2023届高考数学一轮复习——专题05 一元二次方程、不等式含解析【高考】

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以下为本文档部分文字说明:

1专题05一元二次方程、不等式1.(2022·上海)已知abcd,下列选项中正确的是()A.adbc++B.acbd++C.adbcD.acbd2.(2019·四川理)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.ac>bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc1.二次函

数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+b

x+c>0(a>0)的解集{x|x<x1,或x>x2}xx≠-b2aRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);(2)fxgx≥0(

≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).2考点一一元二次不等式的解法1.(2022·吉林模拟)若函数()321fxxxax=++−

是R上的单调函数,则实数a的取值范围()A.13aB.13aC.13aD.13a2.已知集合2|20Axxx=−,|Bxxa=,若RAB=,则实数a的取值范围是()A.()0−,B.(0−,C.()2+,D.)2+,【思维升华】对含参的不等式

,应对参数进行分类讨论,常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.考点二一元二次不等式恒(能)成立问题3.(2022·漳州模拟)对∀x∈R,不等式(a-2)x2+

2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是()A.-2<a≤2B.-2≤a≤2C.a<-2或a≥2D.a≤-2或a≥24.(2022·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取

值范围是()A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【思维升华】恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立

,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.一、单选题31.(2022·宁乡模拟)不等式()()230xx+−的解集是()A.{|2xx−或3}xB.|23xx−C.1123x−D.1{|2xx−或

1}3x2.(2022·邵阳模拟)已知集合|224Axx=−−,2|60Bxxx=+−,则AB=()A.|34xx−B.|32xx−−C.|22xx−D.|24xx3.(2021高三上·南开期末)设Rx,则“223xx−”是“24x

”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.(2021高三上·洮南月考)若命题“0xR,200220xmxm+++”为假命题,则m的取值范围是()A.12m−B.12m−C.1m−或2mD.1m−或2m5.(2021

高三上·桂林月考)已知函数f(x)=222,02,0xxxxxx−+−若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解,则实数a的最大值是()A.2B.3C.5D.86.(2021·安阳模拟)已知命题:p“xR,2220xxa−+”,命题:q“函

数2lg22ayxax=−+的定义域为R”,若pq为真命题,则实数a的取值范围是()A.()1,4B.()1,3C.()1,2D.()2,47.(2021·遂宁模拟)已知集合2|34Axxx=−,|11Bxx=−,则下列判断正确的是()4A.BAB.(

),02,UB=−+ðC.1A−且3BD.|12ABxx=−8.(2021高三上·南溪月考)已知na是等差数列,nS为na的前n项和,若15a=,48S=,则nnS最大值为()A.16B.25C.27D.32.9.(2022

·湖南多校联考)若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解,则a的取值范围是()A.a32<a≤2B.a-1<a≤-12C.a-1<a≤-12或32≤a<2D.a-1≤a<-12或32<a≤210.已知函数

f(x)=4ax2+4x-1,∀x∈(-1,1),f(x)<0恒成立,则实数a的取值可能是()A.1B.0C.-1D.-2二、填空题11.(2022·怀化模拟)已知aR,,且“xa”是“22xx”的充分不必要条件,则a的取值范围是.12.(2021高三上·慈溪期末)

已知平面向量a,b,c,其中a,b是单位向量且满足12ab=,24441cacbc−−=,若(),Rcxaybxy=+,则xy+的最小值为.13.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是________.14.若不等式x2+ax-2>0在[1

,5]上有解,则a的取值范围是________.三、解答题15.已知关于x的不等式-x2+ax+b>0.(1)若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值;(2)若b=a+1,求此不等式的解集.16.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠

0),满足f(x+2)-f(x)=16x且f(0)=2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围.5专题05一元二次方程、不等式1.(2022·上海)已知abcd,下列选项中正确的是()A.adb

c++B.acbd++C.adbcD.acbd【答案】B【解析】解:对于A,令a=2,b=1,c=0,d=-3,则a+d=-1,b+c=1,此时a+d<b+c,故A错误;对于B,因为abcd,即a>

b,c>d,则根据不等式的性质得acbd++,故B正确;对于C,令a=2,b=1,c=0,d=-3,则ad=-3,bc=0,此时ad<bc,故C错误;对于D,令a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则ac=3,bd=8,此时ac<bd,故D错误.故答案为:B2.(2019·四川理

)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.ac>bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc【答案】D【解析】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,则1ac=−,1bd=−,∴A、B不正确;3ad=−,bc=﹣13,∴C不正确,D正确.1.二次函数与一元二次方程

、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象6方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2

=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1,或x>x2}xx≠-b2aRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)fxgx>0(

