【文档说明】【精准解析】第08章检测A卷(理)【高考】.docx,共(25)页,1.398 MB,由小赞的店铺上传
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-1-立体几何与空间向量(理科数学)章节验收测试卷A卷姓名班级准考证号1.已知一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个边长为2的正方形,则该几何体的表面积为()A.223B.20C.206+D.2010+【答案】C【解析】该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几
何体(如图),其表面积为()122132222222S+=++12232062+=+.故选C.2.如图,网格纸上小正方形的边长为a,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的表面积为32+,则a的值为()-2-A.
14B.13C.12D.1【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体为如图所示的直三棱柱ABEDCF−,其中3ABBCBEa===,2232AEABBEa=+=,则292ABECDFSSa==,292ADFES
a=长方形,所以该几何体的表面积为22227929(32)32aaa+=+=+,得13a=.故选B.3.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥PABCD−中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且P
DCD=,点E,F分别为PC,PD的中点,则图中的鳖臑有()A.2个B.3个C.4个D.5个-3-【答案】C【解析】由题意,因为PD⊥底面ABCD,所以PDDC^,PDBC⊥,又四边形ABCD为正方形,所以BCCD⊥,所以BC⊥平面PCD,BCPC⊥,所以四面体PDBC是一个鳖臑
,因为DE平面PCD,所以BCDE⊥,因为PDCD=,点E是PC的中点,所以DEPC⊥,因为PCBCC=,所以DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,同理可得,四面体PABD和FABD都是鳖臑,故选C.4.在正方体1111ABCDABCD−中
,1AD与BD所成的角为()A.45?B.90C.60D.120【答案】C【解析】如图,连结BC1、BD和DC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由AB=D1C1,AB∥D1C1,可知AD1∥BC1,所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角,在正方体ABC
D-A1B1C1D1中,BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线,它们相等.所以△DBC1是正三角形,∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°.故选:C.-4-5.已知一个几何体的三视图如图所示,则被挖去的几何体的侧面积的最大值为()A.3B.2C.33D
.22【答案】A【解析】根据三视图,圆锥内部挖去的部分为一个圆柱,设圆柱的高为h,底面半径为r,则323hr−=,∴332hr=−.故232233(2)3(1)132rhrrrrrS=−=−=−−+=侧„,当1r=,S侧的最大值为3.6.如图是某
几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中,最大截面的面积是()-5-A.2B.3C.32D.1【答案】A【解析】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥,且圆锥的底面半径为3r=,高1h=,故俯视图是一个腰长为2,顶角为120的等腰三角形,易知过该几何体
顶点的所有截面均为等腰三角形,且腰长为2,顶角的范围为(0,120,设顶角为,则截面的面积:122sin2sin2S==,当90=时,面积取得最大值2.故选:A.7.已知如图正方体1111ABCDABCD−中,
P为棱1CC上异于其中点的动点,Q为棱1AA的中点,设直线m为平面BDP与平面11BDP的交线,以下关系中正确的是()-6-A.1//mDQB.1mQB⊥C.//m平面11BDQD.m⊥平面11ABBA【答案】C【解析】因为在正方体1111ABCDABCD−中,11//DBBD,且1
