【文档说明】（全国1卷）2021届高三第二次模拟考试卷 理科数学（二）含答案.doc，共(19)页，1.092 MB，由小赞的店铺上传

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2021届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非

选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．1．已知全集，集合11Axx=−N，1,2B=−，则()UAB=ð（）A．2−B．1−C．1,3−D．1,2,3−2．已知复数1z与2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13ii42z=−−，则2z=（）A．2i−B．2i+C．2i−+D．2i−−3．执行如图所示

的程序框图，若输出的i的值为13，则判断框内可以填（）A．1?SB．2.5?SC．3?SD．4?S4．已知函数()11fxxax=−++，则“1a=−”是“()fx为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要

而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()sin0,0,πfxAxbA=++的部分图象如图所示．给出下列结论：①2A=，1=，1b=−；②2A==，1b=−；③点2π,13−为()fx图象的一个对称中心；④()fx在23π17π,1

212−−上单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④6．在ABC△中，1AB=，2AC=，2BDDC=，3ADAC=，则cosBAC=（）A．12B．14C．32D．567．已知一个

三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．3π2B．82π3C．83π3D．8π8．已知数列na的前n项和为nS，2nnSna=，11a=，则nS=（）此卷只装订不密封班级姓名准考证

号考场号座位号A．21nn+B．()2221nn+C．221nn−D．221nn−9．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位

于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是（）A．116B．14C．38D．

1810．已知函数()yfx=满足()()111fxfx+=−和()2(1)fxfx−=+，且当13,22x时，()22fxx=+，则()2018f=（）A．0B．2C．4D．511．已知双曲线2222:

1(0,0)xyEabab−=的焦点在1F，过点1F的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点1F位于点M与点N之间)，且13MNFN=，又过点1F作1FPOM⊥于P(点O为坐标原点)，且||||ONOP=，则双曲线E的离心率e=（）A．5B．3C．233D．6212．已

知函数()xfxxe=，若()()()21gxfxafx=−+恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．()2,+B．1,ee++C．12,ee+D．1,e+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．7

1xx−的展开式中1x−的系数是______．（用数字作答）14．已知函数()xfxe=，过点(1,0)作曲线()yfx=的切线l，则直线l与曲线()yfx=及y轴围成的图形的面积为___________．15．若

实数x，y满足不等式组20202xyxyx+−−+，则42xyz=的最大值为________．16．已知圆22:4Oxy+=，A，B是圆上两点，点()1,2P且PAPB⊥，则AB最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）数列的na前n项和为nS，点()()*,nnSnN在函数21122yxx=+的图象上．（1）求数列na的通项公式；（2）令11nnnbaa+=+，求数列nb的前n项和nT．18．（12分）甲、乙两组各有3位病人，且6位病人症状相

同，为检验A、B两种药物的药效，甲组服用A种药物，乙组服用B种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为0.8，乙组三人康复的概率分别为0.9、0.75、0.75．（1）设甲组中康复人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）求甲

组中康复人数比乙组中康复人数多2人的概率．19．（12分）在如图所示的圆柱12OO中，AB为圆1O的直径，C，D是AB的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱12OO的母线．（1）求证：1FO∥平面ADE；（2）若2BCFC==，求二面角BAFC−−的

余弦值．20．（12分）已知动圆P与x轴相切且与圆()2224xy+−=相外切，圆心P在x轴的上方，P点的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）已知()4,2E，过点(0,4)作直线交曲线C于,AB两点，分别以,AB为切点作曲线C的切线相交于D，当ABE△的面积1S与ABD△的面积2S之比12S

S取最大值时，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数()()263lnfxaxaxx=−++．（1）当0a时，讨论函数()fx的单调性；（2）当92a−时，关于x的不等式()0fxaxb+−有解

，求b的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知某曲线C的参数方程为2cossinxy==（为参数）．（1）若(),Pxy是曲线C上的任意一点，求2xy+的最大值；（2）已知过C的右焦点

F，且倾斜角为02π的直线l与C交于,DE两点，设线段DE的中点为M，当31116FMFEFD+=时，求直线l的普通方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|||2|()fxxkxk=−++R，()|2|()gxxmm=+Z．

（1）若关于x的不等式()1gx的整数解有且仅有一个值4−，当1k=时，求不等式()fxm的解集；（2）已知2()23hxxx=−+，若1xR，2(0,)x+，使得12()()fxhx成立，

求实数k的取值范围．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由题可得0,1,2A=，则1,3UA=−ð，因此()1UAB=−

