【文档说明】甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.582 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学(理科)一､选择题1.i是虚数单位，()25zii−=，z=（）A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】先根据复数除法运算，求得z的表达式，再求z的模.【详解】依题意()()()52512222iiiziiii+===−+−−+，所以145z=+=，故选D.【点睛】本小题主要考

查复数除法运算，考查复数模的运算，属于基础题.2.“()1,3b−”是“对于任意实数k，直线l：ykxb=+与圆C：()2214xy+−=恒有公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要

条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出圆与y轴的交点坐标及直线的定点，数形结合可求得b的范围，即可得出结论.【详解】圆C与y轴的交点坐标分别为()()010,3−,,，直线l：0kxyb−+=恒经过点()0b,，从而“对于任意实数k

，直线l：ykxb=+与圆C恒有公共点”等价于“13b−”，从而“()1,3b−”是“13b−”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，确定直线的定点是解题的关键，属于基础题．3.已知1a=，2b=，且()aab⊥−，则向量a

在b方向上的投影为（）A.22−B.12C.22D.12−【答案】C【解析】【分析】由向量垂直结合数量积的定义可求出2cos2=，进而可求出向量a在b方向上的投影.【详解】设a与b的夹角为，∵()aab⊥−，∴22()cos0aabaabaab−=−=−=，∴2cos2=，∴向量a在

b方向上的投影为2cos2a=，故选：C.【点睛】本题考查了由向量垂直求向量的夹角，考查了数量积的定义，考查了向量投影求解，属于基础题.4.函数2cosyxx=+在π02，上取最大值时，x的值为（）A.0B.π6C.π3D.π2

【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数2cosyxx=+的导数为12sinyx=−，令12sin0yx−==得1sin2x=，又因为0,2x，所以6x=，当0,6x时，0y，当,62x时，0

y，所以函数2cosyxx=+在0,6x上单调递增，在,62x上单调递减，所以使得函数2cosyxx=+取得最大值的x的值为6，故选B.考点：利用导数研究函数在闭

区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到

所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.5.已知实数x，y满足约束条件1122

0220xyxyxy−−−+−−，则3x﹣y的取值范围是（）A.742−，B.542−，C.[﹣2，2]D.[﹣2，3]【答案】A【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】由约束条件作出可行

域如图：令z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，220220xyxy−+=−−=⇒22xy==，A（2，2）；1220xxy=−−+=⇒112xy=−=，D（﹣1，12）.当直线y＝3x﹣z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4，当直线y＝3

x﹣z过11,2D−时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为72−.∴3x﹣y的取值范围是[72−，4].故选：A.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6.学校组织的一场围棋比赛中，高二队共有7名选手参赛，赛前须排定出场顺序，要求第一个出场选

手必须是甲或乙，且丙丁二人出场顺序不能相邻，不同的出场顺序共（）种.A.960B.1080C.720D.480【答案】A【解析】【分析】先求出第一个出场选手必须是甲或乙的方法，再求出除甲（或乙）、丙、丁

外的四人排列的方法，然后用插空法求出丙丁二人出场顺序不能相邻的方法，即可求出.【详解】由题意，第一个出场选手必须是甲或乙，有12C种方法，除甲（或乙）、丙、丁外的四人排列有44A种方法，丙丁二人出场顺序

不能相邻，用插空法有25A种方法，则不同的出场顺序共142245960CAA=种方法.故选:A.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，属于基础题.7.已知函数()21xfx=−，则函数()1yfx=−的图像关于（）A.直线1x=−对称B.

()1,0−中心对称C.直线1x=对称D.()1,0中心对称【答案】C【解析】【分析】通过判断()yfx=是偶函数，图象关于y轴对称，进而判断()1yfx=−的图象，关于1x=对称.【详解】可知()2

1xfx=−的定义域为R，对于()yfx=，其定义域为R，且()()fxfx−=，()yfx=是偶函数，图象关于y轴对称，将()yfx=的图象向右平移1个单位得到()1yfx=−的图象，关于1x=对称.

故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的对称性的应用，属于基础题.8.《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该

马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（）里.A950B.1055C.1164D.2257532【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】由题意，设该匹马首日路程为1a，公比12q=，7700S=，71112700112a−

=−，解得1350128127a=，所以21141122257513212aS−==−.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.9.双曲线C：()2222

100xyabab−=＞，＞的两条渐近线与圆221205xyx+−+=相切，则双曲线C的离心率为（）A.52B.2C.5D.172【答案】C【解析】【分析】取双曲线的一条渐近线方程为ybxa=，圆心坐标为（1，0），半径为255，计算22255bab=+，化简得到答案.

