多边形M的说

法正确的是（）A．M可能为正三角形B．M可能为正方形C．若M为六边形，则面积为定值D．若M为六边形，则周长为定值12．已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数sinyAt=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学

模型是函数()2sinsin3fxxx=−，则下列说法正确的是（）A．是()fx的一个周期B．()fx在[0,2]上有7个零点C．()fx的最大值为3D．()fx在,62上是增函数三、填空

题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,,21xyRxy++=，则1xyxy++的最小值为_____________．14．已知锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有下列四个判断：甲：ab；乙：sincosAB；丙：tan()0

AB−；丁：coscosAB．若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是______________．15．已知圆周上等距离的排列着八个点128,,,AAA，现从中任取三个不同的点作为一个三角形

的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为___________．16．已知函数20211()||ifxxi==−，则当0xx=时，函数f(x)有最小值，则0=x____________．此时()2021001i

gxxi==−=___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分）已知ABC中，/3,17BAC==，________，求ABCS．请从②sin44sin=C；②3ac−=；③7cos1326

C=三个条件中选择一个补充在上面问题中，并作答．18．(12分）已知数列na的前n项和为nS，若111,2nnnaSaa+==．（1)求数列na的通项公式；（2)若1221nnnnnaabaa+++=，求数列nb的前n项和nT．19．(12分）某空调商家，对一次性购买两

台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免

费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123空调台数20303020用以上100台空调维修次数的

频率代替一台机器维修次数发生的概率．（1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；（2)请问小李选择哪种质保方案更合算．20．(12分）如图，在三棱台ABCDEF−中，CF⊥面DEF，ABBC⊥，11222ABBCEFCF====．（1)

若2CPBP=，证明：面PDF⊥面CDE；（2)求二面角ACED−−的余弦值．21．(12分）已知椭圆2222:1(,02)xyCabbab+=的左、右焦点分别为12,?FF，点P在椭圆上，212PFFF⊥．若12PFF的周长为6，面积为32．（1)求椭圆C的

标准方程；（2)已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过1,02直线与椭圆交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为12,kk，证明：12kk为定值．22．(12分）已知函数21(),?()2(ln)fxxgxxx=+=+．（1)证明：两函数图像有且只有一个公共点；（2

)证明：()*111ln(1)1nnkkkknneNkk==+−++．2021年新高考第三次适应性考试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．1．A2．B3．A4．D5．B6．A7．C【解析】法一：2222121,1acca−==+222221212222,2aaaaccc+=+=222221122212112,2eeeeee+=+=．法二：由221211aa−=+，则22221211222222121211211

21111aaaaeeaaaa−+=+=+=−+−−，所以222221122eeee+=．8．B【解析】法一：当球与面PAD，ABCD，面PBC相切时，半径最大，取AD，BC中点分别为E，F，则有2PEEF==，所以22PF=，最大的半径

为222PEEFPF+−=−．法二：取AD的中点E，BC的中点F，连接PE，EF，PF则由面PAD⊥面ABCD知PE⊥平面ABCD，PEEF⊥易知四棱锥内可以放置最大的球，半即为PEF内切圆的半径，其中4332,2,2232PEEFPF====max2222222r+−

==−，故选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABC10．ABC11．AD【解析】法一：如图所示，

截面有这两种可能性，A正确，B错误，截面变化过程中，六边形的面积在发生变化，C错误，周长恒为32a，a为正方体棱长，D正确．法二：对于A，M为11BCD知M可能为正三角形对于B，由截面为三角形或六边形知B错误对于C，D，当截面M为六边形时，11//

,////EFCDEJBDBD设正方棱长a．12EFEFDECDCDa==，且2EJEJCEBDCDa==122EFEJDECEDECECDCDCDaa++=+==2,2EFEJaIJIHa+=+=

2,HGGFaM+=为六边形时周长为32a为定值，面积不为定值，C错，D正确故选AD．12．BCD【解析】法一：对于A，()2sin()sin3()2sinsin3(),Afxxxxxfx+=+−+=−+错误对于B，令()33()2sin3sin4sin4sinsin0sin0fx

xxxxxx=−−=−==或1sin2x=由sin00,,2xx==，由15,266xx==由1711sin,266xx=−=，共7个零点，B正确．对于C，3()4sinsinfxx

x=−令3sin,()()4,[1,1]xtfxgtttt===−−23()12106gttt=−==且当316t−−时，()0,()gtgt；当3366t−时，()0,()gtgt；当316t时，()0,()gtgt注意到max33(1)3,0,()

369gggt==−=，即max()3fx=C正确．对于D，当时，1sin,12xt=()gt在1,12上单调递增且sinx在,62上()fx在,62上，D正确故选BCD．法二：()2sinsin

3()fxxxfx+=−+=−，A错误；()2sinsin32sinsincos2sin2cosfxxxxxxxx=−=−−()()()2222sinsin12sin2sin1sinsin4sin1xx

xxxxx=−−−−=−令()0fx=，可得1sin0,2x=，故可知B正确；由()2sinsin33fxxx=−，当2x=取等，C正确；又()2()12sin1cosfxxx=−，可知()0fx在,62

