【文档说明】第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx，共(19)页，1.149 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2c6edfeaacfca7b4833506af0271092f.html

以下为本文档部分文字说明：

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题高频考点四：平面向量与三角函数的结合第

二部分：高考真题感悟高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题例题1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练习）已知向量(),2=am，()2,1b=r，则“1m−”是“a，b夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不

必要条件【答案】B由题设，||||cos,22abababm==+，当1m−时，,[0,)2ab，注意可能a,b0=，故充分性不成立；当a，b夹角为锐角时，220m+，即1m−，故必要性成立；故选：B例题2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知向量()2

,am=，()3,1b=r，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是（）A．()6,−+B．2,3−+第一部分：典型例题剖析C．226,,33−+D．226,,33−−−+【答案】C因为()2,am=，()3,1

b=r，所以6abm=+，因为向量a，b的夹角是锐角，所以60230abmm=+−，解得6m−，且23m．所以，实数m的取值范围是226,,33−+.故选：C例题3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练习）设()3,2P−−，(),2Qx，则

OP与OQ的夹角为钝角时，x的取值范围为___________.【答案】4(,3)(3,)3−+因为()3,2P−−，(),2Qx，所以(3,2),(,2)OPOQx→→=−−=，当OP与OQ的夹角为钝角时，340OPOQx→→=−−

，解得：43x−，当OP与OQ反向共线时，(3,2)(,2),(0)kxk−−=，解得1k=−，3x=,所以x的取值范围为4(,3)(3,)3−+故答案为：4(,3)(3,)3−+题型归类练1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶

段练习）已知(1,2)=−a，(1,)b=，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．1,2+B．112,,22−+C．1,2−D．1(,2)2,2−−−【答案】D由a与

b的夹角为锐角知0ab且a与b不共线，即120−且2−，即12且2−.故选：D.2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量()()23,,2abx==，，则“a与b的夹角为锐角”是“3x−”的（）A．充分不

必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A因为a与b的夹角为锐角，则cos,0ab且a与b不共线.cos,0ab时，2603abxx=+−，当//ab时4343xx==，则a与b不共线时，43x，所以a与b的夹

角为锐角的充要条件是{|3xx−且4}3x，显然{|3xx−且4}3x是{|3}xx−的真子集，即“a与b的夹角为锐角”是“3x−”的充分不必要条件，A正确.故选：A3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知()1,1()2,,ab=−=−，若a与b的夹角为钝角.则

实数的取值范围为______________.【答案】23且1−由222(1)cos,||||5(1)ababab−−==+−，又a与b的夹角为钝角，所以2(1)320−−=−，即23.当a与b反向共线时，即ab=−rr有1

12=−−=，则1=−，此时a与b的夹角为，综上，的取值范围为23且1−.故答案为：23且1−.4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量a，b满足2a=，1b=，且,60ab=．若向量27mab+与amb+的夹

角为钝角，则实数m的取值范围是________．【答案】141417,,222−−−−由题设可得：21cos601ab==，因为向量27mab+与amb+的夹角为钝角，

所以()()270mabamb++且27mab+与amb+不反向共线，可得：2222+(27)70mamabmb++，所以221570mm++，解得172m−−，若向量27mab+与amb+反向共线时，存在实数0k，使得()27mabkamb+=+成立，可得27mkmk==

，解得：14214mk=−=−（正解舍），所以27mab+与amb+不反向共线，142m−，综上所述，141417,,222m−−−−故答案为：141417,,222−−−−.高频考点二：平

面向量数量积的最值（或范围）问题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,||,||ABACABtACt⊥==，若点P是ABC所在平面内的一点，且3||||ABACAPABAC=−，则PBPC的最大值等于（）A．8B．10C．12D．13【答案】C∵ABA

C⊥，∴可以A为原点，,ABAC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)BtCt，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP=−=−，故点P坐标为(3,1)−则()33,1,(3,1)PBtPCt=−−=−−，∴()333(3)1310PBPCtttt=−−−+−=−

++令3()310,0ftttt=−++，则2()333(1)(1),0fttttt=−+=−+−，则当(0,1)t时，()0ft，当(1,)t+时，()0ft，则函数()ft在[0,1)递增，在(1,)+上递减，则max(

)(1)12ftf==，即PBPC的最大值为12．故选：C．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则()PAPBPC+的最小值是（）A．2−B．52−C．3−D．4−【答案】BABCD