1DB平面BDP,BD平面BDP,所以11//DB平面BDP,因为11DB平面11BDP,且平面11BDP平面BDPm=,所以有11//mDB,而1111DQDBD=,则m与1DQ不平行,故选项A不正确;若1mQB⊥,则111BQDB⊥,显然1BQ与11DB不垂直,矛
盾,故选项B不正确;若m⊥平面11ABBA,则11DB⊥平面11ABBA,显然与正方体的性质矛盾,故C不正确;而因为11DB平面11BDP,m平面11BDP,所以有//m平面11BDP,所以选项C正确,.8.在棱长为2的正方体1
111ABCDABCD−中,P是1BDC内(不含边界)的一个动点,若11APBC⊥,则线段1AP的长的取值范围为()A.43(2,]3B.43[,6)3C.43[,22)3D.(6,22)【答案】C【解析】-7-由正方体的性质可知,11ABDC−是正四面体,且正四面体的棱长为22,P在1BDC
内,1AP的最大值为111122ACABAD===,1AP的最小值是1A到平面1BDC的距离,设1A在平面1BDC的射影为H,则H为正三角形1BDC的中心,263BH=,2211848333AHABBH=−=−=,1AP的最小值为433,又
因为P不在三角形1BDC的边上,所以1AP的范围是43,223,故选C.9.下列说法错误的是()A.垂直于同一个平面的两条直线平行B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C.一个平面内的
两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】-8-由线面垂直的性质定理知,垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确;由面面垂直的性质定理知,若两个平面垂直,则其中一个平面
内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确;由面面平行的判定定理知,一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行,C正确;当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时,该直线与平面不一定垂直,D错误,故选D.10.如图,平面四边形ABCD中,
E、F是AD、BD中点,AB=AD=CD=2,BD=22,∠BDC=90°,将△ABD沿对角线BD折起至△ABD,使平面ABD⊥平面BCD,则四面体ABCD中,下列结论不正确...是()A.EF∥平面ABCB.异面直线CD与AB所成的角为90°C.异面直线EF与2500(1
)a−所成的角为60°D.直线2500(1)a−与平面BCD所成的角为30°【答案】C【解析】选项A:因为E、F是AD、BD中点,所以//EFAB,因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以
EF∥平面ABC,所以选项A正确;选项B:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD平面BCDBD=,且∠BDC=90°,即CDBD⊥,-9-又因为CD平面BCD,故CD⊥平面ABD,故CD⊥AB,所以异面直线CD与AB所成的角为90°,选项B正
确;选项C:由选项B可知CD⊥平面ABD,所以CD⊥AD,因为AD=CD=2,即AD=CD=2,所以由勾股定理得,AC22=,在RtBDC中,BC=22(22)223+=,在BAC中,cos4812BAC02222+−==,故BAC90
=,即ABAC⊥,因为//EFAB,所以EFAC⊥,故选项C错误;选项D:连接,AFFC因为ADAB=所以ADAB=因为F是中点,所以AFBD⊥,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD平面BCDBD=,又因为AF平面A
BD,故AF⊥平面CBD,-10-所以ACF即为直线2500(1)a−与平面BCD所成的角,在RtACF中,AF2=,AC22=,所以sinAF21ACFAC222===,所以ACF30=,故直线2500(1)a−与平面BCD所成
的角为30°,故选项D正确,本题不正确的选项为C,故选C.11.已知正三棱锥ABCD−的所有顶点都在球O的球面上,其底面边长为3,E,F,G分别为侧棱AB,AC,AD的中点.若O在三棱锥ABCD−内,且三棱锥ABCD−的体积是三棱锥OBCD−体积
的3倍,则平面EFG截球O所得截面的面积为()A.154B.32C.938D.4【答案】A【解析】如图,M是底面BCD的中心,则O在AM上,而由3ABCDOBCDVV−−=得3AMOM=,设OAR=,
则2ROM=,又3BCCDDB===,M是BCD中心,则3333MB==,∴由222OBOMBM=+得222()(3)2RR=+,解得2R=,设AM与平面EFG交于点N,∵EFG、、分别是,,ABACAD的中点,则N是AM的中点,∴1
