【文档说明】2021苏教版数学必修第二册课时分层作业：9.2.2　向量的数乘 .docx，共(8)页，150.788 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(四)向量的数乘(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知λ∈R，则下列说法正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|>0C[当λ<0时，A式不成立

；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]2．如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝()A．14(b－a)B．12(b－a)C．14(a

－b)D．12(a－b)A[MN→＝MC→＋CN→＝MC→－NC→＝12AD→－14AC→＝12b－14(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)．]3．已知向量a，b且P1P2→＝a＋2b，P2P3→＝－5a

＋6b，P3P4→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．P1，P2，P3B．P1，P3，P4C．P2，P3，P4D．P1，P2，P4D[∵P2P4→＝P2P3→＋P3P4→＝2a＋4b＝2P1P2→，∴P1，P2，P4三点共线．]4．已知a，b是两个不共线的向量，AB

→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线B[∵BD→＝BC→＋CD→＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB→，∴AB→与BD→平

行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．]5．在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A．23a＋13bB．13a＋23bC．13a－23bD．23a－13bA[法一：如图，过点D分别作AC，

AB的平行线交AB，AC于点E，f，则四边形AEDf为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A．法二：AD→＝AB

→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A．]二、填空题6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，AB→＝2e1，BC→＝3e2，则BO→＝________.(用e1，e2表示)32e2

－e1[∵AD→＝BC→，∴BD→＝AD→－AB→＝3e2－2e1.又∵BD→＝2BO→，∴BO→＝32e2－e1.]7．1312(2a＋8b)－(4a－2b)＝________.2b－a[1312(2a＋8b)－(4a－2b)＝16

(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝2b－a.]8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________.－2[∵e1，e2不共线，∴向

量a，b不为0.又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2.∴λk＝2，λ＝－1.∴k＝－2，λ＝－1.]三、解答题9．已知在四边形ABC

D中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．[证明]如图所示．∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴AD→＝2BC→.∴AD→与BC→

共线，且|AD→|＝2|BC→|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC．∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．10．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(

2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．[解](1)证明：∵OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，∴OM→＝λOB→＋OA→－λOA→，OM→－OA→＝λOB→－λOA→，∴AM→＝λAB→(λ∈R，λ≠0，且λ≠

1)．又AM→与AB→有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)由(1)知AM→＝λAB→，若点B在线段AM上，则AM→与AB→同向，∴|AM→|>|AB→|>0，∴λ>1.1．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→

＝mAM→成立，则m的值为()A．1B．2C．3D．4C[由MA→＋MB→＋MC→＝0可知，M是△ABC的重心．取BC的中点D，则AB→＋AC→＝2AD→.又M是△ABC的重心，∴AM→＝2MD→，∴AD→＝32AM→，∴AB→＋AC→＝3AM→，即m＝3.]2．如图，在△A

BC中，AN→＝23NC→，P是BN上一点，若AP→＝tAB→＋13AC→，则实数t的值为()A．23B．25C．16D．34C[法一：因为AN→＝23NC→，所以AN→＝25AC→.设NP→＝λNB→，则AP→＝AN→＋NP→

＝25AC→＋λNB→＝25AC→＋λ(NA→＋AB→)＝25AC→＋λ－25AC→＋AB→＝λAB→＋25(1－λ)AC→，又AP→＝tAB→＋13AC→，所以tAB→＋13AC→＝λAB→＋25(1－λ)AC→，得t＝λ25(1－λ)＝13，解得t＝λ＝16，故

选C．法二：因为AN→＝23NC→，所以AC→＝52AN→，所以AP→＝tAB→＋13AC→＝tAB→＋56AN→，因为B，P，N三点共线，所以t＋56＝1，所以t＝16，选C．]3．(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ→＝a＋sinα·b，其中α∈(0,2π)，QR→＝2a－b

.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为()A．π6B．5π6C．7π6D．11π6CD[因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即QR→≠0，因为P，Q，R三点共线，所以PQ→与QR→共线，所以存在实数λ，使PQ→＝λQR→，所以a＋sinα·b＝2

λa－λb，所以1＝2λ，sinα＝－λ，解得sinα＝－12.又α∈(0,2π)，故α可为7π6或11π6.选CD．]4．(一题两空)在△ABC中，BD→＝2DC→，AD→＝mAB→＋nAC→，则m＝________，n＝________.1323[AD→－AB→＝2AC→－2

AD→，∴3AD→＝AB→＋2AC→，∴AD→＝13AB→＋23AC→.]5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝12DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM→＝mAB

→，AN→＝nAC→，求2m＋1n的值．[解]法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由AN→＝nAC→可得ACAN＝1n，所以AEEM＝ACCN＝1n－1，由BD＝12DC可得BMME＝12，所

以AMAB＝nn＋n－12＝2n3n－1，因为AM→＝mAB→，所以m＝2n3n－1，整理可得2m＋1n＝3.法二：连接AD．因为M，D，N三点共线，所以AD→＝λAM→＋(1－λ)·AN→.又AM→＝m

AB→，AN→＝nAC→，所以AD→＝λmAB→＋(1－λ)·nAC→.又BD→＝12DC→，所以AD→－AB→＝12AC→－12AD→，所以AD→＝13AC→＋23AB→.比较系数知λm＝23，(1－λ)n＝13，所以2m＋1n＝3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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