【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 8-4 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析.docx，共(19)页，999.586 KB，由小赞的店铺上传

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8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面练习1.判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）书桌面是平面.（2）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.【答案】（1）×；（2）×；（3）√.【解析】【分析

】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据

公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.2.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面

【答案】C【解析】【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两

条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查

公理2的理解和运用，属于基础题.3.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.【答案】4个【解析】【分析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.【详解】可确定4个平面，如图：由不共线的三个点

确定一个平面可知，不共线的四个点可确定平面ABC,平面ACD,平面ABD,平面BCD，共4个平面.【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面内，点B在平面外；（2）直线a经

过平面外的一点M；（3）直线a既在平面内，又在平面内.【答案】（1）,AB，如图.（2）,MMa，如图.（3）,aa，如图.【解析】【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.【详解】（1）,

AB，如图：（2）,MMa，如图：（3）,aa或=aI，如图：【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判

断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，l=，aA=，aB=.在（2）中，l=，a，b，alP=，blP=，abP=.例2：如图8.4-17，ABB=，AÏ，a，Ba.直线AB与a具有怎样位置的关系？为什么？解

：直线AB与a异面直线.理由如下.若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为，则B，a.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与重合，从而AB，进而A，这与AÏ矛盾.所以直线AB与a是异

面直线.练习5.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与bA.共面B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a与b的位置关系.【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a与b平行或异面.故选：D.【点睛】本题考查

空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.6.设直线ab，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】按直线的三种位置关系分析．是【详解】如图，长方体ABCDABCD

−中，当'AB所在直线为a，BC所在直线为b时，a与b相交；当'AB所在直线为a，BC所在直线为b时，a与b异面.故选：D.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．7.如图，在长方体ABCDABCD−中，判定直线AB与

AC，直线AC与AC，直线AB与AC，直线AB与CD的位置关系.【答案】见解析【解析】【分析】按直接的三种位置关系判断．【详解】解：直线AB与AC相交；直线AC与AC平行；直线AB与AC异面；直线AB与CD异面.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，

属于基础题．8.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）若直线l上有无数个点不在平面内，则//l.（）（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.（）（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，

那么另一条也与这个平面平行.（）（4）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】【分析】（1）举反例说明；（2）分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面

外的那条直线异面；（3）把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；（4）由线面平行的定义判断．【详解】（1）当直线1与平面相交时，直线1上也有无数个点不在平面内；（2）也可能异面；（3）也可能直线在平面内；（4）∵1∥a，∴l与没有公共

点，∴l与内任意一条直线都没有公共点.答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【点睛】本题考查线面平行的定义与性质．掌握线面平行的定义是解题基础．9.已知直线,ab，平面,，且a，b，//．

判断直线,ab的位置关系，并说明理由．【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【解析】【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线,ab的位置关系是平行直线或异面直线；理

由如下：由//，直线,ab分别在平面，内，可知直线,ab没有公共点．因为若,ab有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，这与是平面，平行矛盾．因此直线,ab不相交，它们是平行直线或异面直线．习题8.4复习巩固10.画出满足下

列条件的图形：（1）,,,ababAcA==；（2）,,,//,//lABCDABlCDl=【答案】见解析【解析】【分析】由题意直接画图即可.【详解】如图【点睛】本题主要考查的是空间图形的画法，直线和平面的位置关系，基

本知识的考查，是基础题.11.经过同一条直线上的3个点的平面A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数多个D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.故选：

C.【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.12.若直线a不平行于平面且a，则下列结论成立的是A.平面内的所有直线与a异面B.平面内不存在与a平行的直线C.平面内存在唯一的直线与a平行D.平面内的直线与a都相交【答案】B【解析】【分析】由题意知直线a与平面相交，

依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a与平面相交，则平面内的直线与a可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.13.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）两两相交且不共点的三条直线

确定一个平面.（）（2）四边形可以确定一个平面.（）（3）若a，b是两条直线，,是两个平面，且,ab，则a，b是异面直线.（）【答案】①.√②.×③.×【解析】【分析】根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行

判断即可.【详解】对于(1)，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面，(1)正确；对于(2)，当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，(2)错误；对于(3)，若a，b是两条直线，,是两个平面，且,ab，则a，b

是平行、相交、异面直线，(3)错误.【点睛】本题主要考查的是平面公理与推论的应用问题以及异面直线的判定，是基础题.14.填空题（1）如果a、b是异面直线，直线c与a、b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则

这条直线与另一个平面的位置关系是________；（3）已知两条相交直线a、b，且//a平面，则b与的位置关系是__________．【答案】①.2②.直线平行于平面或直线在平面内③.//b或b与相交【解析】【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；（2）利

