【文档说明】浙江省温州十校联合体2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题参考答案.pdf，共(12)页，767.215 KB，由管理员店铺上传

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高二数学学科试题第1页(共10页)绝密★考试结束前2022学年第一学期温州十校联合体期中联考高二年级数学学科参考答案选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】𝑡𝑎𝑛𝜃=−√3，𝜃=1

20°2.【答案】A【解析】𝑒=√1−121=√223.【答案】D【解析】由空间向量基本定理知，abcBADACDCB−+=−+=4.【答案】B5.【答案】A【解析】∠𝐴𝐶𝐴1为𝐶𝐶1与平面𝐵𝐷𝐶1所成角，其正切

值为√226.【答案】C【解析】若21//ll，则03)2(=−+mm，解得1=m或3−，当1=m时，两直线重合；这时两平行直线间的距离为2211|51|22=++−=d；原点到直线𝑙2的最短距离为0.7.【答案】B【解析】𝑙1：𝑎（𝑥+1）+𝑏（𝑦+

3）=0过定点B（-1，-3）；𝑙2：𝑏（𝑥−3）−𝑎（𝑦−1）=0过定点C（3，1）.又𝑙1⊥𝑙2，故交点𝐴在以𝐵𝐶为直径的圆上，设𝐵𝐶中点为𝐷，故𝑂𝐴≤𝑅−𝑂𝐷=√2

.8.【答案】C【解析】𝑥𝑦≤0时显然成立，𝑥𝑦≥0时，将两边平方化简整理得：𝑥2+4𝑦2≤1，进而结合定义域得到如图区域，故①错②对.对于③：设𝑦=−12𝑥+𝑏，与椭圆方程联立可以得到𝑏=±√22，进而两直线间距离即为|𝑃𝑀|最小值为：高二数学学科试题第2页(共

10页)|√2−√22|√1+14=√105，故③对.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.【答案】AD【解析】对于A，𝒂+2𝒄

≠λ(𝒂+𝒃+3𝒄)+μ(𝒂+3𝒄)，故不共面；对于B，𝒂+𝒃+𝒄=−(−𝒂)+12(2𝒃+2𝒄)，故共面；对于C，𝒂+2𝒄=0(𝒂+𝒃+2𝒄)−12(−2𝒂−4𝒄)，故共面；对于D，𝒂+𝒃≠𝜆𝒂+𝜇𝒄，故D不共面.10.【答案】BD【

解析】对于A:当方程表示椭圆时，{𝑘−2>04−𝑘>0𝑘−2≠4−𝑘，解得2<k<4且k≠3.故A错误.对于B：当方程表示双曲线时，(𝑘−2)(4−𝑘)<0，解得k<2或k>4.故B正确.对于C：当方程表示焦点在y轴的双曲线时，{𝑘−2<04

−𝑘>0，解得k<2.故C错误.对于D：当方程表示圆时，k−2=4−k，解得k=3.此时方程为𝑥2+𝑦2=1，故D正确.11.【答案】AC【解析】对于A，|𝑃𝐵|−|𝑃𝐴|≦|𝐴𝐵|=2√5，A正确.对于B，记AB的中点为D，𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐷2−𝐵𝐷2=𝑃𝐷2−5≦(𝐶𝐷−2)2−5=7−8√2.对于C，令b=x+y，当直线b=x+y与圆C相切时，b取到最值，令d=|b−5|√2=2，b=5±2√2，所以x+y最小

值为5−2√2，故C正确.对于D，当PB与圆C相切时，PBA最大，此时|𝑃𝐵|=√|𝐵𝐶|2−22=√21，所以D错误.12.【答案】BC【解析】由已知条件中的𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗（𝜆，𝜇∈𝑅+），可知点𝑂所在的区域如下图：高二数学学科试题第3页(共10页)由于𝑂是𝐵1在底面𝐴𝐵𝐶𝐷的射影，所以𝐵1𝑂⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，可以利用三垂线定理来做

出二面角𝐴1−𝐴𝐷−𝐶的平面角𝛼和二面角𝐵1−𝐴𝐵−𝐶的平面角𝛽.过𝑂作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶,连𝑀𝐵1，则二面角𝐴1−𝐴𝐷−𝐶的平面角为∠𝐵1𝑀𝑂=𝛼,过𝑂作𝑂𝑁⊥𝐴𝐵，连

𝑁𝐵1，则二面角𝐵1−𝐴𝐵−𝐶的平面角为∠𝐵1𝑁𝑂=𝛽，作法如图：由已知可得，tan𝛼=𝐵1𝑂𝑂𝑀，tan𝛽=𝐵1𝑂𝑂𝑁.对于A选项，当𝜆=𝜇时，此时𝑂所在的区域为∠𝐶𝐵𝑁

