【文档说明】安徽省合肥一六八中学2023届高三最后一卷数学试题含答案.docx，共(18)页，1.595 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前合肥一六八中学2023届高三最后一卷数学试题合肥一六八中学命题中心一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合()()2150,log4AxxxBxyx=+−==−∣∣…，则UBA=

ð（）A.{14}xx−∣B.{4}xx∣C.{14}xx−∣„D.1xx−∣„2.设i是虚数单位，复数3i1i1iz+=−+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二兔限C.第三象限D.第四象限3.

“2m”是“方程22121xymm+=−+表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O

的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A.12B.32C.55D.2555.在数列na中，已知122,3aa==，当2n…时，1na+是1nnaa−的个位数

，则2023a=（）A.4B.3C.2D.16.数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数sinyAx=，我们平时听到的

音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音.已知刻画某复合音的函数为11sinsin2sin323xxx++，则其部分图象大致为（）A.B.C.D.7.在菱形ABCD中，2AB=，点,EF分别为BC和CD的中点，且4ABAF=，则AEBF=（）A.1B.32C.2D.52

8.定义在R上的函数()fx满足()()112fxfx+=，且当)0,1x时，()121fxx=−−.当),xm+时，()332fx„，则m的最小值为（）A.278B.298C.134D.154二､多选题：本题共4小题，每小题

5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并

观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（）A.如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B.该校全体高三学生的身高均值为171C.抽取的样本的方差为44.08D.如果已知男､女的样本量

都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值10.已知函数()sin4fxx=+，则下列说法正确的有（）A.若()()122fxfx−=，则12minxx−=B.将()fx的图象向左平移4个单位长度后得到的图象关于y轴对称C.函数2si

n4yx=+的最小正周期为2D.若()(0)fx在0,上有且仅有3个零点，则的取值范围为1115,4411.正四棱锥MABCD−中，高为3，底面ABCD是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（）A.CD到平面ABM的距离为105B.向量AM

在向量AC上的投影向量为12ACC.棱锥MABCD−的内切球的半径为103D.侧面ABM所在平面与侧面CDM所成锐二面角的余弦值为4512.已知数列na满足*nN，曲线0:lnCyx=和:1nnnaCyx=−有交点(),nnnTxy，且0C和nC在点nT处的切线重合，则下列结论正

确的为（）A.*,ennxNB.*,1ppaNC.1*,e1nnnyND.*,,pppqpqpqxaxa++=N三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在52xx−的展开式中，含x项的系数

为__________.14.近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同

学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.15.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线121,,lll与C相交于,PQ，2l与C相交于,MN，则PQMN+的最小值为__________.16.设()()()*1

212,,,,0,1,1,2,,,2,,,,nninnSaaaaaainnNnaaaaS====∣…，定义a的差分运算为()()213211,,,nnnDaaaaaaaS−−=−−−.用()mDa表示对a进行(),mmNmn„次差分运算，显然，()mDa是一个()

nm−维数组.称满足()()0,0,,0mDa=的最小正整数m的值为a的深度.若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n.（1）已知()80,1,1,1,0,1,1,1aS=，则a的深度为__________.（2）nS中深度为()*,dddnN„的数组个数为________

__.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，

第三层有6个球，.球数构成一个数列na，满足1,1nnaann−=+且*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）求证：121112naaa+++.18.（本小题满分12分）法国著名军事家拿

破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc，且210sin7cos22BCA+=−.以,,ABBCAC为

边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1,23,OOO.（1）求角A；（2）若1233,aOOO=的面积为734，求ABC的周长.19.（本小题满分12分）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，其中四边形ABC

D是边长为4的正方形，点G是半圆弧CD上的动点，且,,,CEDG四点共面.（1）若点G为半圆弧CD的中点，求证：平面BFD⊥平面BCG；（2）是否存在G点，使得直线CF与平面BCG所成的角是3？若存在

，确定G点位置；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为12,,FFA为双曲线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足

1260FAF=，且222BFAF=.（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C过点()3,2，过圆222:Oxyb+=上一点()00,Txy作圆O的切线l，直线l交双曲线C于,PQ两点，且OPQ的面积为210，

求直线l的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()()lnlnfxpxmpx=−−，其中,0pm.（1）若4x=时，()fx有极值ln2−，求,pm的值；（2）设1mp−„，讨论()fx的零点个数.22.（本小题满分12分）在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着

