【文档说明】江苏省海安县曲塘中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 含答案.doc，共(7)页，610.500 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省2020-2021学年度第一学期曲塘中学高二数学期中考试试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．

．．．．．．．）1．抛物线y＝12x2的焦点坐标是()A．(0，1)B．(0，12)C．(0，14)D．(0，18)2．若实数数列1，b，81成等比数列，则圆锥曲线x2＋2yb＝1的离心率是()A．10或223B．3或63C．63D．1

3或103.数列{an}中，若a1＝2，an+1＝22nnaa+，则a7的值为()A．18B．17C．27D．144．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”．其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂

直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．142π平方尺B．140π平方尺C．138π平方尺D．128π平方尺5．

在空间四边形ABCD中，已知AD＝2，BC＝22，E、F分别是AB、CD的中点，EF＝5，则异面直线AD与BC所成角的大小为()A．6B．3C．4D．346．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同

一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列且a1＝3，前41项的和为103，则这个数列的公积为()A．2B．3C．6D．87．(步步高选修2-1B本-P94T12改编)已知P为抛物线y2＝4

x上的一个动点，直线l1：x＝－2，直线l2：4x＋3y＋11＝0，则P到直线l1、l2的距离之和的最小值为()A．22B．2C．3D．48．已知点F1、F2分别是双曲线C：x2－22yb＝1(b＞0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足│F

1F2│＝2│OP│，tan∠PF2F1≥3，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(102，＋∞)B．(1，102]C．(1，102)D．(102，2]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计2

0分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得3分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）9．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列命题正确的是()A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为4B．点C到平面A

BC1D1的距离为22C．异面直线D1C和BC1所成的角为4D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径为3210．已知双曲线C过点(3，2)且渐近线为y＝±33x，则下列命题正确的是()A．双曲线C的方程为23x－y2＝1B．双曲线C的离心率为3C．曲线y＝ex-2－

1经过C的一个焦点D．直线x－2y－1＝0与C有两个公共点11．数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝14，an＋4Sn-1Sn＝0(n≥2)，则下列命题正确的是()A．Sn＝14nB．an＝－14(1)nn−C．数列

{an}为递增数列D．数列{1nS}为递增数列12．如图，一个杯座圆P放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为F的抛物线，OF＝2p(p＞0)，O1为杯口圆的圆心，OO1足够长，杯脚OP＝2p．现有一根长l(l＞0)的细木棍DE放在此酒杯的杯身内，DE的中点M在桌面上的

投影为N，则下列命题正确的是()A．若l＝p，则MN的最小值为3pB．若l＞2p，则MN的最小值为32lp+C．若l＜2p，则MN的最小值为28lp＋2pD．若l＝2p，则MN的最小值为52p三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题

卡相应位置上．．．．．．．．．）13．以双曲线24x－25y＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．14．右图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的_

_______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)15．若A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，AC＝13AB，则点C的坐标为________．16．已知过椭圆22xa＋22yb＝1(a＞b＞0)的左顶点A(－a

，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ＝2QA，则椭圆的离心率为________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)在直三棱

柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝22，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．18．(本小题满分12

分)在①bn＝nan；②bn＝2lognnanan，为奇数，为偶数；③bn＝21221(log)(log)nnaa++这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．问题：已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，

a3＋1成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若________，求数列{bn}的前2n项和T2n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝14，且an+1＝(1)nnnana−−(n≥2，n

∈N*)．(1)求a3、a4的值；(2)设bn＝11na+－1(n∈N*)，试用bn表示bn+1，并求{bn}的通项公式；*(3)设cn＝1sin3coscosnnbb+(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn．20．(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，已

知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA＝2AB＝2，AC⊥CD，直线PD与平面PAC所成角的正切值为155．(1)证明：BC∥平面PAD；(2)若M是BP的中点，求二面角P-CD-M的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C：22

xa＋22yb＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，│AB│＝7且│AF1│＋│AF2│＝4．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1＋k2＝3，

求直线l的方程．22．(本小题满分12分)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与椭圆C2：22x＋y2＝1有一个相同的焦点，过点A(t，0)(t＞0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P、Q两点，P关于x轴的对称点为M．(1)求抛物线C1的方程；(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该

定点的坐标；若不是，请说明理由．江苏省2020-2021学年度第一学期曲塘中学高二数学期中考试试卷答案一、单项选择题1．B2．A3.C4．C5．C6．C7．D8．B二、多项选择题9．ABD10．AC11．AD12．B

CD三、填空题13．29x＋25y＝114．充分不必要15．(103，－1，73)16．255四、解答题17．解：(1)因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又CA、CB平面ABC，所以CC1⊥CA，CC

1⊥CB；因为∠ACB＝90°，所以CA⊥CB；以{CA、CB、1CC}这组正交基底建立空间直角坐标系，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(4，0，22)，B1(0，4，22)，C1(0，0，22)；因为A1M＝3

MB1，所以M(1，3，22)；因为AM＝(－3，3，22)，1AC＝(－4，0，－22)，所以cos<AM，1AC>＝11AMACAMAC＝42624＝3939，所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值

为3939；(2)设1AM＝λ11AB，λ∈[0，1]，所以M(4－4λ，4λ，22)，AM＝(－4λ，4λ，22)；设平面ABC1的一个法向量n＝(x，y，z)，由n·AB＝0，n·1AC＝0得，22xyxz==，其一组解为112

xyz===，所以n＝(1，1，2)；因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，所以│cos<AM，n>│＝│AMnAMn│＝243282+＝sin30°，得λ＝12(负舍)，即M为A1B1的中点．18．解：(1)设数列{an}的公比为q，q≠0，因为a1＝1，a1，a2＋