的角平分线𝐵𝐻的上，如下图：此时𝑂𝑀=𝑂𝑁，因此，tan𝛼=tan𝛽，从而𝛽=𝛼，所以选项A错误.对于B选项，当𝜇2−𝜆2=1时，可知𝜆<𝜇，此时𝑂所在的区域为∠𝐶𝐵𝑁的角平分线𝐵𝐻的上方，如下图

：高二数学学科试题第4页(共10页)此时𝑂𝑀<𝑂𝑁，因此，tan𝛼>tan𝛽，从而𝛽<𝛼，所以选项B正确.对于C选项，当𝜆=𝜇+1时，可知𝜆>𝜇，此时𝑂所在的区域为∠𝐶𝐵𝑁的角平分线𝐵𝐻的下方，如下图：此时𝑂𝑀>𝑂𝑁，因此，tan𝛼<ta

n𝛽，从而𝛽>𝛼，所以选项C正确.对于D选项，当𝜆2+𝜇2=1时，𝜆和𝜇的大小无法判断，因此，𝛽和𝛼的大小也无法判断.因此，选项D错误.综上所述，这道题的正确答案为BC.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.【答案】3【解析】设直线MN与x轴交

于Q，易得(1,0)Q，过点M，N的圆且与x轴相切于点P即为所求.则由圆幂定理得2||||||QPQMQN,所以||4QP，易得(3,0)P或(4,0)P，而'MPNMPN，故点P的横坐标为3.14.【答案】−94【解析】直线的𝐴𝐶斜率𝑘𝐴𝐶=𝑡−04+

2=𝑡6，直线的𝐵𝐷斜率𝑘𝐵𝐷=𝑡−04−2=𝑡2=3𝑘𝐴𝐶；又由椭圆性质𝑘𝐴𝐶∙𝑘𝐵𝐷=−𝑏2𝑎2=−34，𝑘𝐵𝐶∙𝑘𝐵𝐷=3𝑘𝐴𝐶∙𝑘𝐵𝐷=−94.高二数学学科试题第5页(共10页)15

.【答案】2√63【解析】以𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗为基底，|𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2,⟨𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⟩=60𝑜,⟨𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗

⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⟩=60𝑜,⟨𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⟩=90𝑜,𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗∴

|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(𝑚𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)2=√4𝑚2+4𝑛2+4𝑚𝑛−4𝑛+4=√(2𝑚+𝑛)2+3𝑛2−4𝑛+4≥√3𝑛2−4𝑛+4≥2√63,当且仅当{𝑛=23𝑚=

−13取等号.16.【答案】𝑒>2√33【解析】|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=(|𝑃𝑄|+|𝑄𝐹1|)−(|𝑃𝑁|+|𝑁𝐹2|)=|𝑄𝐹1|−|𝑁𝐹2|=|𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2|，即2𝑎=(𝑎+𝑥)−(𝑐−𝑥)，所以𝑥=

𝑎，所以圆心𝐼坐标为(𝑎,𝑐2)，由于𝑘𝑂𝐼<𝑘渐近线，即𝑐2𝑎<𝑏𝑎，得：𝑒>2√33.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）在平面内，𝐴(3,0),𝐵(−1,0),𝐶为动点，若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∙�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=5,（1）求点𝐶的轨迹方程；（2）已知直线𝑙过点(1,2)，求曲线𝐶截直线𝑙所得的弦长的最小值.【解析】(1)设𝐶(𝑥,𝑦),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥−3,𝑦),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥+1,𝑦),（2分）

∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥−3)(𝑥+1)+𝑦2=5,（4分）得(𝑥−1)2+𝑦2=9（5分）(2)(1−1)2+22<9,点(1,2)在圆内，（7分）故最短弦长为2√5.（1

0分）高二数学学科试题第6页(共10页)18.（12分）如图，在斜三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC是菱形，1160oAAC，在平面ABC中，90oBAC，且2ABBC，122AB.（1）求证：面11AACC面ABC;（2）求直线AB与平面1ABC所成角的正

弦值.【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接1AO，BO，法一：由勾股定理得：22113AOAAAO，225BOAOAB,∴22211ABAOBO，∴1AOBO（2分）∵1AOAC，ACBOO∴1AO面ABC（4分，没有写𝐴𝐶∩�

�𝑂=𝑂扣1分）∵1AO面11AACC∴面11AACC面ABC（5分）法二：由勾股定理得：22211ABAAAB∴1ABAA（2分）∵ABAC，1ACAAA∴AB面11AACC（4分，没有写𝐴�

�∩𝐴1𝐴=𝐴扣1分）∵AB面ABC∴面11AACC面ABC（5分）（2）几何法：过A作1AHAC，连接BH∵AB面11AACC∴1ABAC∵1AHAC，ABAHA∴1AC面ABH∵1AC面1ABC∴面ABH面1ABC（8分）∴直线AB与平面1ABC所成

