【文档说明】（八省新高考）2022届高三上学期第一次月考备考B卷 数学 含解析.docx，共(19)页，642.500 KB，由小赞的店铺上传

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（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交

。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2|log2Axx=，2|60Bxxx=−−，则AB=（）A．|04xxB．|

24xx−C．|03xxD．|03xxx或【答案】C【解析】∵2|log2|04Axxxx==，2|60|23Bxxxxx=−−=−，∴|03ABxx=，故选C．2．复数z满足条件()43i34iz+=+（i为虚数单位），则z=（

）A．1B．5C．15D．25【答案】A此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号【解析】因为()43i34iz+=+，所以()()()()34i43i247i43i43i25z+−+==+−，所以1z=，故选A．3．已知直线1:0lxy

m++=，22:0lxmy+=．则“12ll∥”是“1m=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，直线1:0lxym++=，直线22:0lxmy+=，因为12ll∥，可得21m=，解得1m=，所以

“12//ll”是“1m=”的必要不充分条件，故选B．4．设双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别是1F，2F，过2F作渐近线的垂线，垂足为P．若1OPF△的面积为24b，则双曲线C的离心率为（）A．52B．2C．2D．5【答案】D【解析】由双曲线性

质知，2PFb=，OPa=，由2PFOP⊥，得21242OPFOPFbabSS===△△，解得2ba=，5ca=，所以双曲线C的离心率5e=，故选D．5．设,是两个不同平面，,mn是两条不同直线，下列说法正确的是（）A．若,,mnmn⊥

⊥∥，则∥B．若,,mmn⊥⊥⊥，则n∥C．若,,//mnmn⊥∥，则⊥D．若,,mn⊥⊥⊥，则mn∥【答案】C【解析】以正方体为例，A．ABmBCn==,，平面11BCCB=，平面11ADDA与平面1111A

BCD都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错；B．平面11BCCB=，平面1111ABCD=，ABm=，1BBn=，此时n与相交，B错；C．m∥，由线面平行的性质定理，内有直线lm∥，mn∥，则nl∥，n⊥，则l⊥，则⊥，C正确；

D．平面11BCCB=，平面1111ABCD=，ABm=，1BBn=，但m与n相交，不平行，D错，故选C．6．已知数列na中，24a=，mnmnaaa+=+，则11121319aaaa++++=（）A．95B．145C．

270D．520【答案】C【解析】在等式mnmnaaa+=+中，令1m=，可得11nnaaa+=+，则11nnaaa+−=，所以，数列na为等差数列，且该数列的首项和公差均为1a，因为2124aa==，故12a=，所以，(

)2212nann=+−=，则1521530a==，因此，()1119151112131915992927022aaaaaaaa+++++====，故选C．7．已知函数21()3121xxfxx−=−++，且()2(34)2fafa+−，则实数a的取

值范围是（）A．(4,1)−B．(3,2)−C．(0,5)D．(1,4)−【答案】A【解析】令21()321xxgxx−=−+，则()()1fxgx=+，∵()2(34)2fafa+−，∴()2(34)0g

aga+−，∵2121()3()3()2121xxxxgxxxgx−−−−−=−−=−−=−++，∴()gx是R上的奇函数，∴()2(34)0gaga+−可化为()2(43)gaga−，又∵212()3132121x

xxgxxx−=−=−−++，()222ln21ln2()32ln23301221222xxxxgx=−=−−+++，所以()gx在R上是减函数，∴243aa−，解得41a−，故选A．8．已知定直线l的方程为()()12

0ykxk−=−，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆()()22:121Cxy−++=的一条切线，M是切点，C是圆心，若QMC△面积的最小值为2，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离EF的最小值为（）A．13B．2C．43D．52【答案】B【解析】

由题意可得直线l的方程为120kxyk−+−=，圆C的圆心()1,2C−，半径为1，如图：1122QMCSQMCMQM==△，又21QMCQ=−，当CQ取最小值时，QM取最小值，此时CQl⊥，可得22QM=，3C

Q=，则221231kkk++−=+，解得()304kk=−，则直线l的方程为34100xy+−=，则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离EF的最小值为221324101234−−−=+，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在ABC△中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得ABC△无解的是（）A．2,3,120abA===B．2,6,45a

bA===C．523,cos,605bAB===D．3,sin2sin,60cbABc===【答案】ABD【解析】对于A，大边对大角，而a<b，无解；对于B，由正弦定理得sin1B，无解；对于C，由5cos5A=可得25sin5A=，正弦定理求出a，再

由正弦定理或余弦定理可求出c，有解；对于D，由3cb=和2ab=，通过余弦定理可得cos0C=，与60C=矛盾，无解，故选ABD．10．下列结论中，所有正确的结论是（）A．若3x−，则函数13yxx=++的最大值为3−B．

若0xy，234xyxy+=，则2xy+的最小值为23+C．若x，()0,y+，223xyxy+=+，则xy的最大值为1D．若2x，2y−，22xy+=，则11224xy+−+的最小值为322+

【答案】BC【解析】A：由3x−，则30x+．又()11333323533yxxxx=++−=−−−+−−−=−+−−，当且仅当4x=−时等号成立，错误；B：0xy，所以234xyxy+=可化为234yx+=，则()1321431432288