【详解】取双曲线C：()2222100xyabab−=＞，＞的一条渐近线方程为ybxa=，即bx﹣ay＝0.化圆221205xyx+−+=为224(1)5xy−+=，则圆心坐标为（1，0），半径为255.由题意可得：22255bab=+，即22245bab=+，∴22245cac−=，则c2＝5

a2，得e5ca==.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.用数学归纳法证明()*1111,12321nnnNn++++−的第二步从nk=到1nk=+成立时，左边增加的项数是（）A.21

k−B.2kC.12k−D.21k+【答案】B【解析】【分析】写出nk=时左边的式子以及1nk=+时左边的式子，两式作比较即可求解.【详解】当nk=时，左端11112321k=++++−，当1nk=+时，左端11111111232122121kkkk+=++++++++−+−，左端增加的项为1

11122121kkk+++++−，左端增加的项数为()121212212kkkk+−−+=−=.故选：B【点睛】本题考查了数学归纳法，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11.已知三棱柱111ABCABC−内接于一个半径为3的球，四边形11AACC与11BBCC均为正方形

，,MN分别是11AB，11AC的中点，11112CMAB=，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）A.310B.3010C.710D.7010【答案】B【解析】【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值

．【详解】直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN∥12B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵,MN分别

是11AB，11AC的中点，11112CMAB=，可得A1C1⊥B1C1，四边形11AACC与11BBCC均为正方形，可得BC=CA=CC1，∵三棱柱111ABCABC−内接于一个半径为3的球，设BC=CA=CC1=a,三棱柱111ABCABC−外接

球可看作棱长为a的正方体外接球，∴22223aaa++=，解得a=2，∴BC=CA=CC1=2,CO=1,AO=5,AN=5,()222211226NOMBBMBB==+=+=，在△ANO中,由余弦定理可得：222630210256ANNOAOcosANOANNO+

−===,故选：B.【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题.12.已知()fx是定义在区间(0,)+内的单调函数，且对任意(0,)x+，都有[()ln]1ffxxe−=+，设'()

fx为()fx的导函数，，则函数'()()()gxfxfx=−的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，求出f（x）＝lnx+e，从而

求出g（x）的解析式，根据函数单调性求出函数的零点个数即可．【详解】对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，即l

nt+t＝e+1，解得：t＝e，则f（x）＝lnx+e，f′（x）＝1x＞0，故g（x）＝lnx+e﹣1x，则g′（x）＝1x+21x＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，而g（1）＝e﹣1＞0，g（1e）＝﹣1＜0，存

在x0∈（1e，1），使得g（x0）＝0，故函数g（x）有且只有1个零点，故选B．【点睛】本题考查导数的运算和零点存在性定理的应用，关键是通过换元求出f（x）解析式，属于中档题．二､填空题13.021214edxxdxx−+−=______________.【答案】21+【解析

】【分析】根据1(ln)xx=以及定积分的几何意义可得答案.【详解】11edxx=ln1exlnln1101e=−=−=，因为2224xdx−−表示的是圆224xy+=在x轴及其上方的面积，所以2224xdx−−21222==，所以11edxx2224xdx−+−＝12+.故

答案为：21+.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.14.4个不同的小球全部放入两个编号为1､2的盒子中，要求每个盒子中放入的小球数量不小于该盒子的编号，共有____________种方法.【答案】10【解析】【分析】由题意可分两类，（1）1号盒

子放1个，2号盒子放3个；（2）1号盒子放2个，2号盒子放2个，计算出即可.【详解】由题意可分两类，（1）1号盒子放1个，2号盒子放3个，则有13434CC=种放法，（2）1号盒子放2个，2号盒子放2个，则有22426CC=种放法，

所以共有10种放法.故答案为：10.【点睛】本题考查简单的组合问题，属于基础题.15.已知22nxx−的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x项的系数是_________.【答案】1792【

解析】【分析】根据题意可得8n=，再利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，展开式共有9项，8n=，通项公式()()()854822188221rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−

令5412r−=，解得2r=，所以展开式中x项的系数是()()()82268821211792rrrCC−−=−=.故答案为：1792【点睛】本题考查了二项式系数的最大值、利用通项公式求项的系数，

考查了基本运算求解能力，属于基础题.16.设抛物线()2:20Cypxp=的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BEl⊥，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则AF=______________.【答案】1716【解析】【分析】根据抛物线的性质可得2p

=，求出抛物线的标准方程，设,AB的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率以及方程，代入抛物线求出A的坐标，再根据焦半径公式即可求解.【详解】由抛

