【文档说明】【精准解析】北师大版必修5练案：第1章2第4课时等差数列的综合应用【高考】.docx，共(9)页，49.142 KB，由小赞的店铺上传

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[练案6]A级基础巩固一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(A)A．72B．54C．36D．18[解析]∵a4＝18－a5，∴a4＋a5＝18.∴S8＝8(a1＋a8)2＝4(a1＋a8)＝4(a4＋a5)＝4×18＝72

.2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于(A)A．310B．13C．18D．19[解析]据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差

数列．设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴S6S12＝3k10k＝310.3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则

使得Sn达到最大值的n是(B)A．21B．20C．19D．18[解析]由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B．4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，

则其公差为(B)A．2B．3C．4D．5[解析]设等差数列公差为d，∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.5．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，

则a10＝(B)A．172B．192C．10D．12[解析]本题主要考查等差数列的通项及求和公式．由题可知：等差数列{an}的公差d＝1，因为等差数列Sn＝a1n＋n(n－1)d2，且S8＝4S4，代入计算可得a

1＝12；等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则a10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B．6．首项为18，公差为－3的等差数列，当前n项和Sn取最大值时，n等于(D)A．5或6B．6C

．7D．6或7[解析]an＝18＋(n－1)×(－3)＝21－3n，令an＝21－3n≥0，an＋1＝21－3(n＋1)≤0，解得6≤n≤7，故n等于6或7.二、填空题7．(2019·西安高

二检测)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为2000米．[解析]假设20位同学是1号到20号依次排列

，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋9×82×

20＋10×20＋10×92×20＝2000.8．(2017·全国卷Ⅱ理，15)等差数列{an}的前n项和Sn，a3＝3，S4＝10，则k＝1n1Sk＝2nn＋1.[解析]设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝a1＋2d＝3，S4＝4

a1＋4×32d＝10，得a1＝1，d＝1.∴Sn＝n×1＋n(n－1)2×1＝n(n＋1)2，1Sn＝2n(n＋1)＝2(1n－1n＋1)．∴k＝1n1Sk＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＝2(1－12＋12－13＋13－1

4＋…＋1n－1n＋1)＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.三、解答题9．已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－3，求数列的通项公式an.[解析]∵数列的前n项和Sn＝5n－3，∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－3)－(5n－

1－3)＝4·5n－1，∴a1＝S1＝2不满足上式．∴数列的通项公式an＝2(n＝1)4·5n－1(n≥2).10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.(

1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．[解析](1)设{an}的首项为a1，公差为d，由已知有a1＋2d＝1212a1＋12×112d>013a1＋13×122d<0，将a1＝12－2d代入两个不等式，消

去a1得24＋7d>012＋4d<0⇔－247<d<－3.(2)解法一：由S12>0S13<0⇔12a1＋12×112d>013a1＋13×122d<0⇔a1＋112d>0a1＋6d<0⇔a1＋112

d>0a7<0.因为d<0，a6＝a1＋5d>a1＋112d>0，可知a1>a2>…>a6>0>a7>…，所以S1，S2，…，S12中最大的是S6.[另法：S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，得a6＋a7>0

，a7<0.所以a6>－a7>0.所以S6最大．]解法二：Sn＝na1＋n(n－1)2d＝n(12－2d)＋12n(n－1)d＝d2n2＋24－5d2n，二次函数y＝d2x2＋24－5d2x的对称轴方程为x＝－24－5d22·d2＝52－12d，由于－247<d<－3，有

6<52－12d<6.5，所以当n＝6时，S6最大．B级素养提升一、选择题1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为(B)A．5B．6C．7D．8[

解析]解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝－112d，∴an＝－112d＋(n－1)d＝nd－132d，由an≥0an＋1<0，得nd－132d≥0(n＋1)d－132d<0，∴512<n≤612

∴n＝6，解法二：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，∴前六项之和S6取最大值．2．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(C)A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>0

[解析]本题考查等差数列、指数函数的性质．数列{2a1an}递减，∴{a1an}递减．∴a1an－a1an－1＝a1(an－an－1)＝a1d<0.本题的关键是利用指数函数单调性判定{a1an}递减．3．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与

公差分别是(A)A．12，12B．12，1C．12，2D．1，12[解析]∵S偶－S奇＝5d＝15－12.5＝2.5，∴d＝0.5.由10a1＋10×92×0.5＝15＋12.5＝27.5，∴a1＝0.5，故选A．4．已知数列{an}为等差数列，若a11a10<－1

，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(B)A．11B．19C．20D．21[解析]∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，∵a11a10<－1，∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，∴S20＝20(a1＋a20)2＝10(a10＋a11)<0，又

S19＝19(a1＋a19)2＝19a10>0，故选B．二、填空题5．设数列{an}的通项为an＝3n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝89.[解析]|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10)＝(1

＋4＋7)＋(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20)＝89.6．在直角坐标平面上有一系列点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对一切正整数n，点Pn位于函数y＝3x＋134的图像上，且Pn的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{xn}，则Pn的坐标为(－n－

32，－3n－54).[解析]∵xn＝－52＋(n－1)·(－1)＝－n－32，∴yn＝3·xn＋134＝－3n－54，∴Pn点的坐标为(－n－32，－3n－54)．三、解答题7．数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n－8.(1)求{

an}的通项公式；(2)求{|an|}的前n项和Tn.[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝－14；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－8，故an＝－14(n＝1)2n－8(n≥2).(2)由an＝2n－8可知：当n≤4时，an≤0，当n≥5时，

an>0.∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋7n＋8，当n≥5时，Tn＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－7n－8－2×(－20)＝n2－7n＋32，∴Tn＝－n2＋7n＋8(1≤n≤4)n2－7n＋32(n≥5

).8．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[解析]解法一：由“片段和”性质知，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列．

设其公差为d′.该数列前10项的和为：S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100＝10.10S10＋10×92d′＝10.将S10＝100代入其中得d′＝－22.∴S110－S100＝11S10＋11

×102d′＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.解法二：S10＝100，S100＝10，∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90(a11＋a100)2＝－90，∴a11＋a100＝－

2.又a1＋a110＝a11＋a100＝－2，∴S110＝110(a1＋a110)2＝－110.解法三：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋n(n－1)2d，则Snn＝a1＋d2(n－1)．∴数列{Snn}是等差数列，公差为d2.∴S100100

－S1010＝(100－10)d2，且S110110－S100100＝(110－100)d2，将已知数值代入上式，消去d，可得S110＝－110.解法四：设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴102a

＋10b＝100，1002a＋100b＝10，∴a＝－11100，b＝11110.∴Sn＝－11100n2＋11110n.∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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