223444xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=+，当且仅当43xyyx=时等号成立，正确；C：由x，()0,y+，223xyxy+=+，即()22332xyxyxy=−+−，解得1xy，当且仅当xy=时等号成立，正

确；D：由()()22422221122224xyxyxy−++++==+−+，即1111224xy+−+，即111224xy+−+，当且仅当224xy−=+，即4x=，1y=−时等号成立，错误，故选BC．11．在A

BC△中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，下列说法中正确的是（）A．若ABC△为锐角三角形且AB，则sincosABB．若sin2sin2AB=，则ABC△为等腰三角形C．若AB，则sinsinABD．若8a=，10c=，60B=，则符合条件的AB

C△有两个【答案】AC【解析】对于A，因为若ABC△为锐角三角形且AB，所以π2AB+，所以π2AB−，所以πsinsincos2ABB−=，故A正确；对于B，若sin2sin2AB=，则22AB=或2π2AB=−

．若22AB=，则ABC△为等腰三角形；若2π2AB=−，则2πAB+=，则ABC△为直角三角形，故B不正确；对于C，由AB可得ab，所以22abRR，结合正弦定理可得sinsinAB，故C正确；对于D，8a=，10c=，60B=，222cos2acbB

ac+−=，即222810cos602810b+−=，解得221b=，只有一个解，故D不正确，故选AC．12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为52，A，B分别

是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为12,kk，则（）A．双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线C的方程为2214xy−=B．双曲线C的渐近线方程为2yx=C．12kk为定值D．存在点P，使得121kk+=【答案】AC【解

析】因为双曲线2222():10,0xyCabab−=的离心率为52，所以52cea==，2112bcaa=−=，渐近线方程为12yx=，故B错误；不妨设双曲线的焦点(,0)c到12yx=的距离为1，即||15c=，

解得5c=，又52cea==，故2,1ab==，所以双曲线方程为2214xy−=，故A正确；因为(),0Aa−，(),0Ba，设(),Pxy，则212222214kyyybxaxaxaak====+−−，故C正确；2

1222222212kyyyxyyxxxaxaxykaxa=+===+−+−−，因为点P在第一象限，渐近线方程为12yx=，所以102OPk，则2xy，所以121kk+，所以不存在点P，使得121kk

+=，故错误，故选AC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．621xx+−的展开式中常数项是________．【答案】481【解析】由662211xxxx+−=−+得6162C1rrrrTxx−+

=−，0,1,,6r=，当0r=时，612Txx=−中的常数项为44262C240xx−=；当3r=时，33462CTxx=−中的常数项为232632CC240xx−=；当6r=时，06762CTxx=−中的常数项是1

，故621xx+−的展开式中常数项为481，故答案为481．14．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．【答案】49【解析】将4个白球和5个黑球都看作是不同的，并将球

一一摸出依次排成一排，每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为99A，其中第4个球是白球的排法数为1848AA，故所求概率为184899AA4A9P==，故答案为49．15．如图所示，已知点G是ABC△的重心，过点G作直线分别交

AB，AC两边于M，N两点，且AMxAB=，ANyAC=，则2xy+的最小值为_________．【答案】3223+【解析】根据条件：11,ACANABAMyx==，因为G是ABC△的重心，1133AGABAC=+，1133AGAMANx

y=+，又M，G，N三点共线，11133xy+=，0,0xy，11223222(2)(+)1123333333xyxyxyxyxyyxyx++=+=+++=，当且仅当233xyyx=，即2yx=时取等号成立，2xy

+的最小值为3223+，故答案为3223+．16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．【答案】263，82【解析】如图

，正四面体ABCD的内接正三棱柱111DEFDEF−，首先,,DEF三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，正四面体ABCD棱长为6，则高为22366263AM=−=，设正三棱柱高为h，底面

边长为a，因为平面DEF∥平面BCD，所以26626ah−=，6(26)2ah=−，22233633(26)(26)4448DEFSahh==−=−△，23333(26)2(26)(26)816DEFVShhhhhh==−=−−△3

332262682163hhh+−+−=，当且仅当226hh=−，即263h=时等号成立，则所制作的正三棱柱模型的高为263，体积的最大值为82，故答案为263，82．四、解答题：本大题共6个大题，共7

0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列na的前n项和为nS，满足1nnSa+=．（1）求数列na的通项公式；（2）记()()111nnnnabaa+=++，求数

列nb的前n项和nT．【答案】（1）12nna=；（2）122321nnT+=−+．【解析】（1）由111Sa+=，得112a=，又1111nnnnSaSa+++=+=，作差得120nnaa+−=，所以+11=2nnaa，所以na是以12为

首项，12为公比的等比数列，则有12nna=．（2）由题得()()()()111121121121212121nnnnnnnnnabaa++++===−++++++，所以1111112222121321nnnkkknkkTb++==

==−=−+++．18．（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()tan2tancAbcC=−．（1）求角A的大小；（2）若点D在AC边上，且32ADDC=，BDBC=，求sinABC的值．【答案】（1）π3

