【文档说明】浙江省杭州市杭州市第四中学2020届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.981 MB，由小赞的店铺上传

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杭四中2019学年第一学期高三数学期中考试试题一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{|0}Myy=，2{|1}Nyyx==−+，则MN=（）A.()0,1B.0,1C.)0,+D.)1,+【答案】B【解析】∵集合2{|1}1Nyyxyy==−+=

，{|0}Myy=，∴0,1MN=，故选B.2.我们把方程分别为：22221xyab−=和22221yxba−=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶点【答案】B【解析】【分析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可

得答案．【详解】解：共轭双曲线22221xyab−=和22221yxba−=的22cab=+，设0a，0b，可得它们的焦点分别为(,0)c，(0,)c，渐近线方程均为byxa=，离心率分别为ca

和cb，它们的顶点分别为(,0)a，(0,)b，故选：B．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质，属于基础题．3.设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】解：若G是a，b的等比中项，则2Gab=．当0abG===时，满足2Gab=，但a，G，b不能构成等比数列，所以“2Gab=”是“G

是a，b的等比中项”的必要而不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键，属于基础题．4.若多项式()210011xxaax+=++()()91091011axax+++++，则9a=（）

A.9B.10C.-9D.-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]nnnxCCxCxaxaCCxCx+=+++=++，()10101ax+=019910101010101010(...)a

CCxCxCx++++，根据已知条件得9x的系数为0，10x的系数为19999910101010101010011aaCaCaaC=−+===故选D.5.设函数1(){0,xDxx=为有理数，为为无理数则下列结论错误的是A.D（x）的值

域为{0,1}B.D（x）是偶函数C.D（x）不是周期函数D.D（x）不是单调函数【答案】C【解析】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C错误6.中国有十二

生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么

不同的选法有()A.50种B.60种C.70种D.90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：

如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030CC=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040CC=，不同的选法共有304070+=种，故选C.

【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．7.设关于x,y的不等式组210,{0,0xyxmym−++−表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.4

,3−−B.1,3−C.2,3−−D.5,3−−【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，即该平面区域和直线22xy−=有交点，而直线,{xmym=−=

的交点(),mm−在直线yx=−上移动，由,{22,yxxy=−−=得交点坐标为22,33−，当23m−即23m−时，才会交点.【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系

和数形结合的思想.8.设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是X0a1P131313若()16DX=，则a＝（）A.12B.13C.14D.15【答案】A【解析】【分析】先求出期望，利用方差公式求解可得结果．【详解】解：1111()013333aEXa+=++=，222111111()()()

(1)333333aaaDXa+++=+−+−2221[(1)(21)(2)]27aaa=++−+−22(1)9aa=−+16=，∴24443aa−+=，即()2210a−=，解得12a=．故选：A．【点睛】本题主要考查方差的求法，

考查计算能力，属于中档题．9.已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（）A.α＞β＞γB

.α＜β＜γC.α＞γ＞βD.β＞α＞γ【答案】D【解析】【分析】取BC中点O，以OA、OB所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量，设出点P的坐标，求出三个角，再比较大小即可．【详解】解

：设直三棱柱ABCABC−的棱长与底面边长为2，如图，取BC中点O，以OA、OB所在直线分别为x、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0)A，(0,1,0)B，(0,1,0)C−，'(0,1,2)B，(3,0,)Pt(02)t，

∴(3,1,)PBt=−−，(3,1,0)AC=−−，(0,2,2)BC=−−，∴coscos,PBAC=PBACPBAC=223131t==++−214t+，coscos,PBBC=PBBCPBBC==2|22|3122tt−+=++21124tt−+，由题意，BBBC

⊥，BBBA⊥，则二面角PBBC−−的平面角为ABC=，则060=，当02t时，由二次函数的单调性知，22((1)1102212)t−−−−．∴1coscos2，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查异面直线