<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).考点一一元二次不等式的解法1.(2022·吉林模拟)若函

数()321fxxxax=++−是R上的单调函数,则实数a的取值范围()A.13aB.13aC.13aD.13a【答案】A【解析】()2320fxxxa=++恒成立,即Δ4120a=−,解得:13a.故答案为:A2.已知集合2|20Axxx=−,|Bxxa=

,若RAB=,则实数a的取值范围是()A.()0−,B.(0−,C.()2+,D.)2+,【答案】A【解析】()()2|2002Axxx=−=−+,,若RAB=,则0a7故答案为:A.【思维升华】对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有(1)根据二次项系数为

正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.考点二一元二次不等式恒(能)成立问题3.(2022·漳州模拟)对∀x∈R,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是()A.-2<a≤2B.-2≤a≤2C.a

<-2或a≥2D.a≤-2或a≥2答案A解析不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立,满足题意;当a-2≠0时,要使不等式恒成立,需a-2<0,Δ<0,即有a<2,4a-22+16a-2

<0,解得-2<a<2.综上可得,a的取值范围为(-2,2].4.(2022·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是()A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D

.(-∞,-1)∪(3,+∞)答案D解析不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),令f(p)=(x-1)p+x2-4x

+3(0≤p≤4),可得f0=x2-4x+3>0,f4=4x-1+x2-4x+3>0,∴x<-1或x>3.【思维升华】恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.8(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,

一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.一、单选题1.(2022·宁乡模拟)不等式()()230xx+−的解集是()A.{|2xx−或3}xB.|23xx−C.1123x−D.1{|2xx−或1}3x【答案】B【解析】不等式

()()230xx+−得23x−。故答案为:B.2.(2022·邵阳模拟)已知集合|224Axx=−−,2|60Bxxx=+−,则AB=()A.|34xx−B.|32xx−−C.|22xx−D.|24

xx【答案】C【解析】因为|24Axx=−,|32Bxx=−,所以|22ABxx=−.故答案为:C.3.(2021高三上·南开期末)设Rx,则“223xx−”是“24x”的().A.充分不必要条

件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】解:不等式223xx−的解为3x或1x−,所以“223xx−”是“24x”的既不充分又不必要条件.故答案为:D.94.

(2021高三上·洮南月考)若命题“0xR,200220xmxm+++”为假命题,则m的取值范围是()A.12m−B.12m−C.1m−或2mD.1m−或2m【答案】A【解析】解:∵命题“0xR,200220xmxm+++”为假命题,∴命题“xR,2220xm

xm+++”为真命题,∴∆=(2m)2-4·1·(m+2)≤0,解得12m−故答案为:A5.(2021高三上·桂林月考)已知函数f(x)=222,02,0xxxxxx−+−若关于x的不等

式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解,则实数a的最大值是()A.2B.3C.5D.8【答案】D【解析】由题设,分段函数的图象如下:若不等式有()(,)fxmn且nm,要使(,)mn上()fx恰有1个整数解,由图及函数性质知:(4)8(2)0mfnf=−=或(2)

(0)0(1)1(1)1(1)3ffmffnf====−=或10(1)1(2)8mfnf=−=,∴对应解集端点的最值分别为80mn=−=或03mn==或18mn=

=,而mna+=−,∴8a=或3a=−或8a=−,A的最大值是8.故答案为:D6.(2021·安阳模拟)已知命题:p“xR,2220xxa−+”,命题:q“函数2lg22ayxax=−+的定义

域为R”,若pq为真命题,则实数a的取值范围是()A.()1,4B.()1,3C.()1,2D.()2,4【答案】A【解析】由xR,2220xxa−+得()22min20xxa−+,则221210a−+,所以1a

或1a−由函数2lg22ayxax=−+的定义域为R,则xR,2202axax−+,所以a=0或20044202aaaa=−因为pq为真命题,所以,pq均真,则14a故答案为:A7.(2021·遂

宁模拟)已知集合2|34Axxx=−,|11Bxx=−,则下列判断正确的是()A.BAB.(),02,UB=−+ðC.1A−且3BD.|12ABxx=−【答案】A【解析】2234340xxxx−−

−,解得:14x−,11即|14Axx=−,11011xx−−,解得:12x,即|12Bxx=,满足BA,()),12,UB=−+ð,1A−且3B,ABA=只有A符合题意.故答案为:A8.(2021高三上·南溪月

考)已知na是等差数列,nS为na的前n项和,若15a=,48S=,则nnS最大值为()A.16B.25C.27D.32【答案】D【解析】解:由题意得S4=4×5+6d=8,解得d=-2则()()()21526