一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值12,,,nxxx的随机变量，分别记作X和Y.条件概率(),,1,2,

,jiPYxXxijn===∣，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为：()()21()logniiiHXpXxpXx==−==.当2n=时，信道疑义度定义为()()22211(),logijj

iijHYXpXxYxpYxXx===−====∣∣()()()()1121112221,log,logpXxYxpYxXxpXxYxpYxXx=−====+====+∣∣()()()()2121222222,log,log

.pXxYxpYxXxpXxYxpYxXx====+====∣∣（1）设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X的平均信息量()222log31.59,log52.32,log72.81；（2

）设某信道的输入变量X与输出变量Y均取值0，1.满足：()()()0,1001(01,01)PXpYXpYXpp========∣∣.试回答以下问题：①求()0PY=的值；②求该信道的信道疑义度()HYX∣的最大值.合肥

一六八中学2023届高考全真模拟详解答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案A2.答案A由z3i1i1i+=−+，得()()()()()()3i1i42i1i42iz13

i1i1i1i1i+−−−−====−+++−，所以13iz=+，故选：A3.答案：B详解：方程22121xymm+=−+表示椭圆2012101212mmmmmm−−+−+，所以“2m

”是“方程22121xymm+=−+表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.4.答案：D详解：由题意，做出正四棱台的对角面，如图AD为正四棱台上底面正方形对角线，BC为正四棱台下底面正方形对角线，O为外接球球心，为线段BC中点，则50ODOAOBOC====

过点D作DEBC⊥，垂足为E，则DCE即为所求角因为50,40ODDE==，所以30OE=，所以20EC=，所以205DC=，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为255.5.答案：C，详解：由题意知：123456782,3,6,8,8,4,2,8aaaaaaaa========，91

011126,8,8,4,aaaa====，可知数列na从第3项开始有6nnaa+=，所以20232a=，故答案选C.6.答案C解：令()11sinsin2sin323yfxxxx==++，求导得()coscos2cos3coscos2cos2c

ossin2sinfxxxxxxxxxx=++=++−()()()2cos12sincos21cos12coscos2xxxxxx=−++=+，当0,x时，由()0fx=解得23,,434x=由于()()22123322100,,,0,

043234432fffff==+==−=，结合图像，只有C选项满足.故选：C7.答案：B详解：因为点EF､分别为BC和CD的中点，211422ABAFABADABABADAB

=+=+=，所以2ABAD=，又113222AEBFABADADAB=+−=，所以选B.8.答案：B详解：由题意，当)1,2x时，故()()()11112322fxfxx=−=−−，当)2,3x时，故()()()11

112524fxfxx=−=−−，可得在区间)(),1nnnZ+上，()()11122122nnfxxn=−−+，所以当4n时，()332fx，作函数()yfx=的图象，如图所示，当7,42x时，由()(

)13129127,27,83248fxxxx=−−=−==二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.答案：ACA､根据分层抽样，抽取2

5人作为样本，则抽取的样本中男生有3202516,A500=正确B､样本学生的身高均值320180174164170.4500500+=，B错误C､抽取的样本的方差为2232018016(174170.4)30(164170.4)44.08500500

+−++−=；C正确D､因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D错误.10.答案ABD详解：由()()122fxfx−

=，故()()12,fxfx必有一个最大值和一个最小值，则12minxx−为半个周期长度,A2T=正确；由题意sincos42fxxx+=+=的图象关于y轴对称，B正确；21cos21sin

22sin422xxyx−++=+==的最小正周期为,C错误.()sin4fxx=+，在0,x上,444x++有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：344x+，则111544，D正确；故选

：ABD11.答案BD详解：补体为长方体ABCDABCD−.如图，在RtBCW中，WC为CD到平面ABM距离，容易求出其距离为310,A5错误；根据投影向量概念知：向量AM在向量AC上的投影向量为向量AO.即为12AC，所以B正确；由等体积求内切球半径得11:33MABCDABC

DMABCDVSOMSR−−==正方形四棱锥表面积，431013210442ABCDMABCDSOMRS−−===+正方形四棱锥表面积，所以C错误；连接CQ，可知BQC是所求二面角的平面角，在BQC中由余弦定理知道：4cos,D5BQC=正确.故选：BD12.答案：