1332222MNAMR===,31122ONMNOM=−=−=,设平面EFG截球O所得截面圆半径为r,则22221152()22rRON=−=−=,∴此圆面积为221515()24r==.故选A.-11-12.已知正方体1111ABCDABCD−的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B
、C两点),点N为线段1CC的中点,若平面AMN截正方体1111ABCDABCD−所得的截面为五边形,则线段BM的取值范围是()A.10,2B.1,12C.1,13D.11,23【答案】B【解析】∵正方体11
11ABCDABCD−的体积为1,所以正方体的棱长为1,点M在线段BC上(点M异于,BC两点),当点M为线段BC的中点时,1//MNAD1,,,AMND共面,截面为四边形1AMND,如图,即12BM=,不合题意,排除选项,,ACD;当12BM时,截面
为五边形,如图,符合题意,-12-即平面AMN截正方体1111ABCDABCD−所得的截面为五边形,线段BM的取值范围为1,12.故选B.13.已知三棱锥ASBC−的体积为233,各顶点均在以SC为直径球面上,2,2A
BACBC===,则这个球的表面积为_____________。【答案】16π【解析】由题意,设球的直径2,,SCRAB=是该球面上的两点,如图所示,因为2,2ABACBC===,所以ABC为直角三角形,设三棱锥SABC−的高为h,则112322323h=,解得23h=,取BC的中点M,
连接OM,根据球的性质,可得OM⊥平面ABC,所以3=OM,在直角OMC中,2222(3)12OCOMMC=+=+=,即球的半径为2R=,所以球的表面积为2244216SR===.-13-14.已
知正四面体ABCD中,M是棱AD的中点,O是点A在平面BCD上的射影,则异面直线BM与OA所成角的余弦值为_______.【答案】23【解析】设点M在平面BCD上的射影为N,则O、N、D三点共线,且N是OD的中点,则异面直线BM与OA所成角等于异面直线BM与MN所成角,即B
MN.设正四面体的棱长为2,则3BM=,626233OA==,63MN=,所以RtBMN中,623cos33MNBMNBM===.故答案为2315.记()min,()aababbab=,已知矩形ABCD中,AB=2AD,E是边AB的中点
,将ADE沿DE翻折至ADE△(A平面BCD),记二面角ABCD−−为,二面角ACDE−−为,二面角ADEC−−为,二面角ABED−−为,则min,,,=____.-14-【答案】【解析】作为填空题,可用特例法,不妨设平面A′DE⊥平面ABC
D,取DE中点O,连接A′O,则A′O⊥平面ABCD,由点O作各边的垂线OM,ON,OH,并连接A′M,A′N,A′H,则α=∠A′HO,β=∠A′NO,θ=A′MO,γ=90°,'''tan,tan,
tanAOAOAOOHONOM===,易知OHONOM=所以最小,故答案为:.16.直三棱柱111ABCABC−中,190,2BCAAA==,设其外接球的球心为O,已知三棱锥OABC−的体积为1,则球O表面积的最小值为__________.【答案】16.【解析】如图,在RtA
BC中,设,ABcBCa==,则22ACac=+.分别取11,ACAC的中点12,OO,则12,OO分别为111RtABC和RtABC外接圆的圆心,连12,OO,取12OO的中点O,则O为三棱柱外接球的球心.-1
5-连OA,则OA为外接球的半径,设半径为R.∵三棱锥OABC−的体积为1,即1()1132OABCacV−==,∴6ac=.在2RtOOC中,可得2222222212()()()112224OOACacacR++=+=+=+,∴222244(1)
4(1)1644acacSR+==++=球表,当且仅当ac=时等号成立,∴O球表面积的最小值为16.故答案为:16.17.如图,平面PAD⊥平面ABCD,PAPD=,四边形ABCD为平行四边形,45,2ABCABAC==
=,M为线段AD的中点,点N满足2PNND=.(Ⅰ)求证:直线PB平面MNC;(Ⅱ)求证:平面MNC⊥平面PAD;(Ⅲ)若平面PAB⊥平面PCD,求直线BP与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)见证明;(2)
见证明;(3)2211【解析】-16-(Ⅰ)证明:连接BD,交MC于点O,连接NO在平行四边形ABCD中,因为12MDBC=,所以12ODOB=,又因为2PNND=,即12NDPN=,所以ONPB,又因为ON平面MNC,PB平面MNC,所以直线PB平面
