【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：1.6.2垂直关系的性质【高考】.docx，共(14)页，507.440 KB，由小赞的店铺上传

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6.2垂直关系的性质填一填直线与平面、平面与平面垂直的性质定理线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂

直于另一个平面符号语言a⊥αb⊥α⇒a∥bα⊥βα∩β＝laαa⊥l⇒a⊥β图形语言线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理判一判1.垂直于同一个平面的两条直线互相平行．(√)2．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．(√)3

．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.(×)4．已知直线a和直线c，a⊥α，若c∥a，则c⊥α.(√)5．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面．(√)6．如果两个平面互相垂直，那么过

交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．(×)7．如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别平行或垂直．(×)8．α，β，γ表示平面，若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m⊥n.(×)想一想1.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面．由

线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面．2．过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过

同一点相矛盾，故只有一条直线．3．证明线线平行常用的方法有哪些？提示：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转

化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．4．证明或判定线面垂直的常用方法有哪些？提示：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a

⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．思考感悟：练一练1.若直线l⊥平面α，mα，则()A．l⊥mB．l可能与m平行C．l与m相交D．l与m不相交答案：A2．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平

面的两平面平行．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是()A．b∥aB．baC．b⊥αD．b与α相交答案：C4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γ

C．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能答案：D5．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的

平面必垂直于过b的平面答案：C知识点一直线与平面垂直的性质及应用1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图，连接

AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴BD1

⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1

DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝

D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)设AD1∩A1D＝O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.所以ON綊12CD綊12AB，即ON∥AM.又因为MN∥OA

，所以四边形AMNO为平行四边形，所以ON＝AM.因为ON＝12AB，所以AM＝12AB，即M是AB的中点．知识点二面面垂直性质定理的应用3．如图，已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.证明：如

图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC.BC平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC平面PAC，∴BC⊥AC.4．如图，P是四边形ABCD所在

平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.证明：如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G是A

D的中点，所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.所以BG⊥平面PAD.综合知识垂直关系的综合应用5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1

上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．解析：(1)证明：连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(

2)所示G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.6．如图，三角形

PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．解析：(1)证明：因为长方形ABCD中，BC∥AD，

又BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明：取CD的中点H，连接PH，因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以PH⊥平面ABCD.又因为BC平面A

BCD，所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又因为PD平面PDC，所以BC⊥PD.(3)连接AC.由(2)知PH为三棱锥P－ADC的高．因为PH＝PD2－12CD2＝42－32＝7，S△AD

C＝12·AD·CD＝12×3×6＝9，所以VP－ADC＝13·S△ADC·PH＝13×9×7＝37.由(2)知BC⊥PD，又因为AD∥BC，所以AD⊥PD，所以S△PDA＝12·PD·AD＝12×4×3＝6.设点C到平面PDA的距离为h.因为VC－PDA＝VP－ADC，所

以13·S△PDA·h＝37，所以h＝3713·S△PDA＝3713×6＝372.基础达标一、选择题1.如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是()A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l⇒b⊥βB．α⊥β，α∩β＝l

，bα⇒b⊥βC．α⊥β，bα，b⊥l⇒b⊥βD．α⊥β，α∩β＝l，bα，b⊥l⇒b⊥β解析：根据面面垂直的性质定理知，D正确．答案：D2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α

∥β，mα，nβ⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：由线面垂直的性质定理可知①正确；对于②，当α∥β，mα，nβ时，m与n可能平行也可能异面，故②不正确；对于③，当m∥n，m∥α

时，n∥α或nα，故③不正确；对于④，由m∥n，m⊥α，得n⊥α，又α∥β，所以n⊥β，故④正确．故选C.答案：C3．平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D.答

案：D4．已知两个平面垂直，下列说法：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确说法个数是

()A．3B．2C．1D．0解析：如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．对于③，AD1平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD

；对于④，如果这点为交线上的点，可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直，④错误．故选C.答案：C5．如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析：由mα，m⊥γ得α⊥γ，由l＝β∩

γ，得lγ，所以m⊥l.故选A.答案：A6．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱

锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：设等腰直角△ABC的腰长为a，则斜边BC＝2a，①因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝

AD，BD⊥AD，BD平面ABD，所以BD⊥平面ADC，又AC平面ADC，所以BD⊥AC，故①正确；②由①知，BD⊥平面ADC，CD平面ADC，所以BD⊥CD，又BD＝CD＝22a，所以由勾股定理得B

C＝2·22a＝a，又AB＝AC＝a，所以△ABC是等边三角形，故②正确；③因为△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，所以三棱锥D－ABC是正三棱锥，故③正确．④因为△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，所以∠BF

D为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③.故选B.答案：B7．如图，

点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥A

D.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又PE平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，

必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.答案：D二、填空题8．下列命题：①α⊥β，l⊥α，mβ，则l∥m；②α⊥β，lα，则l⊥β；③α⊥β，l∥α，则l与β相交，或l∥β，或lβ.其中正确的是________．解析：根据面面垂直与线面平行

的性质判断命题的对错．答案：③9.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的

中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．答案：610．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平

面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是________．解析：因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC.所以AC⊥平面PBC.又BC平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直

径的圆(除去A，B两点)．答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)11．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则lβ；②若l∥α，α∥β，则lβ；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥

β，则l⊥β.则正确命题的个数为________．解析：①错，可能有l∥β；②错，可能有l∥β；③正确；④错，也可能有l∥β，或lβ或l与β相交．答案：112．设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m

∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，其中假命题的序号是________．解析：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行都可能，故①不正确；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故②正确；③若m∥α，n∥α，

则m与n相交、平行或异面，故③不正确；④若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，故④正确．答案：①③三、解答题13．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AA1的中点．求证：平面B1EC⊥平面BCC1B1.证明：如图，取BC，

B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，由E，F，G分别为AA1，BC，B1C的中点．知FG綊12BB1綊AE，所以AEGF为平行四边形，所以AF∥EG.在直三棱柱中，由平面BCC1B1⊥平面ABC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，所以EG⊥平

面BCC1B1.又EG平面B1EC，所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.14．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：(1)AF∥平面BDE；(2)CF⊥平面B

DE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1.所以四边形CEFG是菱

形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.又CF平面ACEF所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.能力提升15．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面

AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.证明：(1)在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝DC

，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AA1平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中，因为AB

＝AC，且E为棱BC的中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥CD.因为CD平面DCC1D1，AE平面DCC1D1，故得AE∥平面DCC1D1.16

．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平

面ABCD？并说明你的结论．解析：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG.因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又BG∩PG＝G，所以AD⊥平

面PGB.因为PB平面PGB.所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF.则EF∥PB，所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中，GB∥DE，所以可得DE∥平面PGB.而EF平面DEF，DE平面D

EF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.因为△PAD为等边三角形，G为AD中点，所以PG⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，且相交于AD，PG平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.获得更多资源请扫码加

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