2nnnnSnnnn−=+−=−假设第n项时,nnS最大,则()()()()()()2222156176nnnnnnnn+−−−−−,即22395031570nnnn−−−+解得914191416615141151416

6nnn−+−+或∵n是正整数∴n=4即当n=4时,nnS最大,最大值为42(6-4)=32故答案为:D.9.(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解,则

a的取值范围是()A.a32<a≤2B.a-1<a≤-1212C.a-1<a≤-12或32≤a<2D.a-1≤a<-12或32<a≤2答案D解析令x2-(2a+1)x+2a=0,解得x=1或x=2a.当

2a>1,即a>12时,不等式x2-(2a+1)x+2a<0的解集为{x|1<x<2a},则3<2a≤4,解得32<a≤2;当2a=1,即a=12时,不等式x2-(2a+1)x+2a<0无解,所以a=12

不符合题意;当2a<1,即a<12时,不等式x2-(2a+1)x+2a<0的解集为{x|2a<x<1},则-2≤2a<-1,解得-1≤a<-12.综上,a的取值范围是a-1≤a<-12或32<a≤2.10.已知函数f(

x)=4ax2+4x-1,∀x∈(-1,1),f(x)<0恒成立,则实数a的取值可能是()A.1B.0C.-1D.-2答案D解析因为f(x)=4ax2+4x-1,所以f(0)=-1<0成立.当x∈(-1,0)∪(0,1)时,

由f(x)<0可得4ax2<-4x+1,所以4a<1x2-4xmin,当x∈(-1,0)∪(0,1)时,1x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以1x2-4x=1x-22-4≥-4,当且仅当x=12时,等号成立,所以4a<-4,解

得a<-1.13二、填空题11.(2022·怀化模拟)已知aR,,且“xa”是“22xx”的充分不必要条件,则a的取值范围是.【答案】[2,+∞)【解析】22xx等价于0x或2x,而且“xa”是“22xx”的充

分不必要条件,则2a.故答案为:[2,+∞).12.(2021高三上·慈溪期末)已知平面向量a,b,c,其中a,b是单位向量且满足12ab=,24441cacbc−−=,若(),Rcxaybxy=+,则xy+的最小值为.【答案】3233

−【解析】cxayb=+24444()()[(1)(1)]cacbcccabxaybxayb−−=−−=+−+−224[(1)(2)(1)]xxaxyxyabyyb=−+−−+−又a,b是单位向量且12ab=上式2

4[()()]1xyxyxy=+−+−=令xyt+=,ytx=−代入上式整理得:22444610xtxtt−+−−=关于x的方程22444610xtxtt−+−−=有实数解221616(461)0tt

t=−−−整理得:23610tt−−,解得32332333t−+故答案为:3233−.13.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是________.答案[-4

,3]解析原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,14即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要

a≤3即可,即1<a≤3,综上可得-4≤a≤3.14.若不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,则a的取值范围是________.答案-235,+∞解析对于方程x2+ax-2=0,∵Δ=a2+8>0,∴方程x2+ax-2=0有两个不相等的

实数根,又∵两根之积为负,∴必有一正根一负根,设f(x)=x2+ax-2,于是不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,即5a+23>0,解得a>-235.故a的取值范围是-2

35,+∞.三、解答题15.已知关于x的不等式-x2+ax+b>0.(1)若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值;(2)若b=a+1,求此不等式的解集.解(1)根据题意得2-4=a,2×(-4)=-b,解得a=-2,b=8.(2)当b=a+1时,-x2+ax+b>0⇔x

2-ax-(a+1)<0,即[x-(a+1)](x+1)<0.当a+1=-1,即a=-2时,原不等式的解集为∅;当a+1<-1,即a<-2时,原不等式的解集为(a+1,-1);当a+1>-1,即a>-2时,原不等式的解集为(-1,a+1).综上,当a<-2时,不等式的解集

为(a+1,-1);当a=-2时,不等式的解集为∅;当a>-2时,不等式的解集为(-1,a+1).16.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+2)-f(x)=16x且f(0)=2.15(1)求函数f(x)的解析式;(2)若存在x∈[1,2],使不等

式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围.解(1)由f(0)=2,得c=2,所以f(x)=ax2+bx+2(a≠0),由f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-(ax2+bx+2)=4ax+4a+2b,又f(x+2)-f(x)=16x,

得4ax+4a+2b=16x,所以4a=16,4a+2b=0,故a=4,b=-8,所以f(x)=4x2-8x+2.(2)因为存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,即存在x∈[1,2],使不等式m<4

x2-10x+2成立,令g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2],故g(x)max=g(2)=-2,所以m<-2,即m的取值范围为(-∞,-2).

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