AC详解：依题意，有ln1nnnnaxx=−，且11nnnnnaxx+=，解得111ee,nnnnxan−−==，显然11een−，即enX，故A正确；构造函数()1exfxx−=，则()()121exxfxx

−−=，显然当)1,x+时，()0fx，即()fx在)1,+上单调递增，从而na为递增数列，又11a=，故*,1nnaN，易知B错误；易知11nyn=−，需证111e1nn−，只需证()1*11ennn−−N，令1xn=−，则)

1,0x−，只需证)1e,1,0xxx+−，令()e1,1,0xgxxx=−−−，则()e10xgx=−，易知()gx单调递减，故当)1,0x−时，()()00gxg=，从而C正确；

由111111111ee1ennnnnnxx−−+−++==，可知10nnxx+，即nx为正项递增数列，na亦为正项递增数列，故数列nnxa为正项递增数列，又ppq+，易知D错误；三､填空题：本题共4小题

，每小题5分，共20分.13.答案：40详解：设52xx−的通项1kT+，则()51152kkkkTCxx−−+=−，化简得5215(2)kkkkTCx−+=−，令2k=，则x的系数为225(2)40C−=.1

4.答案：150详解：第一类：仅要好的两位女生去同一景点335360CA=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点11253490CCC=，总方法数为6090150+=.15.答案：16详解：设直线PQ直线方

程为：1xmy=+21,4xmyyx=+=2121244,4,4ymyyymyy=++==−()22212121212111222444yyPQxxyyyy=+++=++=+−+2211682444mm=++=+244MNm=+()2222414444816PQMNmmmm

+=+++=++另解：设直线PQ倾斜角为2222244416,16sincossincossin2PQMN+=+==，所以最小值为16.16.答案（1）4（2）12d−（可以通过举例归纳得到，如4S）

.详解：（1）略；（2）易知mS中仅有一组()10,0,0,,0;mS+中深度1d=的数组仅1组()21,1,1,,1;mS+中深度2d=的数组仅2组；3mS+中深度3d=的数组仅4组；;mkS+中深度dk=的数

组仅12k−组；；所以nS中深度为d的数组仅有12d−组.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.答案：（1）()12nnna+=（2）由()211211nnnn=−++

，所以1211112121naaan+++=−+18.答案（1）210sin7cos22BCA+=−，则()()51cos7cos2BCA−+=−，故()251cos82cosAA

+=−，所以22cos5cos30AA+−=，可得1cos2A=，由()0,A，所以3A=.（2）如图，连接13,AOAO，则1333,33AOcAOb==，正123OOO面积2221313131373sin

60,7244SOOOOOO====，而60BAC=，则13120OAO=，在13OAO中，由余弦定理得：22131313132cosOOAOAOAOAOOAO=+−，即221723332bcbc=+−−，则2221bcbc++=，在ABC中，60,3A

a==，由余弦定理得2222cosabcbcBAC=+−，则22229,6,15bcbcbcbc+−==+=，22233bcbcbc+=++=，所以ABC的周长为333+19.答案：（1）连接EC，如图所示：若点G为半圆弧CD的中点，则45ECDGCD==，所以90ECG=，即E

CCG⊥，因为BFEC∥，所以BFCG⊥，又,,,BFBCBCCGCBCCG⊥=面BCG，所以BF⊥平面,BCGBF平面BFD，则平面BFD⊥平面BCG.（2）假设存在点G，使得直线CF与平面BC

G所成的角为60，以A为原点，AF,AB,AD方向为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()4,0,0,0,4,0,0,4,4FBC，设,0,2GCD=，则()24sincos,44cos,4G

−−，所以()()()24,4,4,0,0,4,4sincos,4cos,4CFBCBG=−==−−，设平面BCG的法向量为(),,mxyz=，则204sincos4cos0zxy=−−=，令siny=，则cos,x

=−即()cos,sin,0m=−，依题意22sincos4cos4sin3cos,2343cossinCFm+−−===+，整理得5sin24=，与sin20,1矛盾，所以不存在另解：连接DG，可知DG⊥面BCG，所以()24sincos,4sin,0DG