所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比较角的大小，属于中档题．10.已知函数32()fxxaxbxc=+++有两个极值点12,xx，若112()fxxx=，则关于x的方程23(())2()0fxafxb++=的不同实根个数为A

.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象二、填空题：单空题每

题4分，多空题每题6分11.若复数z满足()3i2iz+=−（i为虚数单位），则z=________；||z=________．【答案】(1).11i22z=−(2).22【解析】∵()3i2iz+=−，∴()()()()2325511333

1022iiiiziiii−−−−====−++−，22112222z=+=，故答案为1122i−，22.12.已知()1,13,1xxxfxx−=，若f（x）＝2，则x＝___若f（x）2，则x的取值范围为_____．【答案】(1).

1−(2).(,1)(1,)−−+【解析】【分析】当1x„时，()|1|2fxx=−=，当1x时，()32xfx==，由此能求出x的值；由()2fx，当1x„时，()|1|2fxx=−，当1x时，()32xfx=，由此能求出x的取值范围．【详解】解：1(1)()3(1)xxxfxx

−=„，由()2fx=，当1x„时，()|1|2fxx=−=，解得1x=−或3x=（舍)，当1x时，()32xfx==，解得3log2x=，不合题意，综上：()2fx=时，1x=−；由()2fx，当1x„时，()|1|2fxx=−，解得

1x−或3x（舍)，当1x时，()32xfx=，解得3log2x，∴1x，综上：x的取值范围为(,1)(1,)−−+；故答案为：1−；(,1)(1,)−−+．【点睛】本题主要考查分段函数的函数值和性质等基础知

识，考查运算求解能力，属于基础题．13.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_____，最长棱长为_____．【答案】(1).3(2).14【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，根据体积公式建立关系，可得答案．【详解】

解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD=，2AB=，1BC=，PAx=，//ADBC，PA⊥平面ABCD，ADAB⊥，∴底面的面积1(12)232S=+=，∴几何体的体积1333Vx==，可

得3x=，最长棱长为：22212314PC=++=，故答案为：3；14．【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱锥的体积公式，属于中档题．14.已知椭圆22195xy+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为

圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝_____P点的坐标为_____．【答案】(1).2(2).315,()22−【解析】【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F，连接PF，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得P的坐标，利

用椭圆的定义求解||PF．【详解】解：由题意，该椭圆的长半轴长3a=，短半轴长5b=，半焦距2c=，离心率23e=，设椭圆的右焦点为F，连接PF，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得||2||4PFAO==，设P的坐标为(,)mn，由焦半径公式可得2

343m−=，可得32m=−，代入到椭圆方程得152n=，由||2||4PFAO==得||2342PF=−=，故答案为：2；315,()22−．【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用

三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．15.已知3cos63−=，则54cossin63+−+的值为_____．【答案】0【解析】【分析】由已知利用三角函数

的诱导公式分别求得5cos()6+与4sin()3+的值，则答案可求．【详解】解：∵3cos()63−=，∴5cos()cos[()]66+=−−3cos()63=−−=−，4sin()sin()33+

=−+sin()26=−−−=3cos()63−−=−，∴54cos()sin()63+−+33()033=−−−=，故答案为：0．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．16.在△ABC中，∠ABC为直角，

点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝_____．【答案】6【解析】【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tanACB、tanNCB的值，再利用两角差的正切公式求得tantan()ACBMCB=−，

从而求出BC的值．【详解】解：设BCx=，ACM=，则为锐角，∴3tanACBx=，2tanMCBx=，∴tantan()ACBMCB=−232132661xxxxxxxx−===+++，依题意，若对于给定的ACM，ABC是唯一的确定的，可得6xx=，解得6x=

，即BC的值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．17.已知1a=，向量b满足2baba−=，设a与b的夹角为θ，则cos的最小值为_____．【答案】255【解析】【分析】根据条件可设(1,0),(,)abx

y==，从而根据2||baba−=即可得出2224(1)4xyx−+=，且得出0x，从而得出223214yxx=−+−，从而得出2cos1214xxx=+−21121()4xx=−++，从而配方即可求出cos的最小值．【详解】解：||1a=，∴设(1,0),(,)abxy==，∴(1,