角的平面角即为ABH（10分）∴321sin77AHABHBH（12分）法二：空间向量法分别以AB，AC，以及垂直于面ABC的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，由已知高二数学学科试题第7页(共10页)得(2,0,0)B，(0,2,0)C，1(0,1,3)A，1(0,

1,3)AC，(2,2,0)BC，（7分）设面1ABC的法向量为(,,)nxyz，则100ACnBCn,得30220yzxy，（9分）令1z，解得3y，3x∴(3,3,1)n，（法向量算对，10分）又∵(2,0,0)AB，设为直线AB与平面1ABC

所成角的平面角，则21sin|cos,|||7||||ABnABnABn（12分）19.（12分）已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的渐近线方程为𝑥±2𝑦=0，且经过点（4，√3）（1）求双曲线的方程（2）若点𝑄是直线𝑙：𝑦=𝑥+1上一动点，过

点𝑄引双曲线两条切线，切点为𝐴,𝐵，试探究：直线𝐴𝐵是否恒过定点.若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（1）法一：双曲线方程为𝑥2−4𝑦2=𝜆（2分），将点（4，√3）代入得到：𝑥2−4𝑦2=4（4分），即𝑥24−𝑦2

=1（5分）.法二：由已知𝑏𝑎=12，则𝑥24𝑏2−𝑦2𝑏2=1（2分），将点（4，√3）代入得到：𝑏2=1（4分），即𝑥24−𝑦2=1（5分）.（2）设𝐴（𝑥1，𝑦1），𝐵（𝑥2，𝑦2），𝑄（𝑥0，𝑦0）设过𝐴的切线方程：𝑦=𝑘(𝑥−𝑥1)+𝑦1代

入双曲线方程𝑥24−𝑦2=1有：(1−4𝑘2)𝑥2−8𝑘(𝑦1−𝑘𝑥1)𝑥−4(𝑦1−𝑘𝑥1)2−4=0.令∆=0得：(4+𝑥12)𝑘2−2𝑥1𝑦1𝑘+𝑦12−1=0.解得：𝑘=𝑥14𝑦1（有体现这个过程即可给分，7分）则切线𝑄𝐴:

𝑥1𝑥4−𝑦1𝑦=1；（8分）同理切线𝑄𝐵:𝑥2𝑥4−𝑦2𝑦=1.则点𝐴,𝐵都是直线𝑥0𝑥4−𝑦0𝑦=1上的点，即𝑙𝐴𝐵:𝑥0𝑥4−𝑦0𝑦=1……（∗）（10

分）又点𝑄（𝑥0，𝑦0）在直线𝑙：𝑦=𝑥+1上，则𝑦0=𝑥0+1代入（∗）式有：𝑥0(𝑥4−𝑦)−𝑦−1=0（11分），则定点为（−4，−1）.（12分）20.（12分）已知直线𝑙:𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃=1，

圆𝐶:(𝑥−𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(𝑦−𝑠𝑖𝑛𝜃)2=1，其中𝜃≠kπ2,k∈Z.高二数学学科试题第8页(共10页)（1）试判断直线𝑙与圆𝐶的位置关系；（2）求直线𝑙上点到圆𝐶上点的距离的最大值.解析：(1)

𝑑=|1𝑐𝑜𝑠𝜃∙𝑐𝑜𝑠𝜃+1𝑠𝑖𝑛𝜃∙𝑠𝑖𝑛𝜃−1|√1𝑐𝑜𝑠2𝜃+1𝑠𝑖𝑛2𝜃（3分）=1√𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑠𝑖𝑛2𝜃∙𝑐𝑜𝑠2𝜃=1√1𝑠𝑖𝑛2𝜃∙𝑐𝑜𝑠2𝜃=|𝑠𝑖𝑛𝜃∙�

�𝑜𝑠𝜃|=12|𝑠𝑖𝑛2𝜃|≤12（6分）所以，直线l与圆C相交.(2)已知圆心C的轨迹为𝑥2+𝑦2=1，（8分）圆C上的点的轨迹方程：𝑥2+𝑦2≤4（9分）𝑑′=2+|−1|√1𝑠𝑖𝑛2𝜃∙𝑐𝑜𝑠2𝜃=2+12|𝑠𝑖𝑛2𝜃|

≤52（12分）21.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，60oBADCDA，且223CDADAB,M为PC的中点，（1）平面PAB平面PCDl，求证：lAD.（2）求证：BM//平面PAD.解析：（1）证明

：延长AB,CD交于E，连PE.（1分）已知P面PAB,P面PCD,又ABCDE,∴E面PAB且E面PCD∴面PAB面PCDPE，（3分）∴直线PE即为直线l∴要证lAD，即证PEAD取AD中点O,由已知PAD与ADE均为正三角形，∴POAD，EOAD，POE