MNC.(Ⅱ)证明:因为PAPD=,M为线段AD的中点,所以PMAD⊥,又因为平面PAD⊥平面ABCD于AD,PM平面PAD,所以PM⊥平面ABCD在平行四边形ABCD中,因为45,2ABCABAC
===,所以ABAC⊥以A为原点,分别以,ABAC所在直线为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,0BCDM−−因为PM⊥平面,ABCD所以设()()1,1,0Ptt−,则()()()1,1
,,1,1,0,2,2,0APtCMAD=−=−−=−所以2200,1100CMADCMAP=−+==−+=所以,CMADCMAP⊥⊥,又因为APADA=所以CM⊥平面PAD,又因为CM平面MNC所以平面MNC
⊥平面PAD.(Ⅲ)解:因为()()2,0,0,1,1,ABAPt==−设(),,mxyz=为平面ABP的一个法向量则00xxytz=−++=不妨设()0,,1mt=−-17-因为()()2,0,0,1,1,DCD
Pt==−设(),,nxyz=为平面DCP的一个法向量则00xxytz=−+=不妨设()0,,1nt=因为平面PAB⊥平面PCD,所以mn⊥,所以210mnt=−=因为0t所以1t=所以()()3,1
,1,0,1,1BPn=−=,所以222sincos,11112BPn===所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为2211.18.在三棱柱111ABCABC−中,侧面11ABBA为菱形,160ABB=,22ABBC==,23AC=,1BBAC⊥。(1
)求证:平面11BBCC⊥平面11ABBA;(2)求二面角111AACB−−的余弦值。【答案】(1)见解析.(2)105.【解析】-18-(1)过点A作1AOBB⊥交1BB于点O,连接OC,在三角形AOC中,易得6,2AOBO==,∵11,,BBACBBAOACAOA⊥⊥=,∴1BB⊥平
面AOC,∴1BBCO⊥,∴在RtBOC△中,6OC=,在AOC中,222OAOCAC+=,∴90AOC=,即二面角1CBBA−−为直二面角,∴平面11BBCC⊥平面11ABBA;(2)由(1)知直线,,OAOBOC两两垂直,故以O为坐标原点,直线,,OAOBOC所在的
直线分别为,,xyz轴,如图建立空间直角坐标系则()()()()1116,0,0,6,22,0,0,2,0,0,22,6AABC−−−,∴()()11116,2,0,0,2,6BABC=−=−。设(),,mxyz=是平
面111BAC的法向量,则1111·0·0mBAmBC==,即620260xyyz−=−+=,取1x=,则3,1yz==,∴平面111BAC的一个法向量为()1,3,1m=,同理,平面11
AAC的一个法向量为()1,0,1n=,-19-∴10cos,5mnmnmn==,即二面角111AACB−−的余弦值为105.19.如图,在直四棱柱1111ABCDABCD−中,底面ABCD是矩形,1AD与1AD交于点E,124AAADAB===.
(1)证明:AE⊥平面ECD.(2)求直线1AC与平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2)69.【解析】(1)证明:因为四棱柱1111ABCDABCD−是直四棱柱,所以1AA⊥平面ABCD,则1AACD⊥.又CDAD⊥,1AAADA=,所以CD⊥平
面11AADD,所以CDAE⊥.因为1AAAD⊥,1AAAD=,所以11AADD是正方形,所以AEED⊥.又CDEDD=,所以AE⊥平面ECD.(2)因为四棱柱1111ABCDABCD−是直四棱柱,底面ABCD是矩形,所以以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz−,则()()10,0,0,0,0,4AA,()()2,4,0,0,2,2CE,()2,4,0AC=,()0,2,2AE=,()12,4,4AC=−设平面EAC的法向量为(),,nxyz=r-20-由nAC⊥,nAE⊥,可得240,220xyyz+=+=,令1z=,则()2,
1,1n=−,设直线1AC与平面EAC所成的角为,则116sin9ACnACn==.所以直线1AC与平面EAC所成角的正弦值为69.20.如图,在四棱锥SABCD−中,BCD为等边三角形,,120AD
ABSDSBBAD====(1)若点,MN分别是线段,SCCD的中点,求证:平面//BMN平面SAD;(2)若二面角SBDC−−为直二面角,求直线AC与平面SCD所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;
(2)1313【解析】-21-(1)BCD为等边三角形,且N是线段CD的中点90BND=ADAB=,120BAD=30ADBABD==90ADC=//BNADBN平面SAD,AD平面SAD/