是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则(0,0),(2,0),(2,2)ABC，设点(,)Pxy，(,),(2,),(2,2)PAxyPBxyPCxy=−−=−−=−−，于是得：)(22,

2)(2,2)2(1)(2)2(2)(PAPBPCxyxyxxyy+=−−−−=−−−+=22352()2(1)22xy−+−−，当3,12xy==时，()PAPBPC+取得最小值52−，所以()PAPBPC+的最小值是52−.故选：B例题3．（2021·河北武强中学高一阶段练习）已知

M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则AMAB的取值范围是________.【答案】13,22−如图，作MNAB⊥，垂足为N，作CPAB⊥于P，FQAB⊥于Q，则cosAMABAB

AMMAB=，当MAB是锐角时，AMABABAN=，此时max311cos602ANAP==+=，当MAB是钝角时，AMABABAN=−，此时max12ANAQ==，AMAB取最小值12−，当MAB是直角时，0AMAB=，综上，AMAB

的取值范围是13,22−．故答案为：13,22−．题型归类练1．（2022·北京市第五十中学高一期中）如图，线段2AB=，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，1BC=，设O为原点，则·OCOD的取值范围是（）A．

0,2B．0,3C．1,3D．1,4【答案】C解：如图令OAB=，0,2，由于2AB=，故2cosOA=，2sinOB=，如图2DAX=−，1BC=，故2coscos2co

ssin2Dx=+−=+，sincos2Dy=−=，故()2cossin,cosOD=+，同理可求得()sin,cos2sinC+，即()sin,cos2sinOC=+，∴()()·2cossin

,cossin,cos2sin12sin2OCOD=++=+，∵0,2，∴20,．∵sin20,1，∴·OCOD的最大值是3，最小值是1，故选：C．2．（2021·云南·昆明市官

渡区第一中学高二期中）已知直角梯形1,90,//,1,2====ABCDAABCDADDCABP是BC边上的一点，则APPC的取值范围为（）A．1,1−B．0,2C．22−,D．2,0−【答案】D法一：因为P在BC上，不妨设BPBC=，则

(1)PCBC=−（其中01≤≤）所以()=+APPCABBPPC(1)=+=−+ABPCBPPCABBCBCPC(1)(1)=−+−ABBCBCBC2(1)22cos135(1)(2)=−

+−2(1)2(1)=−−+−222422(1)=−+−=−−，因为01≤≤，所以22(1)2,0−−−法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角

坐标系.则()0,0A，()2,0B，()0,1D，()1,1C，其中∠ABC=45°，设点()1,1Pmm+−，其中01m，()1,1APmm=+−，(),PCmm=−∴()()2112APPCmmmmm=−++−=−∵01m∴222,0APPCm=−−故选：D.3．（2022

·全国·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB=23，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·AEAF的取值范围是（）A．[2，14]B．[0，12]C．[0，6]D．[2，8]【答案】A如图建立平面直角，则A(0，0)，E(23，1)，设F(x，2

)(0≤x≤23)，所以AE=(23，1)，AF=(x，2)，因此·AEAF=23x+2，设f(x)=23x+2(0≤x≤23)，f(x)为增函数，则f(0)=2，f(23)=14，故2≤f(x)≤14，·AEAF的取值范围是[2，14].故选：A4．（2021·上海市延安中学高三期中）如图，

C为ABC外接圆P上一个动点，若1,3,150OAOBAOB===，则OAOC的最大值为__________.【答案】172+由余弦定理得22||2cos1507ABOAOBOAOB=+−=，由正弦定理得外接圆半径172sin150ABR==，所以||OAOCOAd

d==，其中d是OC在OA上的投影，过点P作//PCOA交圆于点C，如图所示，则max11||722OARd+=+=，所以OAOC的最大值为172+.故答案为：172+高频考点三：平面向量模的最值（

或范围）问题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量OA，OB满足2OAOB==，2OAOB=，若OCOAOB=+且1+=（，R），则OC的最小值为A．1B．52C．2D．3【答案】D()()()()2

2222144121OCOAOBOAOBOAOB=+=+−=+−+−2OAOB=()()222221441212444432OC=+−+−=−+=−+，当且仅当12=时，min3OC=例题2．（2022·全国·高一专