OO，∴AD面PEO，（5分）∵PE面PEO，∴ADPE，∴lAD.（6分）（2）高二数学学科试题第9页(共10页)证明：延长BC交AD于F，连PF，（7分）设3AD,由已知2BE,1CE,60oBEC，由余弦定理知3BC（8分）,∴BCDE，

∴30oEBCFBA，且120oFAB，∴30oAFB，3BF，∴BFBC（10分）∵PMMC∴BM//PF，且12BMPF（11分）∵PF面PAD，BM面PAD∴BM//面PAD（12分）.22.（12分）在平面直角坐标系𝑥𝑜𝑦中，点𝐹1（−

1，0），𝐹2（1，0），|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=4，点𝑀的轨迹为𝐶.（1）求𝐶的方程；（2）设点𝑃在直线𝑥=1上，过点𝑃的两条直线分别交𝐶于𝐴,𝐵两点和𝐸,𝐹两点，若直线𝐴𝐵与直线𝐸𝐹的斜率

和为0，证明：|𝑃𝐴|∙|𝑃𝐵|=|𝑃𝐸|∙|𝑃𝐹|.（1）𝑐=1，2𝑎=4（2分），𝑏2=4−1=3即𝐶的方程：𝑏2=1，即𝑥24+𝑦32=1.（4分）（2）法一：设𝑃（1，𝑚），设𝑘𝐴𝐵=𝑘，𝑘𝐸𝐹=−𝑘，则𝑙𝐴𝐵:𝑦=𝑘(�

�−1)+𝑚（5分），联立直线𝑙与椭圆𝐶方程得：(3+4𝑘2)𝑥2+8𝑘(𝑚−𝑘)𝑥+4𝑘2−8𝑚𝑘+4𝑚2−12=0.（有联立就给分，6分）由韦达定理：𝑥𝐴+𝑥𝐵=8𝑘(𝑘−𝑚)3+4𝑘2，𝑥𝐴𝑥𝐵=4𝑘2−8�

�𝑘+4𝑚2−123+4𝑘2.（7分）|𝑃𝐴|∙|𝑃𝐵|=√1+𝑘2|𝑥𝐴−1|∙√1+𝑘2|𝑥𝐵−1|=(1+𝑘2)|𝑥𝐴𝑥𝐵−(𝑥𝐴+𝑥𝐵)+1|=(1+𝑘2)|4𝑘2−8𝑚�

�+4𝑚2−123+4𝑘2−8𝑘(𝑘−𝑚)3+4𝑘2+1|=(1+𝑘2)|4𝑚2−93+4𝑘2|（9分）由已知可得：𝑥𝐸+𝑥𝐹=−8𝑘(−𝑘−𝑚)3+4𝑘2=8𝑘(�

�+𝑚)3+4𝑘2，𝑥𝐸𝑥𝐹=4𝑘2+8𝑚𝑘+4𝑚2−123+4𝑘2|𝑃𝐸|∙|𝑃𝐹|=√1+(−𝑘)2|𝑥𝐸−1|∙√1+(−𝑘)2|𝑥𝐹−1|=(1+𝑘2)|𝑥𝐸𝑥𝐹−(𝑥𝐸+𝑥𝐹)

+1|=(1+𝑘2)|4𝑘2+8𝑚𝑘+4𝑚2−123+4𝑘2−8𝑘(𝑘+𝑚)3+4𝑘2+1|=(1+𝑘2)|4𝑚2−93+4𝑘2|（11分）即：|𝑃𝐴|∙|𝑃𝐵|=|𝑃𝐸|∙|𝑃𝐹|.（12分）高

二数学学科试题第10页(共10页)法二（直线的参数方程）：设𝑙𝐴𝐵={𝑥=1+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑚+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼（6分），其中𝛼为直线的倾斜角，代入椭圆方程：3(1+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼)2+4(𝑚+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼)2=12，化简有：(3+𝑠𝑖𝑛2𝛼)

𝑡2+(6𝑐𝑜𝑠𝛼+8𝑚𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑡+4𝑚2−9=0，则|𝑃𝐴|∙|𝑃𝐵|=|4𝑚2−93+𝑠𝑖𝑛2𝛼|.（9分）此时𝑙𝐸𝐹={𝑥=1+𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)=1−𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑚+

𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)=𝑚+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼（10分），代入椭圆方程：(3+𝑠𝑖𝑛2𝛼)𝑡2+(8𝑚𝑠𝑖𝑛𝛼−6𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑡+4𝑚2−9=0，则|𝑃𝐸|∙|𝑃𝐹|=|4𝑚2−93+𝑠𝑖𝑛2𝛼|.（11分）即：|𝑃𝐴|∙

|𝑃𝐵|=|𝑃𝐸|∙|𝑃𝐹|.（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com