)baxy−=−，由2||baba−=得，222(1)xyx−+=，则0x，∴2224(1)4xyx−+=，∴223214yxx=−+−，∴22cos||||abxabxy==+223214xxxx=−+−21214xxx=+−21121()4xx=−++2115(1

)4x=−−+，∴当11x=即1x=时cos取最小值255；故答案为：255．【点睛】本题主要考查了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：5小题，共74分18

.已知函数()2633,(0)2xfxcossinx=+−，该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求的值；（2）若()0835fx=，02233x−，，求0(1)fx+的值．【答案】（1）4=；（2

）765．【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由ABC为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则的值可求；（2）利用（1）的结论，结合083()5fx=，求得0sin()43x+与03cos()435x+=，

再由00(1)23sin()443fxx+=++，展开两角和的正弦即可求解．【详解】解：（1）由()26332xfxcossinx=+−得：()3cos3sinfxxx=+23sin()3x=+，又正三角形ABC的高为23，从而BC＝

4，∴函数()fx的周期2428T===，4=；（2）由083()5fx=得08323sin435x+=，整理得04sin435x+=，∵022,33x−，∴0,4362x

+，∴03cos435x+=，∴00(1)23sin()443fxx+=++023sin()cos434x=+0cos()sin434x++4232235252=+765=．【点睛】本

题主要考查根据三角函数sin()yAx=+的图象求解析式，考查两角和的正弦公式，解答此体的关键是拆角和配角，属于中档题．19.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发

球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（

1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.【答案】（1）0.5；（2）0.1【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2PX=所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件

的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4PX=所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2PX=所包含的事件为“甲连赢

两球或乙连赢两球”所以()20.50.40.50.60.5PX==??(2)由题意可知，()4PX=包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1PX==创创创=【点睛

】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2PX=以及()4PX=所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．20.已知数列{an}中，相邻两项an，an+1是关于x的方程：x2+3nx+bn294n+=0（n∈N*

）的两实根，且a1＝1．（1）若Sn为数列{an}的前n项和，求S100；（2）求数列{an}和{bn}的通项公式．【答案】（1）S100＝﹣7500；（2）532123122nnnkannk−=−=−−=，921412

nnkbnk−=−=−=【解析】【分析】（1）由韦达定理可得所以13nnaan++=−，即把{}na相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，100S包含新数列的前50项，用等差数列的前n项和公式即可；（2）由13nnaan

++=−、123(1)nnaan+++=−+两式相减得23nnaa+−=−，即隔项成等差数列，由1a可得奇数项的通项，由2a可得偶数项的通项，由na的通项可得nb的通项公式．【详解】解：（1）因为an、an+1是关于229304nxnxbn+++=的两实根，所以an+an+

1＝﹣3n，a2n﹣1+a2n＝﹣3（2n﹣1）＝3﹣6n，()100503365075002S−+−==−，所以S100＝﹣7500．（2）13nnaan++=−，123(1)nnaan+++=−+，两式

相减，23nnaa+−=−，∴2113(1)43nann−=−−=−，因为2134aa=−−=−，所以243(1)13nann=−−−=−−，因为2194nnnbnaa++=，所以2194nnbnaan+=−，2212129(21)4nnnaaan−−=−−299(43)(13)(21)

44nnn=−−−−−=−，222219(2)4nnnbaan+=−=2(13)[43(1)]91nnn−−−+−=−，所以532123122nnnkannk−=−=−−=，921412nnkbnk−=−=−=．【点睛】本题主要考

查等差数列的通项公式与前n项和及其性质，本题的关键是分奇偶做，属于中档题．21.如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G

