【文档说明】专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（原卷版）.docx，共(17)页，791.243 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

【经典剖析1】如图，在RtABC中，90C=，9AC=，4BC=，以点C为圆心，3为半径做C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是C上一个动点，则13PAPB+的最小值为17．在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.ABPO在平

面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作

《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们

发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！若，设，如图所示：由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得，也就是说，当点P与点C、D重合时，符合条件；当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接

PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定

比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，解得，.又，即，整理得，即，当点P在一个以O为

圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需，就可以构造出上述的A字型相似（详见本专辑的相

似模型）.如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。故本题求

“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算PAkPB+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造

母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PAkPB+的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2.计算出这两条线段的长度比OPkOB=3.在OB上取一点C，使得OCkOP=，即构造△POM∽△BOP，则PCkPB=，PCkPB

=4.则=PAkPBPAPCAC++，当A、P、C三点共线时可得最小值【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PAPB+的最小值为_________

_．【例题2】如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①BPAP21+，②BPAP+2，③BPAP+31，④BPAP3+的最小值.【例题3】如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为10,点B在⊙C

上一动点，ABOB55+的最小值为________.EABCDPMPDCBA【例题4】如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为_____

___.【例题5】如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【例题6】如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+P

C的最小值为；PD+4PC的最小值为．【例题7】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则12PDPC−的最大值为_______．ABCDP【例题8】（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，

那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1图2【例题9】如图，抛物线y=﹣x2+

bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在

y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【例题10】如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0

），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝

，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【例题11】如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为_

_______.【例题12】如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.【例题13】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，P为圆C上一动点，连接

AP、BP，则的最小值是.【例题14】如图，的半径为，，MO＝2，∠POM＝90º，Q为上一动点，则的最小值为.【例题15】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.【例题16】如图，在Rt△ABC中

，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD∽△ACF；（3）点E是AB边上任意

一点，在（2）的情况下，试求出EF＋FA的最小值.【例题17】如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝

﹣x2＋bx＋c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【例题18】问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，

P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽

△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP＋PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120

°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【变式1】如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最

小值为.【变式2】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值为.【变式3】如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2

PD＋PC的最小值是.【变式4】如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上.（1）求2PC＋PD的最小值；（2）求2PC＋3PD的最小值.【变式5】如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0

），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条

件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【变式6】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP

，求AP＋BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．请你完成余下

的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB

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