【文档说明】福建省仙游一中2020-2021学年高一12月竞赛数学试题答案.pdf，共(8)页，490.511 KB，由小赞的店铺上传

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仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页12020年12月仙游一中高一数学竞赛试卷一、填空题（共10小题，每小题8分，满分80分。请直接将答案写在题中的横线上）1.已知集合M满足条件：1,2,3,,5121,2,3,,201

3M，则符合条件的集合M共有个。【答案】150122.函数2281448yxxxx的最大值是．【答案】23．【解答】(8)(6)(8)86yxxxxxxx686xxx，其定义域为68x，当6x时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的

值达最大，其值为23．3．设实数357111logloglogx，则x________.（这里x表示不超过x的最大整数.）【答案】4【解答】log3log5log7log105x，105x，由4

105，5105，所有4x.4．已知函数254xxyaa（0a，且1a）在区间11，上的最小值为54，则254xxyaa在区间11，上的最大值为。【答案】10【解答】设xta

，则2254154()24xxyaat在52，上为增函数。01a时，1taa，，2541()24yt在1aa，上为增函数。∴2min5415()

244ya，12a。2max541(2)1024y。1a时，1taa，，2541()24yt在1aa，上为增函数。∴2min15415()244ya，2a。2max541(

2)1024y。5．已知()fx为R上增函数，且对任意xR，都有()34xffx，则(2)f。【答案】10【解答】依题意，()3xfx为常数。设()3xfxm，则()4fm，()3xfxm。仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷

解析第页共8页2∴34mm，340mm。易知方程340mm有唯一解1m。∴()31xfx，2(2)3110f。6．已知实数x，y满足14xyxy，且1x，则(1)(2)xy的最小值为。【答案】27【解答】由14xyxy知，411xyx

。∴413(1)(21)(1)(2)(1)(2)11xxxxyxxx。设1xt，则0t，3(1)(21)3(2)(21)1(1)(2)6()15271xxttxytxtt。当且仅当1tt，即1t，2

x，7y时等号成立。∴(1)(2)xy的最小值为27。7.实数1210,,,xxx满足10101114,26,iiiixx，则1210,,,xxx的平均值x=__________【答案】101171(1)105iix【解答】1010

1011110[(1)(2)]1210iiixxxx所以有10101114,2612iiiiixxx，故x=101171(1)105iix8.111135799S

的整数部分是__________【答案】1111[]835799【解答】：11123212212121kkkkk，即23212kk121212221kkk.取1,2,,49k，得49个式子，并相加，得10131

11199135799.显然111135799在8与9之间，故1111[]8357999.一个正整数若能写成20827abc（,,abc为非负整数）形式，则称它为“好数”，则集合1,2,,200中好数的个数为__________．【答

案】153【解答】将1,2,,200中的数按除以8的余数分类，不妨记mod8ixxi，则可分为仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页30,1,2,7八类，其中204，27

3，则0中最小的数为8，因为820081270，最大的数是200，因为200200825270（还有其他不同的,,abc满足要求），共25个；1中最小的数为81，因为8120080274，最

大的数是193，因为193200814274，共15个；……依次类推，可列表如下：故共有：25+15+16+22+23+13+19+20=153个．10．已知函数*()1xxfxqqxpqNpqpqpp，若为无理数，若，

其中，，且、互质，，则函数()fx在区间78()89，上的最大值为。【答案】1617【解答】若x为有理数，且78()89x，。设78()89axa，（a，*N），由7889aa知，988778aaaa，78a。当1时，a不存在；当2

时，存在唯一的15a，此时1517x，16()17fx。当3时，设7am，其中11m，且*mN，此时71()8mfxm。∵1671917()(817)017817(8)17(8)mmmmmm

，∴若x为有理数，则1517x时，()fx取最大值1617。又x为无理数，且78()89x，时，816()917fxx。综合以上可知，()fx在区间78()89，上的最大值为1617。二、解答题（本大题满分70分，第11题20分，第12题20分，第

13题30分）11.已知函数22ln24121xfxxx.（Ⅰ）若fx在区间,kk，0k上的值域为,mn，求mn的值；余数[0][1][2][3][4][5][6][7]最小

开始数8817427201015447最大数200193194195196197198199个数2515162223131920仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页4（Ⅱ）若不等式24222xxxfft对任意xR均成立，求实数t的取值范围

.【解答】（Ⅰ）22221ln24111ln24112121xxxfxxxxx，不妨令221ln24121xxgxxx，则1gxfx，易证1gxfx

在R在单调递增，且为奇函数，于是0gkgk，所以112mnfkfkgkgk.（Ⅱ）由上述分析知，241221124220xxxxxxfftggt

，所以224222422212xxxxxxxxggttt，221t.12．设)3(log)2(log)(axaxxfaa，其中0a且1a．若在区间]4,3[aa上1)(xf恒成立，求a的取值范围．【解答