物线的性质焦点F到其准线l的距离为2，可得2p=.所以抛物线的方程为24yx=，所以可得()1,0F，准线方程为1x=−，设()11,Axy，()22,Bxy，由题意可得()21,Ey−，可得2411EFyk==−−，所以28y=−，将28y=−代入抛物线方

程，可得2644x=，解得216x=，即()16,8B−，所以8816115BFk−==−−，所以直线AB的方程为：()8115yx=−−，与抛物线方程联立()248115yxyx==−−，整理可得216257160xx−+=，2257416160=−所以1

21=xx，所以1116x=，所以117116AFx=+=.故答案为：1716【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦半径公式，考查了基本运算求解能力，属于中档题.三､解答题17.已知等差数列na的前项n和为nS且满足424S=，1114

3S=.（1）求数列na的通项公式；（2）设113nnnba−=，求数列nb的前项和nT.【答案】（1）21nan=+；（2）1263nnnT−+=−【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式以及通项公式即可求解.（2）利用错位

相减法即可求解.【详解】（1）na为等差数列，424S=，11143S=，411114342421110111432dSadSa=+==+=()1121213ndaandna==+−=+=（2）()11112

133nnnnban−−==+，123nnTbbbb=++++即()011113521333nnTn−=+++，①将①两边同时乘以13，可得()12111135213333nnTn=+++，②①−②可得()021211111322221333333nnnTn−=+++−

+()1111331243221413313nnnnn−−+=+−+=−−，所以1263nnnT−+=−【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式以及通项公式、错位相减法，考查了基本运算求解能力，属于中档题.18.ABC内角A，B

，C的对边分别是a，b，c，已知54bc=，2BC=.（1）求cosB；（2）若5c=，求ABC的面积.【答案】（1）3cos5B=；（1）22ABCS=【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得sin2

5cos2sin25BbCCc===，再由coscos2BC=，利用二倍角公式即可求解.（2）利用同角三角函数的基本关系可得24sin1cos5BB=−=，再由余弦定理可得11a=，根据三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为2BC=，则s

insin22sincosBCCC==，又54bc=，所以sin25cos2sin25BbCCc===，所以283coscos22cos1155BCC==−=−=（2）5c=，54bc=，45b=，又24sin1cos5BB=−=由余弦定理可

得：2222cosbacacB=+−，可得238025255aa=+−，整理可得26550aa−−=，解得11a=或5a=−（舍去），所以114sin11522225ABCSacB===.【点睛】本题考查了正

弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.19.某工厂生产的10件产品中，有6件为一等品，4件为二等品.（1）随机选取2件产品，至少有1件二等品的概率是多少？（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列.【答案】（1）23；（2）答案

见详解.【解析】【分析】（1）根据事件包含的情况，利用组合式以及互斥事件的概率计算公式即可求解.（2）由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列即可.【详解】（1）由题意，设至少有1件二等品为事件A，则()11246421023C

CCpAC+==.（2）由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3，()03643101030CCpxC===，()12643103110CCpxC===，()2164310122CCpxC===，()306431013

6CCpxC===，X的分布列为：p0123X1303101216【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，解题时要认真审题，仔细解法，注意概率知识的灵活应用，属于基础题.20.如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面AB

CD，四边形ABCD为菱形，60DAB=，2EAEDABEF===，//EFAB，M为BC中点.（1）求证：//FM平面BDE；（2）求平面BDE与平面BCF所成二面角(不大于90°)的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）35【

解析】【分析】（1）取CD的中点N，连接,MNFN，利用面面平行的判定定理证明平面//FNM平面BDE，再利用面面平行的性质定理即可证明.（2）取AD的中点O，连接,EOBO，以O为原点，,,OAOBOE为,,xyz轴，求

出平面BDE的一个法向量以及平面BCF的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）证明：取CD的中点N，连接,MNFN，因为N，M分别为CD、BC中点，所以//MNBD，又BD平面BDE，且MN

平面BDE，所以//MN平面BDE，因为//EFAB，22ABEFDN==，////ABEFDN所以四边形EFND为平行四边形，又因为FN平面BDE，且FN平面BDE，所以//FN平面BDE，又FNMNN=，所以平面//FN

M平面BDE，因为FM平面FNM，所以//FM平面BDE；（2）取AD的中点O，连接,EOBO，因为EAED=，所以⊥EOAD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EOBO⊥，因为ADAB=，60DAB=，，所以ADB△为等边三角形，