在x轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当xA∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）p＝2，准线方程为x＝﹣1；（2）见解析；（3）最大值为2．【解析】【分析】（1）求

得抛物线的焦点，由题意可得2p=，可得抛物线方程和准线方程；（2）设过F的直线方程为(1)ykx=−，0k，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，(,)Cmn，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，

化简可得证明，检验直线AB的斜率不存在，也成立；（3）求得k的范围和C的坐标，运用点到直线的距离公式可得C到直线AB的距离，由弦长公式可得||AB，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积S的范围，检验直线AB的斜率不存在时，可得AB

C的面积，进而得到所求最大值．【详解】解：（1）点(1,0)F为抛物线22(0)ypxp=的焦点，即12p=，即2p=，抛物线的方程为24yx=，准线方程为1x=−；（2）证明：设过F的直线方程为(1)

ykx=−，0k，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，(,)Cmn，即有2114yx=，2224yx=，24nm=，联立直线(1)ykx=−和抛物线24yx=可得2440kyyk−−=，可得124yyk+=，124yy=−，则12121212124()44()OABCynynyykk

xmxynyyny−+++=+=+=−++，由ABC的重心G在x轴上，可得1203nyy++=，即120nyy++=，即有0OABCkk+=，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得0OABCkk+=．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）由（

2）可得21212()116yyxx==，12122422yyxxkk++=+=+，可得1211452(2,)2xxk+=+，解得2(8,)k+，由抛物线的定义可得1224||24ABxxk=++=+，由120nyy++=，即40nk+=，即4nk=−，2244nmk==，C的

坐标为24(k，4)k−，C到直线kxyk0−−=的距离为22448||||11kkkkkdkk+−−==++，可得ABC的面积为222228||11418||(4)2||221kkkkSdABkkkk−+−==+=+，由28k，可得221821(1)Skk=+−，设21321(1)4ttk

=+，则22(98)Stt=−，由218480St=−，则S在(321,4)递减，可得2S；当直线AB的斜率不存在时，设(1,2)A，(1,2)B−，可得(0,0)C，ABC的面积为14122=，可得

ABC的面积的最大值为2．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系及其应用，考查化简运算能力，属于中档题．22.已知实数a≠0，设函数()112fxalnxx=++．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区

间；（2）对任意21xe+，均有()2xfxa，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）单调递减区间为（0，152+），单调递增区间为（152+，+∞）；（2）02112

eeae++−【解析】【分析】（1）将1a=−代入，求导后令()0fx得减区间，令()0fx得增区间；（2）先由(1)0g„，21()0ge„得21102eeae++−„，再证当21102eeae++−„时，()0gx„恒

成立即可．【详解】解：（1）由题意，当1a=−时，1()12fxlnxx=−++，定义域为{|0}xx，∴11()221fxxx=−++121xxxx−+=+，①令()0fx，即1xx+，解得1502

x+；②令()0fx，即1xx+，解得152x+．∴函数()fx的单调递减区间为15(0,)2+，单调递增区间为15(,)2++；（2）令()122axgxlnxxa=++−，对任意的21[,)xe+，()0gx„恒成立，∴(1)0g„，21()0ge„得21102eeae++

−„，下证当21102eeae++−„时，()0gx„恒成立，先证211124eee++−，只需证22132ee+−，即证25120ee−，即证(512)0ee−，显然成立，∴211124eee++−，1

1()2214agxxxax=+−+22212(1)441xxxaxaaaxx+++−=+2212[1(1)()]4441xxxaxxaaaaxx++−+−=+，当21102eeae++−„时，24114

104xxae−−−，1104xxxxa+−−+，∴()0gx当21[,)xe+时恒成立，∴函数()ygx=在21[,)e+上单调递减，∴当21102eeae++−„时，()0gx„恒成立．【点睛】本题考查导数的综合运用，主要考查利用导数研究函数的单调性及

不等式的恒成立问题，掌握解决导数问题的常见方法是解题的关键，属于较难题目．