/BN平面SAD点,MN分别是线段,SCCD的中点//MNSDMN平面SAD,SD平面SAD//MN平面SADMNBNN=平面//BMN平面SAD(2)设AC交BD于点O,连接SO由对称性知,O为BD的中点,且ACBD⊥,SOBD⊥二面角SBDC−−为直二面
角SO⊥平面ABCD不妨设2AB=,则1SOAO==,3BODO==,3CO=以O为坐标原点,,,OCOBOS所在直线分别为,,xyz轴,建立如图所示空间直角坐标系则()0,0,1S,()1,0,0A−,()3,0,0C,()0,3,0D−()3,3,0DC=,()0,3,
1DS=,()4,0,0AC=设平面SCD的法向量为(),,nxyz=则00nDCnDS==,即:33030xyyz+=+=令3y=,得1x=−,3=−z()1,3,3n=−−413cos,13413A
CnACnnAC===直线AC与平面SCD所成角的正弦值为1313-22-21.如图,在四棱锥PABCD−中,已知PA⊥平面ABCD,ABC为等边三角形,22PAAB==,ACCD⊥,PD与平面PAC所成角的正切值为155.(Ⅰ)证明://BC平面PAD;(Ⅱ)若M
是BP的中点,求二面角PCDM−−的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)11525.【解析】(Ⅰ)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD⊥又ACCD⊥,CAPAA=I,所以CD⊥平面PAC,所以DPC为PD与平面PAC所成的角.在RtPCDV中,145PC
=+=,所以3CD=所以在RtPCDV中,2AD=,60CAD=.又60BCA=,所以在底面ABCD中,//BCAD,又AD平面PAD,BCË平面PAD,所以//BC平面PAD.(Ⅱ)解:取BC的中点N,连接AN,则ANBC⊥,由(Ⅰ)知//B
CAD,所以ANAD⊥,分别以AN,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.-23-则(0,0,2)P,31,,022C,(0,2,0)D,31,,144M−所以33,,022CD=−
uuur,(0,2,2)PD=−,39,,144DM=−uuuur设平面PCD的一个法向量为()1111,,nxyz=,由1100nCDnPD==,即1111330220xyyz−+=
−=,得11113xyzy==,令11y=,则1(3,1,1)n=.设平面CDM的一个法向量为()2222,,nxyz=,由2200nCDnMD==,即222223303940xyxyz−+=−+=,得22223
32xyyz==,令21y=,则233,1,2n=uur.所以1212123311152cos,259||||5314nnnnnn++===++uruururuururuur,由图形可得二面角PCDM−−为锐角
,所以二面角PCDM−−的余弦值为11525.22.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是边长为2的菱形,DE⊥平面ABCD,∥BFDE,222,60DEBFDAB===.-24-(1)证明:平面ACF⊥平面BDEF;(2)求二面角E
ACF−−的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)33.【解析】(1)连接BD交AC于点O,因为ABCD是菱形,所以ACBD⊥,∵DE⊥平面ABCD,∴DEAC⊥,又BD平面BDEF,DEÌ平面BDEF,BDDED=,∴AC⊥平面BDEF,∴平面ACF⊥平面BDEF.(2
)取EF的中点G,连接OG,则OGDE∥,∵DE⊥平面ABCD,∴OG⊥平面ABCD,∴,,OGACBD两两垂直.以,,ACBDOG所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图),则()300A,,,(0,1,0)B,
()300C,,−,(1,0,0)D−,()0122E−,,,()012F,,()3122AE=−−,,,()2300AC=−,,,()022EF,,=−,(312)AF=−,,,()312CF=,,,则0EFAF=,0EF
CF=,所以EFAF⊥,EFCF⊥,且CFAFF=,-25-所以EF⊥平面AFC,所以平面AFC的一个法向量为()022EF,,=−.设平面AEC的一个法向量为(,,)nxyz=,则00nAEnAC==,∴32200xyzx−−+==,得220yzx
==,令2z=,得平面AEC的一个法向量()042n=,,,从而63363nEFcosnEFnEF,===.即二面角EACF−−的余弦值33.