因为O为AD的中点，所以ADBO⊥，因为,,EOBOAO两两垂直，设4AB=，以O为原点，,,OAOBOE为,,xyz轴，如图：建立空间直角坐标系Oxyz−，()0,23,0B，()0,0,23E，()2,0,0D−，()4,23,0C−，()1,3,23F−，则()2,23

,0BD=−−，()0,23,23BE=−，()4,0,0BC=−，()1,43,23BF=−−，设平面BDE的法向量为()111,,nxyz=，则00nBDnBE==，即1111223023230xyyz−−=−+=，令11y=，则13

x=−，11z=，所以()3,1,1n=−设平面BCF的法向量为()222,,mxyz=，则00mBCmBF==，即22224043230xxyz−=−−+=，令21y=，则20x=，22z=，所以()0,1,2m=，设平面BDE与平面BCF所成二面角为（不大于

90°），则33coscos,555mnmnmn====.【点睛】本题考查了面面平行的判定定理、性质定理，空间向量法求面面角，考查了考生逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题.21.已知椭圆()22122:10xyCabab+=的一个短轴端点为()0,1M，过椭圆1

C的一个长轴端点作圆2222:Cxyb+=的两条切线，所得切线互相垂直.（1）求椭圆1C的方程；（2）过点M分别作出直线MA，MB交椭圆1C于A，B两点.若直线MA，MB的斜率之和为4，证明直线AB过定点并求出该定点坐标.【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见详

解；定点为1,12−−【解析】【分析】（1）由题意可得1b=，22ba=，求出a即可求解.（2）讨论直线的斜率存在时，设直线AB方程为ykxm=+，代入椭圆方程，利用韦达定理结合直线MA，MB的斜率之和为

4，求出12km=−可求定点，再讨论直线的斜率不存在时，即可求出.【详解】（1）根据题意，1b=，又过椭圆1C的一个长轴端点作圆2222:Cxyb+=的两条切线，且切线互相垂直，所以2sin452ba==，所以2a=，故椭圆1C的方程为221

2xy+=.（2）①当直线的斜率存在时，设直线AB方程为ykxm=+，()(),,,AABBAxyBxy，代入椭圆1C的方程可得22212102kxkmxm+++−=，所以2212ABkmxxk−+=+，22112ABmxxk−=+，所以()11ABBAAB

ABMAMBABAByxyxxxyykkxxxx+−+−−+=+=()()122241ABABmxxkmkkxxm−+=+=−=+，所以12km=−，所以直线AB的方程为11122kykxkx=+−=+−，所以直线必过定点1,12−−.②当直

线的斜率不存在时，设2,12tAt−，2,12tBt−−，2211112224MAMBttkkttt−−−−−+=+=−=，解得12t=−，则直线AB也过定点1,12−−【点睛】本题

考查了椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定点问题，注意第二问讨论斜率存在以及不存在两种情况，对计算能力有一点的要求，属于难题.22.已知函数()21ln2fxaxx=+，(

)gxbx=−，设()()()hxfxgx=−.（1）若()fx在22x=处取得极值，且()()112fg=−−，求函数()hx的单调区间；（2）若0a=时，函数()hx有两个不同的零点1x，2x，求b的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()1,+；单调

递增区间为()0,1；（2）1,0e−【解析】【分析】（1）求出()1fxaxx=+，利用极值求出2,1ab=−=，再求()hx，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由题意()0hx=，可得lnxbx=−，记()lnxxx=−，利用导数研究函数的

单调区间以及求出函数的最值，结合函数值即可求解.【详解】（1）因为()1fxaxx=+，（0x），所以()11fa=+，由()()112fg=−−，可得3ab=−，又因为()fx在22x=处取得极值，所以222022fa=+=

，所以2,1ab=−=，经检验，符合题意；所以()()()2lnhxfxgxxxx=−=−++，其定义域为()0,+，()()()221112121xxxxhxxxxx−+−−++=−++==，令()0hx=，可得112x=−（舍去），21x=

，当()0,1x时，()0hx，当()1,x+时，()0hx，所以函数()hx的单调递减区间为()1,+；单调递增区间为()0,1.（2）当0a=时，()lnhxxbx=+，定义域为()0,+，由()0hx=，可得lnxbx=−，记()lnxxx=−，则()2ln1xxx

−=，所以()lnxxx=−在()0,e上单调递减，在(),e+上单调递增，所以当xe=时，()lnxxx=−取得最小值1e−，又()10=，所以()0,1x时，()0x，而()1,x+时，()0x，作出()x的大致图像，如

图;所以函数()hx有两个不同的零点1x，2x，求b的取值范围为1,0e−【点睛】本题考查了利用函数的极值求参数值、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题.