】22225()log(56)log[()]24aaaafxxaxax．由,03,02axax得ax3，由题意知aa33，故23a，从而53(3)(2)022aaa，故函数225()()24aagxx在区间]4,3[aa

上单调递增.---------------------5分（1）若10a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递减，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)992(log)3(2aaafa．在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)992(log

2aaa成立，从而aaa9922，解得275a或275a．结合10a得10a．------------------------------------------10分（2）若231a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递增，所以)(xf在区间]4,3

[aa上的最大值为)16122(log)4(2aaafa.在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)16122(log2aaa成立，从而aaa161222，即0161322aa，解得4411344113a．

易知2344113，所以不符合．------------------------------------------15分仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页5综上可知：a的取值范围为(0,1)．--------------------------

----------------20分13．如图，在五边形ABCDE中，BCAE∥，ABBCAE，ABCCDE，M为CE中点，O为BCD△的外心，且OMMD。延长DM至点K，使得MKMD。（1）求证：BKCBDC

；（2）求证：2ABCBDA。【解答】（1）∵M为KD中点，且OMMD，∴OKOD，点K在BCD△的外接圆上。∴BKCBDC。…………10分（2）延长AE至点T，使得ETBC。联结TB，TC，TD，TK，KE。由ABBCAE知，ATAB。又BCAE

∥。∴CBTBTAABT，2ABCBTA，且四边形BCTE为平行四边形。∴M也是BT中点。……………20分∴四边形BKTD为平行四边形，BKDKDT。四边形KCDE为平行四边形，CKDKDE。∴BKCB

KDCKDKDTKDEEDT。∴BDCBKCEDT。………25分∴BDTBDEEDTBDEBDCCDEABC。∴180BDTBATABCBAT。∴B、A、T、D四点共

圆。∴BDABTA。∴22ABCBTABDA。………30分三、奖励题（本大题满分50分，第1题5分，第2题10分，第3题15分，第4题20分）奖励题1．已知数列na满足132a，12nnaan（*nN），则nan的最小

值为。【答案】313【解答】由132a，12nnaan知，12(1)nnaan，122(2)nnaan，……，2121aa，132a。上述n个等式左右两边分别相加，得(1)32nann。∴321nannn，又5n时，525nan；

6n时，313nan。∴6n时，nan取最小值313。奖励题2.已知24，38，1724，则tantantantantantan=________仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页6【

答案】-3【解答】：.发现3，23.又tantantantantantantantantan111tantantan3，又tantantantantantan11tan3

，又tantantantantantan11tan3，三式相加得tantantantantantan3.奖励题3．设1a,2a,…,na为正数，且121na

aa，求证：2222212121111()()()nnnaaaaaan【证明】因1a,2a,…,na为正数，由Cauchy不等式得222112121)111()111)((nnnnaaaaaaaaaaaa

即22121)111)((naaaaaann．………………6分又121naaa，所以221111naaan．………………8分对111aa,221aa,…,nnaa1和实数1,1,,1n，由Cauchy不等式得22

2222212121212111111[)()]111[111]nnnnnaaaaaaaaaaaa（）（（）（）（）（）即222212121212111111[)()]()nnnnaaanaaaaa

aaaa（）（,………………10分即222221212111[)()](1)nnaaannaaa（）（，………………13分所以2222212121111()()()nnnaaaaaan．……………

…15分仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页7奖励题4.设，，为互不相等的三个实数，满足,,0,，且.求证：（Ⅰ）3coscoscos2；（Ⅱ）coscoscos1.【解答】：（Ⅰ）先证c

oscoscos0，若,,0,2，显然coscoscos0成立；若,,其中一个钝角，不妨设2，coscoscoscoscoscos1coscoscos

sinsin0下证3coscoscos2coscoscoscoscoscos1coscossinsincos

221cossincos22coscos令22cost，则22221133coscoscos1122222ttttt，当且仅当1t，3

，3，等号取得，显然题意知，等号不能取到，所以3coscoscos2.【另证】（方法二）：下证：3coscoscos2coscoscoscoscoscos22c

oscos2cos122222cos2cos12221332cos2222当且仅当3，等号取得，显然题意知，等号不能取到，所以3cosco

scos2.仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页8【另证】（方法三）：下证：3coscoscos2coscoscoscoscoscos22coscos2cos122222112cos

coscos1222222211332coscossin2222222当且仅当3，等号取得，显然题意知，等号不能取到，所以3coscoscos2（Ⅱ）

证明：欲证coscoscos1，因为coscoscoscoscoscos，只需证：coscoscos1，下证：coscoscos1.coscosco

scoscoscos22coscos2cos12222coscos2cos12224cossinsin11222【另证】（方法二

）：1coscoscoscossinsincoscossinsincossincossincoscossin

cossincoscossincoscoscos显然题意知，等号不能取到，所以coscoscos1.