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4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式必备知识基础练1.(2021北京丰台高二期末)已知等比数列{an}满足a1=-1,a4=8,则a7等于()A.32B.-32C.64D.-642

.(2021天津河西高二期末)数列1,-√22,12,-√24,14,…的一个通项公式为()A.-12n-1B.-√22nC.(-1)n√22n-1D.(-1)n+1√22n-13.(2021江苏启东高二

期末)在等比数列{an}中,a5-a2=4,a4-a1=2,则公比q=()A.±12B.±2C.12D.24.在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于()A.2B.3C.√84D.2√435

.(多选题)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{𝑎𝑛2};③{2𝑎𝑛};④{log2|an|}.其中一定为等比数列的是()A.①B.②C.③D.④6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,

则这4个数依次为.7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=.8.在等比数列{an}中,若a1=18,公比q=2,则a4与a8的等比中项是.9.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2bn=an.(1)

求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.10.已知数列{an}满足a1=32,且an+1=λan+1n∈N*,λ∈R且λ≠-23.求使数列{an+1}是等比数列的λ的值.11.(2021湖北黄

冈中学高三模拟)已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).(1)求证:数列an+𝑛2为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.关键能力提升练12.已知数列{an}是

等比数列,则方程组{𝑎1𝑥+𝑎2𝑦=𝑎3,𝑎4𝑥+𝑎5𝑦=𝑎6的解的情况为()A.唯一解B.无解C.无数多组解D.不能确定13.(2021江苏常州高二期中)数列{an}中,a1=12,am+n=aman(∀m,n∈N*),则a6=()A.11

6B.132C.164D.112814.(2021湖南长沙四校高二联考)在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则2𝑎1+𝑎22𝑎3+𝑎4=()A.14B.13C.12D.115.(2021广东广州高二期末)在等比数列{

an}中,a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=()A.24B.32C.34D.-27816.(多选题)已知数列{an},{bn}是等比数列,那么下列一定是等比数列的是()A.{k·an}B.{1𝑎𝑛}C

.{an+bn}D.{an·bn}17.(多选题)(2021江苏苏州高二期中)已知{an}为等比数列,下列结论正确的是()A.若a3=-2,则𝑎22+𝑎42≥8B.𝑎32+𝑎52≥2𝑎42C.若a3=a5,则a1

=a2D.若a5>a3,则a7>a518.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=.19.若数列a1,𝑎2𝑎1,𝑎3𝑎2,…,𝑎𝑛𝑎𝑛-1,…是首项为1,公比为-√2的等比数列,则a5=.20.(2021安徽亳州高二期

末)已知数列{an}满足a1=12,an+1=𝑎𝑛2-𝑎𝑛,若bn=1𝑎𝑛-1,则数列{bn}的通项公式为bn=.21.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2a

n,求证:数列{bn}是等比数列.22.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=23an+n-4,bn=(-1)n·(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列

{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.学科素养创新练23.(多选题)(2022湖北鄂州高二期中)在数列{an}中,如果对任意n∈N*都有𝑎𝑛+2-𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1-𝑎𝑛=k(k为常数),则称{an}为等差比数列,k称为公差比.下列说法正确的是()A

.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比24.已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.

参考答案4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式1.D设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3=-q3=8,解得q=-2,故a7=a1q6=-64.2.D根据数列的项可知该数列是一个以1为首项,-√22为公比的等比数列,所以该数列的通项公式为1×

-√22n-1=(-1)n-1×√22n-1=(-1)n+1×√22n-1.3.D由{𝑎1𝑞4-𝑎1𝑞=4,𝑎1𝑞3-𝑎1=2,解得{𝑞=2,𝑎1=27.4.A在等比数列{an}中,a1a

2=2,a2a4=16,则𝑎2𝑎4𝑎1𝑎2=q3=8,则公比q=2,故选A.5.AB设等比数列{an}的公比为q,则2𝑎𝑛2𝑎𝑛-1=𝑎𝑛𝑎𝑛-1=q,故{2an}是等比数列;𝑎𝑛2𝑎𝑛-12=(𝑎𝑛𝑎𝑛-

1)2=q2,故{𝑎𝑛2}是等比数列;取等比数列an=(-1)n,则{2𝑎𝑛}的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an|}不成等比数列.故选AB.6.80,40,20,10设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q

5,∴q5=132,∴q=12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7.3·(12)𝑛-1由2an+1-an=0,得𝑎𝑛+1𝑎𝑛=12,所以数列{an}是等比数列,公比为12.因为a1=3,所以an=3·(12)𝑛-1.8.±4依题意

,得a6=a1q5=18×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.9.(1)证明由log2bn=an,得bn=2𝑎𝑛.因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,则𝑏𝑛𝑏𝑛-1=2𝑎𝑛2𝑎𝑛-1=2�

�𝑛-𝑎𝑛-1=2d(n≥2),2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.(2)解由已知,得{𝑎1+𝑑=3,𝑎1+3𝑑+3(𝑎1+4𝑑)=56,解得{𝑎1=-1,𝑑=4,于是b1=2-1=12,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式bn=12·16n

-1.10.解若数列{an+1}是等比数列,则𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=𝜆𝑎𝑛+2𝑎𝑛+1=μ(μ为非零常数),即(λ-μ)an+2-μ=0,对于任意n∈N*恒成立,则{𝜆-𝜇=0,2-𝜇=0,解得λ=2.故当λ=2时,数列{an+1