ð，故选B．2．【答案】C【解析】()()()143i52i2i2i2i2iz−+===+−+−，又复数1z与2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以22iz=−+，故选C．3．【答案】A【解析】执行给定的程序框图，可得：第1次循环：2018,3Si==；第2次循环：2018,53Si==；第3

次循环：2018,715Si==；第4次循环：2018,9105Si==；第5次循环：2018,11935Si==；第6次循环：20181,1310285Si==，要使得输出的结果为13，结合选项，判断框内可以填1?S，故选A．4．

【答案】C【解析】若函数()fx为奇函数，且函数()fx的定义域为R，()()11111111fxfxxaxxaxxaxxax+−=−+++−−+−+=−+++++−()()1110axx=+−++=，10a+=，解得1a=−，所以，“1a=−”是“()fx为奇函数”的充分必要条件，

故选C．5．【答案】D【解析】由图象可知，()1322A−−==，()1312b+−==−，再由ππ12π3124−=，得2=，故①不正确，②正确；由于π,13−为()fx图象的一个对称中心，又()fx的最小正周期为π，故其全部的对称中心为()ππ

,132kk+−Z，当1k=时，对称中心为5π,16−，故③错误；由于π7π,1212为()fx的单调递减区间，()fx的最小正周期为π，故()fx的单调递减区间为()π7ππ,π1212kkk++

Z，当2k=−时，即为23π17π,1212−−，故④正确，故选D．6．【答案】A【解析】因为2212()3333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，所以12121812cos3333333ADACABACACABACACBAC

=+=+=+=，解得1cos2BAC=，故选A．7．【答案】B【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为ABCD−，且2DB=，1CD=，按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且3AE=，因为长方体的对角线长为22241322

ADDBCDAE=++=++=，则外接球半径为2，且体积为()3482π2π33=，故选B．8．【答案】A【解析】当2n时，2,nnSna=，则211(1)nnSna++=+，且2222Sa=，即221

4aa+=，所以213a=．两式作差得2211(1)nnnnSSnana++−=+−，即2211(1)nnnanana++=+−，即()12nnnana++=，所以12nnanan+=+，即()1121nnannan−−=+．则()1232212321

2322112()11411nnnnnnnaaaannnaaaaaaannnnnnn−−−−−−−−====−+−++，所以1111112)2(1)112(12312nnSnnnn−=−=++=−+−+++，故选A．9．【答案】C【解析】当小球经过第2层

时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为12，所以，()()221122PP==．当小球经过第4层时，共碰到3次钉子，要使得小球经过第2号通道，必须满足1次向右、2次向左滚下，所以，()3143132C28P==，同理可得()4338P=

．要使得小球经过3号位置（即第5层3号通道），可由第4层2号通道向右滚下、也可以由第4层3号通道向左滚下，因此，()()()544113323228PPP=+=，故选C．10．【答案】C【解析】函数()yfx=()yfx=满足1(1)(1)fxfx+=−和(2)(1)fxfx−=

+，可函数是以4为周期的周期函数，且关于32x=对称，又由当11,23x时，()22fxx=+，所以(2018)(50442)(2)(1)2124ffff=+===+=，故选C．11．【答案】C【解析】由题意，可得如下示意图：其中，|

|||ONOP=，知11OPFONF△△，又1FPOM⊥，13MNFN=，即1FNON⊥且11132FMMNFNFP===，∴1MPFRt△中，有1111sin2FPPMFFM==，得1π6PMF=，

∴在MNORt△中，π3MON=，若byxa=与x轴夹角为，即2π3=，∴3tan3ba==，由222+=abc，即可得233cea==，故选C．12．【答案】B【解析】函数(),0,0xxxxexfxxexex==−，0x，()xfxxe=

，()()10xfxxe=+，因此0x时，函数()fx单调递增；0x，()xfxxe=−，()()1xfxxe=−+，可得函数()fx在(),1−−单调递增；在()1,0−单调递减，可得：()fx在1x=−时，函数()fx取得极大值，()11fe−=．画出图象：可知：()0fx．

令()()210fxafx−+=，①240Δa=−时，函数()gx无零点；②0Δ=时，解得2a=或2−，2a=时，解得()1fx=，此时函数()gx只有一个零点，舍去，2a=−，由()0fx，可知：此时函数()gx无零点，舍去；③240Δa=−，解得2a或2a