；（2）5314．【解析】（1）依题意，根据正弦定理得()2sinsinsinsinsincoscosBCCCAAC−=，整理得sincoscossin2cossinACACAB+=，即()sin2cossinACAB

+=．因为()()sinsinπsin0ACBB+=−=，所以1cos2A=，又0πA，所以π3A=．（2）如图，作BEAC⊥，垂足为E，则ππ26ABEA=−=，所以π6ABCABECBECBE=+=+．设()20DCtt=，因为32AD

DC=，BDBC=，所以3ADt=，DEECt==，4AEt=．在ABERt△中，tan43BEAEAt==，在BECRt△中，227BCBEECt=+=，所以1sin7CBE=，43cos7CBE=，所以πππsinsinsincoscossin666ABCCBECBECBE=+

=+1433153272714=+=．19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他

们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10

人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布()2,N，其中可用样本平均数近似代替，2可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在

46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：()0.6827PX−+，()220.9545PX

−+，()330.9973PX−+．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为85；（2）50．【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为()0.010.0220106+=，不合

格的人数为1064−=．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则()46410C10C14P===，()13464108121CCCP===，()2246410327CCCP===，()3146410435CC3CP===，()444100CC1421P===．故的分布列为0

1234P114821374351210所以的数学期望()1834180123414217352105E=++++=．（2）由题意可知，()300.005500.015700.02900.012064=+++=，()()()

()2222230640.150640.370640.490640.2324=−+−+−+−=，所以18=．由X服从正态分布()2,N，得()()6418641846820.6827PX

PX−+=，则()()18210.68270.158652PX−=，()460.68270.158650.84135PX+=，600.8413550，所以此次竞赛受到奖励的人数为50．20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：

“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，12AAACCB===，点D在线段AB上，1//BC平面1ACD．（1）证明：ADBD=；（2）若点M是底面11BC

CB内的动点，且1AMMC⊥，求三棱锥1MBDB−体积的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：如图，连接1AC，设11ACACO=，再连接OD．由题知四边形11ACCA是正方形，所以O是1AC的中点．因为

1//BC平面1ACD，1BC平面1ABC，平面1ABC平面1ACDOD=，所以1//BCOD，在1ABC△中，因为O是1AC的中点，所以D是AB的中点，所以ADBD=．（2）连接MC，在直三棱柱111ABCABC−中，AC⊥平面11BC

CB，1MC平面11BCCB，所以1ACMC⊥．又1AMMC⊥，AMACA=，所以1MC⊥平面ACM．又MC平面ACM，所以1MCMC⊥，所以点M的轨迹是以1CC为直径的半圆（不包含C，1C点）．又2CB=，所以点M到直线1BB的最小距离1d=．又点D是AB的中点，所以点D到

平面11BCCB的距离1h=．又三棱锥1MBDB−的体积等于三棱锥1DBBM−的体积，所以三棱锥1MBDB−体积的最小值为()1min11112113323BBMSh==△．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，半焦距为1，

以线段12FF为直径的圆恰好过椭圆C的上、下顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若关于直线xc=对称的射线2FM与2FN分别与椭圆C位于x轴上方的部分交于M，N两点，求证：直线MN过x轴上一定点．【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见

解析．【解析】（1）以线段12FF为直径的圆恰好过椭圆C的上下顶点，cb=，1c=，1b=，2222abc=+=，椭圆C的方程为2212xy+=．（2）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxm=+，联立2212ykxmx

y=++=，消去y并整理得()()222124210kxkmxm+++−=．设点()11,Mxy，()22,Nxy，则122412kmxxk−+=+，()21222112mxxk−=+．212NFFMFA=，且由题意知2MFk和2

NFk必存在，220MFNFkk+=．又2(1,0)F，1212011yyxx+=−−，即1212011kxmkxmxx+++=−−，整理得()121222()kxxmkmxx−=−+，得()22221422()1212mkmkmkmkk−−−=−+

+，即2222222?22kmkmkmkmkm−−−=−，解得2mk=−，MN的方程为2(2)ykxkkx=−=−．()()22221681210Δkmkm=−+−，即2212km+，22124kk+，解得2222k−

，M，N位于椭圆x轴上方，202k−，此时直线MN过x轴上的定点(2,0)．22．（12分）已知函数2()1xfxeaxx=−−−，aR．（1）当0a=时，求()fx的最小值；（2）当0mn时，不等式33()()13fm

fnmn−−恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）0；（2）2,2e−−．【解析】（1）当0a=时，()1xfxex=−−，其导函数为()1xfxe=−，所以()fx在(),0−上单调递减，在()0,

+上单调递增，所以()fx的最小值为()00f=．（2）由0mn，由33mn，所以3311()()33fmmfnn−−，所以31()()3gxfxx=−在()0,+上单调递增，所以2()210xgxexa

x=−−−在()0,+恒成立，即212xexax−−，()0,x+恒成立，设21()xexhxx−−=，()0,x+，所以()2(1)1()xxexhxx−−−=，由（1）知10xex−−

，所以()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()min()12hxhe==−，所以22ae−，即a的取值范围为2,2e−−．