=−，即()cos,sin,0m=−是平面BCG的一个法向量（下同）.20.答案：（1）由对称性可知：21BFAF=，故122AFAF=，由双曲线定义可知：122AFAFa−=，即22222AFAFAFa−==，所以14,2AFa=−−−分又因为122FFc=，在12AFF

中，由余弦定理得：222121212121cos22FAFAFFFAFFAFA+−==，即22222216442041242162aacacaaa+−−==，解得：3ca=，故离心率为3ca=.（2）因为双曲线过

点()3,2，所以双曲线方程：2212yx−=当直线l的斜率不存在时，则12,2,2,4410PQFFOPOQOPOQ⊥===直线l的斜率不存在时不成立.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()()11

22,,,ykxmPxyQxy=+又点O到直线l距离()22222,21,211mdmkmkk===+=++，联立22220ykxmxy=+−−=，消去y得()()22222202kxkmxmk−−−−=，则12221222222kmxxkmxxk+=−

+=−由OPQ的面积为210，即2410,45PQPQ==，()()()22222121222821412mkPQkxxxxkk−+=++−=+−将()2221mk=+代入上式得2222214452kkPQk++==−，2214km==或22410km

==，即12km==或210.km==直线l的方程为：2yx=或210yx=21.解：（1）()()()1ppxmfxxpxm−+=−.由题意得()40f=且()4ln2f=−，即()()410,ln4ln4ln2pmpmp−+=−−=

−，联立解得32p=，2m=.经检验，符合题意.（2）方法一：()fx定义域是,mp+.由条件知，1p.当,1mmxpp−时，()()0,fxfx单调递增；当,1mxp+−时，()()0,fxfx单调递减.故01mxp=−

是()fx的极大值点，且极大值为()()01ln1mfxpp=−−.当1mp=−时，()00fx=，此时()fx有一个零点.当1mp−时，()00fx.记111ppppmmpm−−=+，则101m.取11mxpm=−，

则11mmxpp−，()111lnlnln0ppppppmmpmpfxppppppm+−+=−=+，根据零点存在定理，当,1mmxpp−时，存在一个零点.取112pxp−=，则()()()222222,lnlnlnlnln101mxfxpxmpxpxpxp=−

−−==−.由零点存在定理可知，当,1mxp+−时，存在一个零点.故此时()fx有两个零点.综上所述，当1mp=−时，()fx只有一个零点；当1mp−时，()fx有两个零点.方法二：由题意，函数()fx的零点即方程()0fx=的根，即方程()lnlnppxmx−=的根，即pmp

xx=−的根，记(),,pmgxpxxxp=−+，答案：由()()1110ppgxppxpx−−=−=−=，得到1mxp=，当,1mxp时，()()0,gxgx单调递增，()1,x+时，()()0,gxgx单调递减，又pmmg

mmpp=−，因为1p，当x→+时，()pgxpxx=−→−，综上所述，当1mp=−时，()fx只有一个零点；当1mp−时，()fx有两个零点22.解：（1）设X表示扔一非均匀股子点数，则X123456P12122132142152

1621扔一次平均得到的信息量为()()621()logiiiHXpXxpXx==−==62121log21iii==62211log21log21iii==−2224516log7log3log572121=+−−2.40（2）①由

全概率公式，得()()()()()0000101pYpXPYXpXPYX=====+===∣∣()()11pp=−+−②由题意，()()00111pYXpYXp======−∣∣.所以，()HYX∣()()()()1121112221,log,lo

gpXxYxpYxXxpXxYxpYxXx=−====+====∣∣()()()()2121222222,log,logpXxYxpYxXxpXxYxpYxXx+====+====∣∣()()()111211logpXxpYxXxpYxXx=−=====∣∣()()()121221lo

gpXxpYxXxpYxXx+=====∣∣()()()212212logpXxpYxXxpYxXx+=====∣∣()()()222222logpXxpYxXxpYxXx+=====∣∣()()()()()()22221log1log

1log11log1pppppppp=−−−++−+−−−()()22log1log1pppp=−−−−其中120,1xx==.令()()()22log1log1fppppp=−−−−()()()()2211loglog

11ln21ln2fppppppp−=−+−−−+−−()2221loglog1logpppp−=−+−=()110,,0,22fppx==时1()0,,12fpx时，()0fpmax1()12fpf==获得更

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