成立，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．222+14．乙15．37【解析】如图，可知构成直角三角形有4624=种，故382437PC==．16．1011；0【解析】法一：由(2022)()

fxfx−=，可知()fx关于1011x=对称，故可知()fx取到最小值时，01011x=，则有()()20210012021(12021)2021101102igxxi=+=−=−=．法二：()|1||2||2021|fxxxx=−+−++−当10101011x时()1210101

01110122021fxxxxxxx=−+−++−+−+−++−10101011(121010)(101110122021)xx=−−+++++++(121010)(101110122021)x=−−+++++++此时()fx当10111012x时()121011101210132021fx

xxxxxx=−+−++−+−+−++−10111010(121011)101210132021xx=−−+++++++(121011)(101210132021)x=−+++++++()fx当01011x=时，()fx有最小值此时()202101(10101010)2021(1011)02ig

xi=−=−==应填：1011，0．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】选①由sin4sin4ACac==在ABC中，由余弦定理2222121317413,12

acacccc+−=−==134,41322ABCaS===．选②由余弦定理可知22213bacac=+−=，即2()13acac−+=，又3ac−=，所以4ac=，则1sin32ABCSacB==．

18．【解析】法一：（1）由12nnnSaa+=①当2n时，11nnnSaa−−=②①—②()112nnnnaaaa+−=−显然110,2nnnaaa+−−=na的奇数项与偶数项各自成等差数列，121,2aa==21212(1)21,22(1)2,nnna

nnannan−=+−=−=+−==（2）22222212111(1)(1)(1)nnnnbnnnnnn+++===−+++22222211111111223(1)(1)nTnnn=−+−++−=−++．法二：（1）由112,1nnnSaaa+==，可得21122,

2nnnaSaa+++==，作差得()1212nnnnaaaa+++=−，得22nnaa+−=，又211aa−=，所以321aa−=，以此类推可得11nnaa+−=，所以nan=；（2）由122222212111(1)(1)nnnnnaanbaannnn+++

+===−++，所以211(1)nTn=−+．19．【解析】（1）两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为2211122222221131313163CCCCC55102105105100

++++=或用间接法：22122222131363155510100CCC−−−=（2）方案一的维修费用期望为：1321312004006008002

40501002525+++=元维修总费用为：300240540+=元方案二的维修费用期望为：21312004006001141002525++=元维修总费用为：114400514+=元故方案二更合算．2

0．【解析】（1）若2CPBP=，延长CB至P使BPCB=，连接PD，PF，PE1,2BCEFPCEF∥∥CF⊥面DEF，CFEF⊥且CFDE⊥又CFEF=，四边形PCFE为正方形PFCE⊥，又,DEEFCFEFF⊥=，DE⊥平面PCFEDEPF

⊥，又CEDEE=，PF⊥平面CDE，PF平面PDF面PDF⊥面CDE．（2）如图建立空间直角坐标系(0,4,4),(0,0,0),(4,0,0),(0,2,4)CEDB由1(2,2,4)2BAEDA=(2,2,4),(0,4,4),(4,0,0)EACEED==−−=设平面

ACE与平面CED的一个法向量分别为()()11112222,,,,,nxyznxyz==1111111102240(1,1,1)4400nEAxyznyznCE=++==−−==2222220440(0,1,1)400nCEy

znxnED=−−==−==设二角ACED−−的平面角为，12,nn所成角为121226cos|cos|332nnnn====21．【解析】（1）22262132322acabcba+==

==，椭圆C的标准方程为22143xy+=（2）设直线MN的方程为：()()11221,,,,,(2,0),(2,0)2xmyMxyNxyAB=+−22222113412243412xmymymyyx

y=++++=+=()224534304mymy++−=，由222222224231432yxyxyx−−+==+()()12121122121212442335522222yyyykyxkxyxxmymy−−−===+++++

()21221212222454443452545335325244342344yymmyymyymmmmm−+=−=−+++−−++++222153451575525424mmm==−−++为定值．22．【解析】（1）令212(ln)xxx+=+，令21()(ln)2hxxxx=

+−−212ln11()12lnxxxhxxxxx−−=−−=令2222211221(1)()2ln,()10xxxxxxxxxxxx−+−=−−=+−==()x在(0,)+上，注意到(1)0=当01x时，()0,()0,()xhxhx

；当1x时，()0,()0,()xhxhx()(1)0hxh=，当且仅当1x=时取"="，两函数图像有且只有一个公共点．（2）由（1）知21(ln)20xxx+−−对任意的0x恒成立221(ln)xxx−，当1x时，1lnxxx−

取*111,ln,1,2,,,1kkkkxknkkkkk+++=−=+N1ln(1)ln1kkkkkk+−+−+111[ln(1)ln]1nnkkkkkkkk==+−+−+()*111ln(1),1nnkkkk

nnkk==+−++N，证毕！