题练习）已知单位向量a，b满足230abab−+=，则()tabt+R的最小值为（）A．23B．32C．223D．22【答案】B由230abab−+=，得23abab−=−，两边平方，得()222212aabbab−+=，即()212220a

bab+−=，整理得()()21310abab+−=，所以12ab=−或13ab=因为230abab−=−，所以0ab，所以12ab=−，所以222121tabttabtttab+==+++=−+2133242t=−+.故选:B.例题3．（

2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知平面向量a，b，c，若2a=，7b=，0ab=，1ca−=，则cb−的最大值为（）A．2B．3C．4D．7【答案】C因2a=，7b=，0ab=，则222||()23

ababaabb−=−=−+=，又1ca−=，于是有|()()|||||4cbcaabcaab−=−+−−+−=，当且仅当ca−与ab−同向共线时取“=”，所以cb−的最大值为4.故选：C题型归类练1．（2022·全国·高一专题练习）已知ABC为等边

三角形，2AB=，ABC所在平面内的点P满足1APABAC−−=，AP的最小值为（）A．31−B．221−C．231−D．71−【答案】C2222222cos123ABACABACABACABACABAC+=++=++=，所以，23ABAC+=，由平

面向量模的三角不等式可得()()231APAPABACABACAPABACABAC=−−++−−−+=−.当且仅当APABAC−−与ABAC+方向相反时，等号成立.因此，AP的最小值为231−.故选：C.2．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练习）如图，在等腰A

BC中，已知o1,120,,ABACAEF===分别是边,ABAC的点，且,AEABAFAC==，其中(),0,1且21+=，若线段,EFBC的中点分别为,MN，则MN的最小值是（）A．77B．

217C．714D．2114【答案】D在等腰ABC中，已知o1,120,ABACA===则1cos2ABACABACA==−，因为,EF别是边,ABAC的点，所以111()(),()222AMAFAEACABANABAC=+=+=+，而1[(1)(1)]2MNANAMABAC=−=−

+−，左右两边平方得222221[(1)2(1)(1)(1)]4MNABABACAC=−+−−+−222211[(1)(1)(1)(1)]44+−−−+=−−−−+−=，又因为21+=，所以227414MN−+=，因为(),0,1，即10,2

，所以当27=时，2MN的最小值为328，即MN的最小值为2114.故选：D.3．（2022·江苏·辅仁高中高一期中）已知向量,ab为单位向量，且12ab=−，向量c与ab+共线，则||ac+的最小值为（）A．1B．12C．34D．32【答案】D由题意，向量c与a

b+共线，故存在实数，使得()cab=+|||()||(1)|acaabab+=++=++2222(1)2(1)abab=++++22(1)(1)=++−+2213331()2442=++=++=当且仅当12=−时等号成立故选：D4．（2022

·全国·高一专题练习）已知向量a，b，c满足：|a+b|=3，1c=且()1ababc+=+，则|a－b|的取值范围是______．【答案】1,522||()4134()ababababc−=+−=−+

而()||||cos[3,3]abcabc+=+−，故2||[1,25]ab−，||[1,5]ab−故答案为：[1,5]高频考点四：平面向量与三角函数的结合例题1．（多选）（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已

知(cos,sin),(cos,3cos)axxbxx==，函数()fxab=，则下列选项正确的是（）A．函数()fx的值域为13,22−．B．将函数1sin2yx=+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图

像向左平移6个单位长度，可得函数()fx的图像．C．函数()fx是偶函数．D．函数()fx在区间[0,]内所有零点之和为43．【答案】AD解：因为(cos,sin),(cos,3cos)axxbxx==且()fxab=，所以231cos21()cos3sincossin2sin22262

xfxxxxxx+=+=+=++，因为sin21,16x+−，所以()13,22fx−，故A正确；将1sin2yx=+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到1sin22yx=+，再将1sin22yx=+向左平移6个单位长度得到11

sin2sin26232yxx=++=++，故B错误；()11sin2sin26262fxxx−=−++=−−+，故1()sin262fxx=++为非奇非偶函数，故C错误；令()0fx=，即1

sin2062x++=，所以1sin262x+=−，所以22,66xkkZ+=−+或722,66xkkZ+=+，解得,6xkkZ=−+或,2xkkZ=+，因为[0,]x，所以12

x=或256x=，即1254623xx+=+=，故D正确；故选：AD例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量3sin,8ax=，()cos,1bx=−．(1)

当ab⊥时，求sin2x的值；(2)设函数()38fxab=+，将()fx的图像向左平移π6个单位得到函数()gx的图像，求()gx在π0,6x的值域．【答案】(1)34；(2)31,42.(1)向量3sin,8ax