−，解得()242aafx−−=，()242aafx+−=．2a−时，2402aa−−，2402aa+−．此时函数()gx无零点，舍去；因此2a，可得22440122aaaa−−+−．由()()()21gxfxafx=−+恰有四个不同的零点，∴2a，24102aae−

−，2412aa+−，解得1aee+，则a取值范围为1,ee++，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】35−【解析】由题设二项式知：73721771C()(1)CrrrrrrrTxxx−−+=−=−，∴1x−项3r=

，即331147(1)C35Txx−−=−=−，∴系数为35−，故答案为35−．14．【答案】21e−【解析】由()xfxe=，过点(1,0)作曲线()yfx=的切线l，设切点为()00,xxe，则0xke=，所以切线l的方程为()000−=−xxyeexx，由切线过点(1,0)

，则()0001xxeex−=−，解得02x=，所以切线l的方程为22yexe=−，直线l与曲线()yfx=及y轴围成的图形的面积为()()2222222021d102xxeexexeexexe−−=−−=−，故答案为21e−．15．【答案】25

6【解析】作出可行域，如图ABC△内部（含边界），2422xyxyz+==，令2=+txy，作直线:20lxy+=，在直线2=+txy中t为直线的纵截距，直线向上平移时t增大，所以平行直线l，当直线l过点(2,4)时，max2248t=+=，所以8max

2256z==，故答案为256．16．【答案】53+【解析】如图所示，设(),Rxy是线段AB的中点，则ORAB⊥，因为PAPB⊥，于是1||=||=||2PRABRB，在ORBRt△中，2OB=，22ORxy=+，()()2212RBRPxy==−+−，由勾股定理

得()()22222212xyxy=++−+−，整理得()2213124xy−+−=，故(),Rxy的轨迹是以1,12C为圆心，半径为32r=的圆，故min135314222OROCr=−=+−=−，又由圆的弦长公式可得()22maxmaxmin53

222422ABBROBOR==−=−−821553=+=+，故答案为53+．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）nan=；（2）

11nTn=+−．【解析】（1）由题意知：点(),nnS(*nN)均在二次函数21122yxx=+的图象上，故21122nSnn=+，()()21111(2221)nSnnn−+=−−，，当2n时，()()2211111122221nnnaSSnnnnn−=−+−−=

=−+，当1n=时，11a=，也适合上式．所以nan=．（2）11111nnnbnnaann+===+−+++，()()()()122132431nnTbbbnn=+++=−+−+−+++−11n=+−．18．【答案】（1）分布列见解析，

期望为()2.4EX=；（2）631250．【解析】（1）由题意可知，()~3,0.8XB，所以，()300.20.008PX===，()1231C0.80.20.096PX===，()2232C0.80.20.384PX===，()3

30.80.512PX===，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P0.0080.0960.3840.512因此，()30.82.4EX==．（2）设乙组中康复人数为Y，记事件:A甲组中康复人数比乙组中

康复人数多2人，()21110104160PY===，()212911311511044410160PYC==+=，则()()()()()48164156320311251601251601250PAPXP

YPXPY===+===+=．19．【答案】（1）证明见解析；（2）217．【解析】（1）连接1OC，1OD，因为C，D是半圆AB的两个三等分点，所以11160AODDOCCOB===，又1111OAOBOCOD===，所以1AOD△，1COD△

，1BOC△均为等边三角形，所以11OAADDCOC===，所以四边形1ADCO是平行四边形，所以1COAD∥，又因为11OAADDCOC===，1CO平面ADE，AD平面ADE，所以1CO∥平面ADE．因为EA，FC都是圆柱12OO的母线，所以EAFC∥，又

因为FC平面ADE，EA平面ADE，所以FC∥平面ADE．又1,COFC平面1FCO，1COFCC=，所以平面1FCO∥平面ADE，又1FO平面1FCO，所以1FO∥平面ADE．（2）连接AC，因为FC是圆柱12OO的母线

，所以FC⊥圆柱12OO的底面，因为AB为圆1O的直径，所以90ACB=，所以直线CA，CB，CF两两垂直，以C为原点建立空间直角坐标系如图：因为2BCFC==，所以()0,0,0C，()23,0,0A，()0,2,0B，()0,0,2F，()23,2,0AB=−，()23,0,2AF

=−，由题知平面ACF的一个法向量为()0,2,0CB=uur，设平面ABF的一个法向量为(),,xyz=n，则23202320ABxyAFxz=−+==−+=nn，令1x=，3y=，3z=，∴()1,3,3=n．所以2321cos,727CBCBCB===nnn．由图可知，二面