}是等比数列.11.(1)证明∵2an+1=6an+2n-1(n∈N*),∴an+1=3an+n-12,∴𝑎𝑛+1+𝑛+12𝑎𝑛+𝑛2=3𝑎𝑛+𝑛-12+𝑛+12𝑎𝑛+𝑛2=3𝑎𝑛+32𝑛𝑎𝑛+𝑛2=3.∵a1+12=1+12=32,∴an+𝑛2为等

比数列,首项为32,公比为3.(2)解由(1)得,an+𝑛2=32×3n-1=12×3n,∴an=12×3n-𝑛2.12.C由题意,数列{an}是等比数列,可得𝑎1𝑎4=𝑎2𝑎5=𝑎3𝑎6,所以直线a

1x+a2y=a3与a4x+a5y=a6重合,所以方程组{𝑎1𝑥+𝑎2𝑦=𝑎3,𝑎4𝑥+𝑎5𝑦=𝑎6有无数组解.13.C由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=12.令m=1,则an+1=a1an=12an,即数列{an}

是首项为12,公比为12的等比数列,所以an=12×12n-1=12n,故a6=126=164.14.A由an+1-2an=0得𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2,即数列{an}是以2为公比的等比数列,则2𝑎1+𝑎22𝑎3

+𝑎4=2𝑎1+𝑎22𝑎1×22+𝑎2×22=2𝑎1+𝑎24(2𝑎1+𝑎2)=14.15.B设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-12,因此a7+a

8+a9=q3(a4+a5+a6)=-12×(-3)=32.16.BD由题意,可设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),则an=a1·𝑞1𝑛-1,等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则bn=b1·𝑞2𝑛-1,对于A,当k=0时,{k·an}显然不是等比数列,故A错误;对于B,

1𝑎𝑛=1𝑎1𝑞1𝑛-1=1𝑎1·(1𝑞1)𝑛-1,∴数列{1𝑎𝑛}是一个以1𝑎1为首项,1𝑞1为公比的等比数列,故B正确;对于C,举出反例,当an=1,bn=-1时,数列{an+bn}不是

等比数列,故C错误;对于D,an·bn=a1·b1(q1·q2)n-1,∴数列{an·bn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.故选BD.17.ABD若a3=-2,则𝑎22+𝑎42≥2a2a4=2𝑎32=8,当a2=a4=±2时,等号成立,故A正确

;因为𝑎32+𝑎52≥2a3a5=2𝑎42,当a3=a5时,等号成立,故B正确;设等比数列的公比为q,因为a3=a5,所以q2=𝑎5𝑎3=1,所以q=±1,当q=-1时,a1=-a2,故C错误;设等比数列的公

比为q,则q2>0,因为a5>a3,所以a5q2>a3q2,即a7>a5,故D正确.故选ABD.18.-1+√52依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=-1+√52(𝑞=-1-√52舍去).19.32由题意,得𝑎�

�𝑎𝑛-1=(-√2)n-1(n≥2),所以𝑎2𝑎1=-√2,𝑎3𝑎2=(-√2)2,𝑎4𝑎3=(-√2)3,𝑎5𝑎4=(-√2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得𝑎5𝑎1=(-√2)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.20.2n-1因为an+1

=𝑎𝑛2-𝑎𝑛,所以1𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛-1,所以1𝑎𝑛+1-1=2𝑎𝑛-2=21𝑎𝑛-1,而1𝑎1-1=1,且bn=1𝑎𝑛-1.所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数

列,所以bn=1×2n-1=2n-1.21.证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由𝑎𝑛+

1𝑎𝑛=2知{an}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2

n-1.𝑏𝑛+1𝑏𝑛=-4×2𝑛-4×2𝑛-1=2.∴数列{bn}是等比数列.22.(1)证明假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有𝑎22=a1a3,即23λ-32=λ49λ-4⇔4

9λ2-4λ+9=49λ2-4λ⇔9=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.(2)解是等比数列,证明如下:因为bn+1=(-1)n+1·[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·23an-2n+14=-23(-1)n·(an-3n+21)=-23b

n.又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,所以𝑏𝑛+1𝑏𝑛=-23(n∈N*).故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+

18)为首项,-23为公比的等比数列.23.BCD对于等差数列{an},考虑an=1,an+1=1,an+2=1,𝑎𝑛+2-𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1-𝑎𝑛无意义,所以A选项错误;若等差比数列的公差比为0,𝑎�

�+2-𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1-𝑎𝑛=0,an+2-an+1=0,则an+1-an=0与题目矛盾,所以B选项正确;若an=-3n+2,则𝑎𝑛+2-𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1-𝑎𝑛=3,数列{an}是等差比数列,所以C选项正确;

若等比数列是等差比数列,则an=a1qn-1,q≠1,𝑎𝑛+2-𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1-𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛+1-𝑎1𝑞𝑛𝑎1𝑞𝑛-𝑎1𝑞𝑛-1=𝑎1𝑞𝑛(𝑞-1)𝑎1𝑞𝑛-1(𝑞-1)=q,所以D选项正确.24.解因为数

列{cn+1-pcn}为等比数列,所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),将cn=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)

],整理得16(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.