=，()cos,1bx=−，由ab⊥得：313sincossin20828abxxx=−=−=，所以3sin24x=.(2)由（1）知，()31sin282fxabx=+=，()1()sin(2)623gxfxx=+=+，当0

6x时，22333x+，则有3sin(2)123x+，即有311sin(2)4232x+，所以()gx在π0,6x的值域是31,42.例题3．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知

向量()cos,3sinaxx=−，()3cos2sin,sinbxxx=+，()fxab=．(1)若()0fx=，求tanx；(2)若()fx在区间0,m上的值域为3,2，求m的取值范围．【答案】(1)tan3x=或3tan3x=−；(2)126m.(1)由题设，

22()3cos2sincos3sin0fxxxxx=+−=，所以232tan3tan(3tan)(13tan)0xxxx+−=−+=，可得tan3x=或3tan3x=−.(2)由（1）得：()3cos2sin22sin(2)3fxxxx=+=+，在0,m上2[,2]333xm+

+，且对应值域为3,2，所以22233m+，则126m.例题4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知2cos,cos2axx=+，2sin,cos2bxx=−，()()fxabxR=．(1)化简函数()fx的

解析式，并求最小正周期；(2)若不等式3|()|2fxm−在,42x上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)n2()si224fxx=+，T=(2)(1,1)−(1)因为21111

()sincoscossin2(1cos2)2222fxxxxxx=+−=++−11sin2cos222xx=+2sin224x=+，所以最小正周期为22T==；(2)由于3|()|2fxm−，所以33()22fxm−−，故33()22mfxm−

++，因为,42x，所以2,2x，因此352,444x+，所以22sin2242x−+，因此11()22fx−≤≤，由题意可得31221322mm−+−+＜＜，解得11mm−＜＜，故实数m

的取值范围为(1,1)−；综上，()2sin224fxx=+，最小正周期为，()1,1m−.第二部分：高考真题感悟1．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值

范围是（）A．()2,6−B．(6,2)−C．(2,4)−D．(4,6)−【答案】AAB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)−，结合向量数量积的定义式，可知APAB等

于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以APAB的取值范围是()2,6−，故选：A.2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB⊥且交AB于点E．//DFAB且交AC于点F,则|2|BEDF+的值为_______

_____；()DEDFDA+的最小值为____________．【答案】11120设BEx=，10,2x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB⊥，30,2,3,12BDEBDxDExDCx====−，

//DFAB，DFC为边长为12x−的等边三角形，DEDF⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx+=++=+−+−=，|2|1BEDF+=，2()()()DEDFDADE

DFDEEADEDFEA+=++=+222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx=+−−=−+=−+，所以当310x=时，()DEDFDA+的最小值为1120.故答案为：1；1120.3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD

中，60,3BAB==，6BC=，且3,2ADBCADAB==−，则实数的值为_________，若,MN是线段BC上的动点，且||1MN=，则DMDN的最小值为_________．【答案】16132ADBC=，/

/ADBC，180120BADB=−=，cos120ABADBCABBCAB==1363922=−=−=−，解得16=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BCC

=，,∵3,60ABABC==，∴A的坐标为333,22A,∵又∵16ADBC=,则533,22D，设(),0Mx，则()1,0Nx+（其中05x），533,22DMx=−−，333,22

DNx=−−，()222533321134222222DMDNxxxxx=−−+=−+=−+，所以，当2x=时，DMDN取得最小值132.故答案为：16；132.4．（

2019·浙江·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii=取遍时，123456ABBCCDDAACBD+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】025正方形ABCD的边长为1，可得ABADAC+=，BDA

DAB=−，AB•AD=0，()()12345613562456ABBCCDDAACBDABAD+++++=−+−+−++要使123456ABBCCDDAACBD+++++的最小，只需要135562460

−+−=−++=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1==−====此时123456min0ABBCCDDAACBD+++++=()()2212345613562456ABBCCD

DAACBDABAD+++++=−+−+−++()()2213562456=−+−+−++()()2213562456++−++++()()225

65622=+−+++()()()225656565684=+−+++−++()()222565656842=+−++++()()22225656561242=+−+++−()2222

56561242220=+++−=等号成立当且仅当1356,,−−均非负或者均非正，并且2456,,−+均非负或者均非正．比如1234561,1,,1,1,11=−=−====则123456

max2025ABBCCDDAACBD+++++==.