用图形可判断直线与平面的位置关系；（3）利用图形可判断b与的位置关系.【详解】（1）因为a、b是异面直线，直线c与a、b都相交，则c与a、c与b可分别确定一个平面，故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；（2

）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：已知//，//a，则//a（如图1），a（如图2）.（3）已知两条相交直线a、b，且//a平面，如下图所示：如图3所示，可

知//b，如图4所示，b与相交.故答案为：（1）2；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）//b或b与相交.15.正方体各面所在平面将空间分成几部分？【答案】27个部分【解析】【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分

，同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.综合运用16.如果一条直线与两条平行直线都相交

，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.【答案】共面，理由见解析【解析】【分析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.【详解】共面.两条平行直线确定唯一的平面，又第三条直线与两条平行直线都相交，第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所

以这三条直线共面.【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题.17.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？【答案】三条直线两两

平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.【解析】【分析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而

得出其最多可以确定几个平面.【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；这三条直线能够确定一个平

面或三个平面,最多可以确定3个平面.【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.18.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC

∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平

面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B

∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.拓广探索19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？【答案】直线EF和直

线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【解析】【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.【详解】还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异

面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.20.在本节，我们学

习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？【答案】答案见解析.【解析】【分析】写出直线的特点

：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直线的对称性即可.【详解】直线的基本特征：直线是直的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延展、不可以测量长度；刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它垂直的直线都是它的对称轴

.变式练习题21.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，DA上，且满足12CGGD=，DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用条件证明,

EFHG互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.【详解】证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF12AC=.又21DHHA=，21DGGC=，所以DHDGHAGC=，从而HG23AC=，所以EF∥HG且EF≠HG，故四边形EFGH为梯形．22.在正方体ABCD-A1B1

C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点．求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；【详解】证明：如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形M

KBC为平行四边形，所以CM∥BK.因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四边形A1KBQ为平行四边形，从而A1Q∥BK.由基本事实4有A1Q∥CM.同理可证A1P∥CN.因为∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，所以∠PA1Q＝∠MCN.23.如图，P是△ABC所在

平面外一点，D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D，E，A，C四点共面且DE＝13AC.【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，连接PD，PE并延长，分别交AB，BC于点M，N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝23MN，原题即得证.【详解】证明：如图，连

接PD，PE并延长，分别交AB，BC于点M，N，因为D，E分别是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分别是AB，BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝12AC.在△PMN中，因为23PDPEPMPN==，所以

DE∥MN且DE＝23MN.所以DE∥AC且DE＝23×12AC＝13AC.则D，E，A，C四点共面．24.如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求证：EF，

GH，BD交于一点．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.【详解】证明连接GE，HF.因为E，G分别为BC，AB中点，所以1//2GEAC.因为DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以1//3HFAC.从而GE∥HF且GEHF，故G，E，F，H四

点共面且四边形EFHG为梯形，因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一点．25.在长方体1111ABCDABCD−中，（1）直线1AB与直线1DC的位置关系是____

_______；（2）直线1AB与直线1BC的位置关系是_______________；（3）直线1DD与直线1DC的位置关系是______________；（4）直线AB与直线1BC的位置关系是______________.【答案】①.平行.②.异面.③.

相交.④.异面.【解析】【分析】（1）根据题意得出四边形11ABCD为平行四边形，即可得出结论；（2）根据异面直线的定义判断即可；（3）直线1DD与直线1DC相交于一点，则直线1DD与直线1DC的位置关系是相交；（4）根据异面直线的定义

判断即可.【详解】（1）在长方体1111ABCDABCD−中，11//ADBC，四边形11ABCD为平行四边形.11//ABDC.（2）直线1AB与直线1BC不同在任何一个平面内，所以直线1AB与直线1BC的位置关系是异面.（3）直线1DD与直线1DC相交于

点1D，所以直线1DD与直线1DC的位置关系是相交.（4）直线AB直线1BC不同在任何一个平面内，所以直线AB与直线1BC的位置关系是异面.故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面【点睛】本题主要考查了判断直线与直线的

位置关系，属于基础题.26.如图所示，G是正方体1111ABCDABCD−的棱1DD延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G及AC.（2）过三点E，F，1D.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】

【分析】（1）连接GA交11AD于点M，连接GC交11CD于点N；连接MN，AC，由图可得交线；（2）根据公理，连接EF分别交DC、DA的延长线于点P，Q，连接1DP交1CC于点M，连接1DQ交1AA于点N；连接MF，NE由图可得交线.【小问1详解】连接GA交11AD于点M，连接GC交11C

D于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．【小问2详解】连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接1DP交1CC于点M，连接1DQ交1AA于点N；连接MF，

NE，则1DM，MF，FE，EN，1ND为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．