角BAFC−−的平面角为锐角，所以二面角BAFC−−的余弦值为217．20．【答案】（1）()280xyx=；（2）40xy−+=．【解析】（1）由题意知，P到点(0,2)的距离等于它到直线2y=−的距离，由抛物线的定义知，圆

心P的轨迹是以(0,2)为焦点，2y=−为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C的方程为()280xyx=．（2）由题意知，()4,2E在曲线C上，直线AB的斜率存在，设AB方程为4ykx=+，因为直线AB不经过E点，所以12k−．由248ykxxy=+=，可得28320x

kx−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则128xxk+=，1232xx=−，以A为切点的切线方程为()1114xyyxx−=−，即21148xxyx=−，同理以B为切点的切线为22248

xxyx=−，由2112224848xxyxxxyx=−=−，故两式做差整理得2212124488xxxxx−=−，所以1242xxxk+==，两式求和整理得()22212121121222284848xxxxxxxx

xxxxy+−=−=−++=+，故4y=，所以交点()4,4Dk−，设E到AB的距离为1d，D到AB的距离为2d，则21122222424211444241kkSdkSdkkk−+++===++++，设()210ktt+=，则12292SStt=+−，当

3t=，即1k=时，12SS取最大值，直线AB的方程为40xy−+=．21．【答案】（1）在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减；（2）53ln32−−．【解析】（1）函数()fx的定义域为()0,+，232(6)3(21)(3)()2(

6)axaxxaxfxaxaxxx−++−−=−++==．0a，30ax−．当10,2x时，()0fx；当1,2x+时，()0fx，函数()fx在10,2上单调递增，在1,2+上单调递

减．（2）设2()()63lngxfxaxbaxxxb=+−=−+−，则23263()26axxgxaxxx−+=−+=．当0a时，22630axx−+=有两个根12,xx，不妨令12xx，又12302xxa=，10x，20x，由题意舍去1x．

当()20,xx时，()0gx；当()2,xx+时，()0gx，()gx在()20,x上单调递增，在()2,x+上单调递减，存在0x使()0fxaxb+−成立，()2max2222()63ln0gxgxaxxxb==−+−，即222263lnaxxxb−+．又22226

30axx−+=，222632xax−=，92a−，22263922xx−−，2103x，222222222222263363ln63ln33ln22xbaxxxxxxxxx−−+=−+=−+−．令31()33ln023hxxxx=−+−，则3

3()0xhxx−=．函数()hx在10,3上单调递增，max15()3ln332hxh==−−，即b得最大值为53ln32−−．22．【答案】（1）22；（2）52150xy−−=．【解析】（1）依题意得2cosx=，siny=

，22cos2sin224πsinxy+=+=+，当2ππ,42πkk+=+Z，即4π2πk=+时，kZ，sin14π+=，2xy+的最大值为22．（2）2cosx=，siny=，由于22co

ssin1+=，整理得2214xy+=．由直线l的倾斜角为02π，依题意易知：()3,0F，可设直线l的参数方程为3cossinxtyt=+=（t为参数），代2214xy+=，得到()2213sin23cos10tt++−=，易知()2212cos413s

in160Δ=++=，设点D和点E对应的参数为1t和2t，所以12223cos13sintt−+=+，1221013sintt=−+，则()212121224413sintttttt−=+

−=+，由参数的几何意义：121212||11114||||||||||ttEFFDtttt−+=+==，311316||||4EFFD+=，0π2，12223cos3cos3213sin13sin4ttFM+−====++，所以2cos3=，

所以直线l的斜率为52，直线l的普通方程为52150xy−−=．23．【答案】（1）97,22−；（2）(,4][0,)−−+．【解析】（1）不等式()1gx，即|2|1xm+，所以1122mmx−−−+，由1154322mm−

−−+−−−，解得79m．因为mZ，所以8m=，当1k=时，()|1||2|21,23,2121,1xxxxfxxxx−−=−−=−+++，不等式()8fx等价于2218xx−−−或2138x−或1218xx+，即92

2x−−或21x−或712x，故9722x−，故不等式()8fx的解集为97,22−．（2）因为()|||2||()(2)||2|fxxkxxkxk=−++−−+=+，由22

()23(1)2,(0,)hxxxxx=−+=−++，可得min()(1)2hxh==，又由1xR，2(0,)x+，使得12()()fxhx成立，则|2|2k+，解得4k−或0k．故实数k的取值范围为(,4][0,)−−+．