1，a3＋1成等差数列，所以2(a2＋1)＝a1＋a3＋1，2(a1q＋1)＝a1＋a1q2＋1，即q2－2q＝0，所以q＝2或0(舍)；所以an＝2n-1；(2)选①：因为bn＝nan，所以bn＝n·2n-1，则T2n＝1

·20＋2·21＋…＋2n·22n-1，2T2n＝1·21＋2·22＋…＋2n·22n，两式相减得，－T2n＝20＋21＋…＋22n-1－2n·22n＝21212n−−－2n·22n＝(1－2n)22n－1，所以T2n＝(2

n－1)22n＋1．(2)选②：因为bn＝2lognnanan，为奇数，为偶数＝121nnnn−−，为奇数，为偶数，所以T2n＝20＋1＋22＋2＋…＋22n-2＋(2n－1)＝(20＋22＋…＋22n-2)＋(1

＋3＋…＋(2n－1))＝413n−＋n2．(2)选③：因为bn＝21221(log)(log)nnaa++＝1(1)nn+＝1n－11n+，所以T2n＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(12n－121n+

)＝1－121n+＝221nn+．19．解：(1)在数列{an}中，因为an+1＝(1)nnnana−−，所以a3＝222aa−＝17，a4＝3323aa−＝110；(2)因为bn＝11na+－1，所以b1＝21a－1＝3；因为an+1＝(1)nnnan

a−−(n≥2，n∈N*)，所以11na+＝(1)nnnana−−，即11na+－1＝(1)nnnana−−－1，即bn＝(1)(1)nnnnanana−−−−＝1nn−(1na－1)＝1nn−bn-1，即n≥2时，

bn＝1nn−bn-1，所以bn+1＝1nn+bn，n∈N*；所以bn＝1nn−bn-1＝1nn−·12nn−−·bn-2＝1nn−·12nn−−·…·21·b1＝nb1＝3n，n∈N*．20．解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD；因为P

A⊥CD，AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA、AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC，所以直线PD与平面PAC所成角为∠DPC；在Rt△PCD中，PC＝5，tan∠DPC＝155，所以CD＝3；在Rt△ACD中，AC＝1，CD＝3，所以AD＝2，∠DAC＝60°；在四边形ABCD中，因为∠DAC＝∠

ACB，所以BC∥AD；因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD；(2)取BC的中点N，在等边△ABC中，AN⊥BC，又BC∥AD，所以AN⊥AD；因为PA⊥平面ABCD，AN

、AD平面ABCD，所以PA⊥AN，PA⊥AD；以{AN，AD，AP}这组正交基底建立空间直角坐标系，所以P(0，0，2)，B(32，－12，0)，C(32，12，0)，M(34，－14，1)，D(0，2，0)；设平面PCD的一个法向量1n＝(x1，y1，z1)，由PC·1n＝0，PD·1n＝

0得，11111312022220xyzyz+−=−=，其一组解为111311xyz===，所以1n＝(3，1，1)；设平面MCD的一个法向量2n＝(x2，y2，z2)，由MC·2n＝0，MD·2n＝0得，222222

3304439044xyzxyz+−=−+−=，其一组解为222233231xyz===，所以2n＝(233，23，1)；因为cos<1n，2n>＝1212nnnn＝11525，所以二面角P-CD-M

的平面角的余弦值为11525．21．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，c＞0，因为│AB│＝7，所以a2＋b2＝7；又│AF1│＋│AF2│＝4，所以a＋c＋a－c＝4；所以a＝2，b＝3，c＝1，故椭圆C的方程为24x＋23y＝1；(2

)在椭圆C中，A(－2，0)，F2(1，0)；设直线l的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将x＝my＋1代入3x2＋4y2＝12得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＞0，y1＋y2＝－2634mm+，y1y2＝－2934m+；

因为k1＝112yx+，k2＝222yx+，所以k1＋k2＝112yx+＋222yx+＝12211212122()2()4xyxyyyxxxx++++++＝1221121212(1)(1)2()(1)(1)2(2)4myymyyyymymymy

my+++++++++++＝12122121223()3()9myyyymyymyy+++++＝－m＝3，所以m＝－3，所以直线l的方程为x＋3y－1＝0．22．解：(1)因为椭圆C2的两焦点分别为(1，0)、(－1，0)，所以抛物线C1的焦点为(1，0)，故2p＝1，得p＝2，所以抛物线

C1的方程为y2＝4x；(2)由于直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－t)，k≠0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则M(x1，－y1)；将y＝k(x－t)代入y2＝4x得，k2x2－(6k2＋4)x＋k2t2＝0，x1＋x2＝2264

kk+，x1x2＝t2；设直线MQ的方程为y＝mx＋n，代入y2＝4x得，m2x2＋2(mn－2)x＋n2＝0，Δ＝4－4mn＞0，x1＋x2＝22(2)mnm−，x1x2＝22nm；因此22nm＝t2，所以n＝±mt(若n＝－mt，直线MQ的方程为y＝mx－mt，恒过点为(t，0)，不合题意，故

舍)，此时直线MQ的方程为y＝mx＋mt，恒过点为(－t，0)．另，若此题用y来做，可以避免出现两解的情况．